Algebraische Automatentheorie - stinfwww

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Darstellung von Wörtern
Sei A ein Alphabet, w = a 1 ···a n ∈ A ∗ .Signatur:≤, P a (a ∈ A)
Dann ist
w =({1, ..., n}, ≤, (R a ) a∈A )
mit R a := {i | 1 ≤ i ≤ n, a i = a} (a ∈ A)
Beispiel Sei A = {a, b, c, d} und w = ababc. Dannistw =({1, 2, 3, 4, 5}, ≤, R a ,R b ,R c ,R d )
mit R a = {1, 3}, R b = {2, 4}, R c = {5}, R d = ∅.
Diese Darstellung erfüllt w 1 = w 2 ⇔ w 1 = w 2 für alle w 1 ,w 2 ∈ A ∗ .
Bemerkung Man kann so die Eigenschaften von w und somit auch von w mit Hilfe der Prädikatenlogik
oder der monadischen logik beschreiben.
Definition 3.1 Sei ϕ ein Satz. Dann ist L(ϕ) :={w ∈ A ∗ | w|= ϕ}
L heißt in der monadischen Logik (Prädikatenlogik) definierbar genau dann, wenn ein Satz
der monadischen Logik (Prädikatenlogik) existiert mit L = L(ϕ).
Beispiel
1. ϕ = ∃y∃z : z = y +1∧ P a (y) ∧ P b (z) ∧∀x : x ≠ z → x ≤ y
⇒ L(ϕ) ={w ∈ A ∗ | w|= ϕ} = {w ∈ A ∗ | w = u · ab, u ∈ A ∗ }
2. Beschreibung von w = a 1 ···a n hat gerade Länge.
σ := ∃X∃Y : ∀x∀y(y = x +1)→ (x ∈ X ↔ y ∈ Y )
∧X ∩ Y = ∅
∧∃u, v(∀z : u ≤ z ≤ v) ∧ u ∈ X ∧ v ∈ Y
∧∀z(z ∈ X ∨ z ∈ Y )
⇒ L(σ) ={w ∈ A ∗ ||w| ∈2Æ} ist nicht in Prädikatenlogik erster Stufe definierbar.
Satz 3.2 (Büchi, 1960) Sei A ein endliches Alphabet, L ⊆ A ∗ . Dann gilt
L erkennbar ⇔ L ist in der monadischen Logik zweiter Stufe definierbar
Beweis ⇒“: Sei A =(Q, T, q ” o ,F) ein endlicher Automat mit L(A) =L. SeiQ =(q i | 0 ≤
i ≤ m}.
Wir beschreiben die Existenz einer Berechnungsfolge u mit Symbolfolge w = a 1 ···a n ∈
L(A) durch die Existenz geeigneter Mengen Y 0 , ..., Y m . Y i enthält die Stellen j von
w bei denen (d. h. vor Ausführung von a j ) sich der Automat im Zustand q i befindet
a
(Beispiel: q
1 a
0 →
2 a q1 →
3 a q2 →
4
q0 → q1 ⇒ Y 0 = {1, 4}, Y 1 = {2}, Y 2 = {3}).
(
)
Sei ϕ der Satz ∃Y 0 , ..., Y m : ∧ i≠j ¬∃y(y ∈ Y i ∧ y ∈ Y j )
)
∧
(∃x(∀y : x ≤ y) ∧ x ∈ Y 0
(
)
∧ ∀x(∃y : y = x +1)→∨ (qi ,a, q j )∈T (x ∈ Y i ∧ P a (x) ∧ x +1∈ Y j )
(
)
∧ ∃z(∀x : x ≤ z) ∨ (qi ,a, q j )∈T (z ∈ Y i ∧ P a (x))
Sei w ∈ A + . Es ist w|= ϕ ⇔ ∃u ∈ BF(A) : Symbolfolge(u) = w, dom(u) =
q 0 , cod(u) ∈ F ⇒ w ∈ L(A). Also L(ϕ) =L(A) \{ε} = L \{ε}.
1. Fall: ε ∉ L(A) =L → fertig
2. Fall: ε ∈ L(A) =L, dannϕ ′ = ϕ ∧∀x¬(x = x) und L(ϕ ′ )=L