Algebraische Automatentheorie - stinfwww

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und δ(q, mm ′ )=δ(δ(q, m), m ′ ) ∈ Q,
also δ(q, mm ′ )=δ(q, mm ′ )inQ. Widerspruch.
Also gilt δ ′ (r, m ′ )=BOTTOM = δ ′ (q, mm ′ ) wie behauptet. Folglich ist δ ′ Operation.
L(A) ={m ∈ M | δ ′ (q 0 ,m) ∈ F } = {m ∈ M | δ(q 0 ,m) ∈ F } = L(A).
Satz 2.11 (Konstruktion) Sei L ⊆ M.Für x ∈ M definiere L /x := {y ∈ M | xy ∈ L} = x −1 L.
Es ist L /1 = L und 1 ∈ L /x ⇔ x ∈ L. Definiere A L := (Q L ,δ,q 0 ,F) wie folgt:
1. Q L := {L /x | x ∈ M}
2. δ : Q L × M → Q L mit (L /x ,y) ↦→ L /xy
3. q 0 := L /1
4. F := {L /x | x ∈ L}
Dann ist A L ein vollständiger M-Automat mit L(A L ) = L. A L heißt minimaler M-
Automat von L.
Beweis
δ ist wohldefiniert:
Seien x, x ′ ,y∈ M mit L /x = L /x ′. Zu zeigen ist L /xy = L /x ′ y.Seiz ∈ M.
z ∈ L /xy ⇔ xyz ∈ L
⇔ yz ∈ L /x = L /x ′
⇔
⇔
x ′ yz ∈ L
z ∈ L /x ′ y
δ ist Operation:
δ(L /x , 1) = L /x·1 = L /x
Seien x, y, z ∈ M. (L /x )(yz) =L /x(yz) = L /(xy)z =(L /xy ) · z =(L /x · y) · z
Damit ist A L vollständiger M-Automat.
L(A L )=L:
Sei x ∈ M.
x ∈ L(A L ) ⇐⇒ q 0 x ∈ F
⇐⇒ ∃x ′ ∈ L : L /x = L /1 · x = L /x ′
1∈L /x ′
=⇒ x ∈ L
triv.
⇐= (setze x ′ = x)
Bemerkung Sei L ∈ M und y, y ′ ∈ M. Dann gilt
y ∼ L y ′ ⇔∀x ∈ M : L /x · y = L /x · y ′ in A L
Beweis
” ⇒“:
Sei x ∈ M. L /x · y = L /xy , L /x · y ′ = L /xy ′.Seiz ∈ M beliebig:
z ∈ L /xy ⇔ xyz ∈ L
⇔ xy ′ z ∈ L
⇔ z ∈ L /xy ′