Algebraische Automatentheorie - stinfwww

Kapitel 2
Monoide und Kongruenzrelationen
Ziel: Andere Charakterisierung erkennbarer Sprachen; Algebraisierung der Theorie erkennbarer
Sprachen.
Definition 2.1 Sei M eine Menge und · : M × M → M eine Abbildung.
(a) (M, ·) heißt Semigruppe / Halbgruppe, falls · assoziativ ist, d. h. ∀a, b, c ∈ M :
(a · b) · c = a · (b · c).
(b) (M, ·) heißt Monoid, falls (M, ·) eine Semigruppe ist und ∃1 ∈ M : ∀x ∈ M : x · 1=
x =1· x.
(c) (M, ·) heißt Gruppe, falls (M, ·) Semigruppe ist und ∃1 ∈ M : ∀x ∈ M; (x · 1=x =
1 · x) ∧ (∃y ∈ M : x · y =1=y · x)
(d) (M, ·) heißt kommutativ / abelsch, falls ∀x, y ∈ M : x · y = y · x
Bemerkung Es gilt:
(i) (M, ·) ist Gruppe ⇒ (M, ·) istMonoid⇒ (M, ·) ist Semigruppe
(ii) (M, ·) istMonoid⇒ das Elemenet 1 ∈ M ist eindeutig bestimmt. Begründung: Sei
1, 1 ′ ∈ M mit ∀x ∈ M : x · 1=x =1· x, x · 1 ′ = x =1 ′ · x. Dann gilt 1 = 1 · 1 ′ =1 ′ .
Beispiel 2.1 (a) (M, ·) =(A + , Konkatenation) ist Semigruppe, aber kein Monoid.
(M, ·) =(A ∗ , Konkatenation) ist Monoid.
(b) (Æ, +) mit 0 ∈ Æ ist kommutatives Monoid.
(Æ, ·) ist kommutatives Monoid.
(, +) ist abelsche Gruppe.
(É \{0}, ·) ist abelsche Gruppe.
(c) Sei S Menge, F := {f : S → S | f Abbildung}, · sei Hintereinanderausführung. ⇒
(F, ·) ist ein Monoid mit 1 = id S .
Definition 2.2 Seien M, M ′ Monoide und U ⊆ M.
(a) U heißt Untermonoid von M genau dann, wenn 1 ∈ U und ∀a, b ∈ U : a · b ∈ U. Man
schreibt (U, ·) ⊆ (M, ·).
(b) Eine Abbildung f : M → M ′ heißt Homomorphismus genau dann, wenn f(1 M )=1 M ′
und ∀a, b ∈ M : f(a · b) =f(a) · f(b).
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