Algebraische Automatentheorie - stinfwww

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Wir zeigen nun durch Induktion über die Quantorentiefe von geschachtelten Mengenvariablen
(∃X), dass gilt:
∀k ∈ Æ∀ϕ ∈P k : L(ϕ) :={w ∈ ({0, 1} k ) ∗ | w|= ϕ} ist erkennbar.
. Für qd(ϕ) = 0 (qualifier depth) folgt ϕ ∈M k .
Unterinduktion über den Aufbau von ϕ ∈M k :
L k (ϕ 1 ∨ ϕ 2 )=L k (ϕ 1 ) ∪ L k (ϕ 2 )
L k (¬ϕ) =(L k (ϕ)) C
⇒∀ϕ ∈M k : L k (ϕ) erkennbar.
Induktionsschritt: Angenommen für Sätze ϕ 1 ,ϕ 2 ∈P k ist die Behauptung gezeigt.
Sei k ≥ 0 und ψ =(∃X)ϕ ∈P k ;z.z.L k (ψ) erkennbar.Daψ ein Satz ist, enthält
ϕ höchstens X als freie Variable. Ohne Einschränkung enthalte ϕ das X. Bilde ϕ ′ ,
indem in ϕ jedes X durch das Relationssymbol R k+1 ersetzt wird.
⇒ ϕ ′ ∈P k+1 und qd(ϕ ′ )=qd(ψ) − 1
Aus der Induktionsvoraussetzung folgt, dass L k+1 (ϕ ′ )={w ∈ ({0, 1} k+1 ) ∗ | w|= ϕ ′ }
erkennbar ist. Wir werden zeigen, dass hieraus folgt, dass L k (ψ) erkennbarist.Sei
π : {0, 1} k+1 →{0, 1} k die kanonische Projektion (x, z) ↦→ x für x ∈{0, 1} k ,z∈
{0, 1}. Setze π eindeutig fort zu Homomorphismus π :({0, 1} k+1 ) ∗ → ({0, 1} k ) ∗
Nach Mehrfachanwendung des Satzes von Kleene folgt aus L k+1 (ϕ ′ )erkennbar⇒
π(L k+1 (ϕ ′ )) erkennbar. Wir zeigen L k (ψ) =π(L k+1 (ϕ ′ )): [... das ist der letzte Beweisschritt
1 ].
Lemma 3.3 Seien A ⊆ B endliche Alphabete, L ⊆ A ∗ .
Beweis siehe Übung.
L erkennbar in A ∗ ⇔ L erkennbar in B ∗
Satz 3.4 Seien ϕ, ϕ ′ Sätze der monadischen Logik. Es läßt sich maschinell entscheidenm L(ϕ) =
A ∗ und ob L(ϕ) =L(ϕ ′ ).
Beweis Der Beweis von Satz 3.2 gibt ein Konstruktionsverfahren für endliche Automaten A, A ′
mit L(A) =L(ϕ) und L(A ′ )=L(ϕ ′ ). Nun verwende Satz 1.12.
1 Ab jetzt fehlen einige Beweisteile und Beweise.