Algebraische Automatentheorie - stinfwww

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• λ ∈ K 1×n Zeilenvektor
• γ ∈ K n×1 Spaltenvektor
• (S, w):= ∑ i, j∈Q λ i · (μw) i, j · γ j = λ · (μw) · γ
Definition 5.5 Sei A ein Alphabet, K ein Semiring. Jede Funktion S : A ∗ → K heißt auch
formale Potenzreihe über A ∗ mit Werten in K.
Setze
• (S, w) =S(w),
• S = ∑ w∈A∗(S, w).w
• K 〈〈A ∗ 〉〉 := K A∗ := {S : A ∗ → K | S Abbildung}
Es heißt S : A ∗ → K erkennbar, wenn ein endliches System S existiert mit S = |S|. Falls zu S
das Tripel (λ, μ, γ) gehört, so heißt das Tripel auch Darstellung von S bzw. S.
Setze weiterhin K rec 〈〈A ∗ 〉〉 := {S ∈ K 〈〈A ∗ 〉〉 | S erkennbar}. Problem: Beschreibe K rec 〈〈A ∗ 〉〉.
Für S, T ∈ K 〈〈A ∗ 〉〉 setzen wir S+T : A ∗ → K mit w ↦→ S(w)+T (w). Damit ist (K 〈〈A ∗ 〉〉 , +, 0)
abelsches Monoid mit neutralem Element 0 : A ∗ → K mit w ↦→ 0 K . Definiere supp(S) :={w ∈
A ∗ | (S, w) ≠0}.
S ∈ K 〈〈A ∗ 〉〉 heißt Polynom ⇔ supp(S) endlich. Man setzt
K 〈A ∗ 〉 ist Untermonoid von K 〈〈A ∗ 〉〉.
K 〈A ∗ 〉 := {S ∈ K | S Polynom}
Für X ⊆ A ∗ sei ½ X =char(X) : A ∗ → K mit w ↦→
die Indikator oder charakteristische
Funktion von X.
Man identifiziert k ∈ K mit k · 1 ε : A ∗ → K mit w ↦→
{
1, w ∈ X
0, w ∉ X
{
k, w = ε
0 w ≠ ε
Dann ist K ⊆ K Untermonoid. Die Funktionen k · 1 w heißen Monome. Ein Polynom S
ist eine endliche Summe von Monomen S = ∑ w∈supp(S) (S, w) · ½ w.
Allgemeiner: Sei k ∈ K, S ∈ K 〈〈A ∗ 〉〉. Definiere k · S : A ∗ → K mit w ↦→ k · (S, w), d. h.
(k · S, w) = k · (S, w), k · S = ∑ w∈A ∗ k · (S, w).w und entsprechend S · k : A∗ → K mit
w ↦→ (S, w) · k.
Man definiert (S · T, w)= ∑ w 1 ,w 2 ∈A ∗ mit w=w 1 w 2
(S, w 1 ) · (T, w 2 ).
[... hier fehlt was? ]
Satz 5.9 (K 〈〈A ∗ 〉〉 , +, ·, 0, ½ {ε} ) und (K 〈A ∗ 〉 , +, ·, 0, ½ {ε} ) sind Semiringe.
Beweis Nachrechnen von supp(S · T ) ⊆ supp(S) · supp(T ).
Lemma 5.10 Die Abbildung
supp : ( 〈〈A ∗ 〉〉 , +, ·, 0, ½ {ε} ) → (P(A ∗ ), ∪, ·, ∅, {ε})
ist ein Semiring-Isomorphismus mit supp −1 =char
Beweis siehe Übungs-Aufgabe 45.