Algebraische Automatentheorie - stinfwww

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Rat(M) :={Ä(E) | E ∈ RAT(M)} = {rationale Sprachen in M}.
L ⊆ M rational ⇔∃E ∈ RAT(M) : L = Ä(E)
Bemerkung Sei f : M → M ′ Homomorphismus und A, B ⊆ M.
⇒ f(A · B) =f(A) · f(B) und f(A ∗ )=f(A) ∗ .
Beweis Sei x ′ ∈ M ′ .
x ′ ∈ f(A · B) ⇔ ∃x ∈ A · B : x ′ = f(x)
⇔ ∃a ∈ A, b ∈ B : x ′ = f(a · b) =f(a) · f(b)
⇔ ∃a ′ ∈ f(A), b ′ ∈ f(B) : x ′ = a ′ · b ′
⇔ x ′ ∈ f(A) · f(B)
⇒ f(A n )=f(A · ...· A) =f(A) · ...· f(A) =(f(A)) n
⇒ f(A ∗ )=f( ⋃ n≥0 An )= ⋃ n≥0 f(An )= ⋃ n≥0 (f(A))n =(f(A)) ∗
Bemerkung Alternativ argumentiert man
f(A · B) = f({a · b | a ∈ A, b ∈ B})
= {f(a · b) | a ∈ A, b ∈ B}
= {f(a) · f(b) | a ∈ A, b ∈ B}
= {f(a) | a ∈ A}·{f(b) | b ∈ B}
= f(A) · f(B)
Lemma 2.17 Seien M, M ′ Monoide, f : M → M ′ Homomorphismus. Definiere die ”
induzierte
Ersetzungsabbildung“ f :RAT(M) → RAT(M ′ ) induktiv durch
E endlich
f
↦→ f(E)
(E 1 ∪ E 2 ) ↦→ (f(E 1 ) ∪ f(E 2 ))
E 1 · E 2 ↦→ f(E 1 ) · f(E 2 )
E1 ∗ ↦→ f(E 1 ) ∗
Das heißt f(E) ist der rationale Ausdruck, der entsteht, indem man in E jede endliche Teilmenge
E ′ durch f(E ′ ) ersetzt. Dann gilt für alle E ∈ RAT(M): f(Ä M (E)) = Ä M ′(f(E)).
Beweis durch Induktion über den Aufbau von E. SeiE ⊆ M endlich.
⇒ Ä M (E) =E, f(E) =f(E) ⇒ f(Ä M (E)) = f(E) =f(E) =Ä M ′(f(E))
Die Behauptung gelte nun für E 1 ,E 2 ∈ RAT(M). Sei ◦∈{∪, ·}:
f(Ä M (E 1 ◦ E 2 )) = f(Ä M (E 1 ) ◦ Ä M (E 2 ))
= f(Ä M (E 1 )) ◦ f(Ä M (E 2 ))
= Ä M ′(f(E 1 )) ◦ Ä M ′(f(E 2 ))
= Ä M ′(f(E 1 ) ◦ f(E 2 ))
= Ä M ′(f(E 1 ◦ E 2 ))