Algebraische Automatentheorie - stinfwww

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Beispiel M = X ∗ , X = {a, b}; M = Æ × Æ mit komponentenweiser Addition.
L ′ := {(1, 1)} ∗ = {(n, n) | n ≥ 0} ∈Rat(M ′ ) ist endlich erzeugt.
Definiere f : M → M ′ mit w ↦→ (|w| a , |w| b ). f ist Epimorphismus.
Aber L ′ ∉ Rec(M ′ )! Wäre f −1 (L ′ )rationalinM = X ∗ , so auch erkennbar nach Kleene.
Aus Folgerung 2.14 (b) und f surjektiv folgt L ′ erkennbar.
Das ist ein Widerspruch.
Folgerung 2.19 Sei M ein Monoid. M ist endlich erzeugt ⇔ Rec(M) ⊆ Rat(M).
Beweis
” ⇐ “:
Rec(M) ⊆ Rat(M) 2.15
2.18 (d)
⇒ M ∈ Rec(M) =⇒ M ist endlich erzeugt.
” ⇒ “:
Sei M = X ∗ mit X ⊆ M endlich und L ∈ Rec(M). Sei Xf
∗ das freie Monoid aller
Wörter über dem Alphabet X.
Aus Satz 2.4 (a) folgt ∃ Homomorphismus h : Xf ∗ → M mit h |X =id.Istm ∈ M, so
ist m = x 1 ···x n mit x 1 , ..., x n ∈ X geeignet h =⇒ Hom. h(x 1 ···x n )=h(x 1 ) ···h(x n )=
2.14 (a)
x 1 ···x n = m ⇒ h surjektiv =⇒ L 0 := h −1 (L) ∈ Rec(Xf ∗) Kleene =⇒ L 0 ∈ Rat(Xf ∗ 2.18 (a)
) =⇒
h(L 0 ) ∈ Rat(M)
h(L 0 )=h(h −1 (L)) h = surj.
L ⇒ L ∈ Rat(M).