Algebraische Automatentheorie - stinfwww

15
2. Der minimale M-Automat A L ist endlich
3. Das syntaktische Monoid M /∼L ist endlich
4. Es exisitiert ein endliches Monoid N und ein Homomorphismus h : M → N mit
L = h −1 (h(L)).
Beweis
1 ⇒ 2:
folgt aus Satz 2.12
2 ⇒ 3:
Nach dem Zusatz zu Konstruktion 2.11 gilt für alle y, y ′ ∈ M:
y ∼ L y ′ * ⇔∀x ∈ M : L/x · y = L /x · y ′
Da A L vollständig ist, induziert jedes y ∈ M eine Abbildung ỹ : Q L → Q L mit
q ↦→ q ·y. Wegen (*) gilt y ∼ L y ′ ⇔ ỹ =ỹ ′ .DaQ L endlich, existieren nur endlich viele
Abbildungen Q L → Q L und damit auch höchstens soviele ∼ L -Äquivalenzklassen. Es
gilt |M /∼L |≤|Q L | |Q L|
3 ⇒ 4:
Setze N = M /∼L .Wähle h : M → N den kanonischen Epomorphismus. Mit Konstruktion
2.8 folgt h −1 (h(L)) = L.
4 ⇒ 1:
Es existiert ein endlicher Monoid N, h : M → N mit L = h −1 (h(L)).
Definiere A =(Q, δ, q 0 ,F) wie folgt: Q := N, q 0 =1 N , F := h(L) ⊆ N, δ(q, m) :=
q i h(m), q ∈ Q = N, n ∈ M, δ(q, 1) = q · h(1) = q · 1=q, δ(q, mm ′ )=d · h(mm ′ )=
q · h(m) · h(m ′ )=δ(δ(q, m), m ′ )
⇒Aist endlicher M-Automat. m ∈ M ⇒ δ(q 0 ,m)=q 0 h(m) =h(m).
m ∈ L(A) ⇔ h(m) ∈ F ⇔ m ∈ h −1 (h(L)). Also ist L(A) =h −1 (h(L)) = L.
Folgerung 2.14 Seien M, M ′ Monoide, f : M → M ′ Homomorphismus, L ′ ⊆ M ′ und L =
f −1 (L ′ ).
(a) L ′ erkennbar ⇒ L erkennbar
(b) f surjektiv, L ∈ Rec(M) ⇒ L ′ ∈ Rec(M ′ )
Beweis (a) Seien y 1 ,y 2 ∈ M. Seif(y 1 ) ∼ L f(y 2 ). Zu zeigen ist y 1 ∼ L y 2 .
Sei x, z ∈ M.
x · y 1 · z ∈ L ⇒ f(xy 1 z)=f(x) · f(y 1 ) · f(z) ∈ f(L) ⊆ L ′
⇒ f(x) · f(y 2 ) · f(z) ∈ L ′
⇒ xy 2 z ∈ f −1 (L ′ )=L
Umkehrung verläuft analog ⇒ y 1 ∼ L y 2 .
L ′ erkennbar ⇒∼ L ′-Äquivalenzklassen endlich | ∼ L -Äquivalenzklassen| ≤ | ∼ L ′
-Äquivalenzklassen| ⇒|∼ L -Äquivalenzklassen| endlich ⇒ L erkennbar.