Großer Beleg Segmentierung von ATPase-gefärbten - Fakultät ...

42 5 FORMWISSEN-ERWEITERUNG ZUR REGIONSPRÜFUNG
nen p in und p out berücksichtigt werden. Zur Vereinfachung wird diese Abhängigkeit im
Gradientenabstieg nicht berücksichtigt. Durch diese Vereinfachung muss bei der Ableitung
der Energiefunktion E D (c) aus Gleichung (5.15) lediglich die Heaviside-Funktion
berücksichtigt werden (siehe Gleichung 5.16).
E D (c) = ∑
(H(L c (x, y)) · (− log p in (x, y))+
(x,y)∈Ω c (5.15)
(1 − H(L c (x, y))) · (− logp out (x, y)))
E D ′ (c) = ∑
(x,y)∈Ω c
H ′ (L c (x, y)) · (− log p in (x, y) + log p out (x, y)) (5.16)
Aus der Ableitung E D ′ (c) können wir nun schlussfolgern, dass sich ∇E D (c) aus dem
Gradienten von H(L(x, y)) berechnet (siehe Gleichung 5.17).
∇E D (c) = ∇H(L c (x, y)) · (− logp in (x, y) + log p out (x, y))
(
) T
∂H(L(x, y))
∇H(L(x, y)) = · · · · · ·
(5.17)
∂L(x, y)
∀(x, y) ∈ Ω c
Gradientenvektor von H(L(x, y)) enthält als Einträge die partiellen Ableitungen von
H(L(x, y)). Da die Heaviside-Funktion eigentlich nicht differenzierbar ist, muss man
zur Berechnung der Ableitung eine Approximation für H annehmen. Dazu wird eine
Funktion δ (Dirac-Stoß) eingeführt, unter der Annahme, dass δ(x) = H ′ (x) gilt. Durch
diese Vereinfachung ist es nun möglich eine nummerische Approximation von H(x) zu
erhalten, die differenzierbar ist. Eine elegante Vorgehensweise wird dafür in [CV01]
gegeben, wobei die dort vorgeschlagene Approximation von H(x) in Gleichung (5.18)
aufgeführt ist.
H ǫ (x) = 1 2
(
1 + 2 π arctan ( x
ǫ) ) (5.18)
Mit Hilfe der Gradienten für E D und E v kann der Gradientenabstieg durchgeführt werden.
Ein Unterschied zwsichen den beiden Herleitungen wirkt sich aber besonders auf
die Implementieruung aus. Während für die Berechnung von ∇E v Labels im Bildraum
Ω DB verrechnet werden, wird bei ∇E D lediglich auf dem Bildraum Ω c gearbeitet. Die