Großer Beleg Segmentierung von ATPase-gefärbten - Fakultät ...

40 5 FORMWISSEN-ERWEITERUNG ZUR REGIONSPRÜFUNG
ten Dichteanstiegs und weißt so zu den Zellformen in R d , für die unsere Kostenfunktion
am stärksten ansteigen würde und die somit unerwünschte Segmentierungsergebnisse
darstellen.
Da der Gradient ∇E(c alt ) ein Vektor ist und auch unser Punkt c alt als ein Ortsvektor
im Raum R d interpretiert werden kann, ist es durch die Subtraktion beider Vektoren
möglich, einen Punkt c neu zuermitteln, für den die Kostenfunktion E(c neu ) kleiner wird
und somit c neu ein besseres Segmentierungsergebnis ist. Nach Ausführung der Gleichung
(5.10) gilt also: E(c neu ) < E(c alt ). Wir können so iterativ eine Lösung c ermitteln, die
sich schrittweise immer näher zu einer lokal optimalen Lösung entwickelt.
c neu = c alt − ∇E(c alt ) (5.10)
Um den Gradienten von E(c alt ) zu berechnen, benötigen wir die partiellen Ableitungen.
Da c alt auch als Vektor der Form c alt = (c (0,1) c (0,2) · · · c (x,y) · · · c (257,257) ) T geschrieben
werden kann, können wir entsprechend die Kostenfunktion umformulieren als
E(c alt ) = E((c (0,1) c (0,2) · · · c (x,y) · · · c (257,257) ) T ). Die Komponenten des Gradienten
und somit die partiellen Ableitungen werden durch ∂E(c)
∂c (x,y)
definiert. Durch Einsetzen
der Energiefunktionen E D und E v in die Komponenten des Gradienten ∇E(c) ergibt
sich, dass man entsprechend die Gradienten ∇E D und ∇E v berechnet, die anschließend
komponentenweise summiert werden (siehe Gleichung 5.11). Durch die bereits
eingeführten Gewichte α und β erfolgt letztlich eine Skalierung der beiden Gradienten.
Das heißt unser vorläufiges Ergebnis c alt kann sich, je nach Ausprägung der Gewichte,
stärker dem einen Segmentierungsziel (E v ) oder dem Anderen (E D ) annähern.
∇E(c) = α · ∇E v (c) + β · ∇E D (c) (5.11)
Wie aus Gleichung (5.11) hervorgeht, müssen die Gradienten für E v (c) und E D (c) errechnet
werden. Zunächst soll dazu die Herleitung für ∇E v (c) erfolgen. Im Anschluss
wird dann die Herleitung des Gardienten für E D (c) präsentiert. In Gleichung (5.8) wurde
E v (x) = −log(p(c)) definiert. Da die Komponenten des Gradienten aus den partiellen
Ableitungen bestehen, können wir anhand der Ableitung E v ′ (c) = −p′ (c)/p(c) mit der
Berechnung fortfahren. Schlussfolgernd aus E v ′ erhalten wir Gleichung (5.12), in der
gezeigt wird, dass man den Gradienten ∇p(c) berechnen muss, um ∇E v (c) zu erhalten.
∇E v (c) = − ∇p(c)
p(c)
(5.12)