Algebraische Automatentheorie - stinfwww

33
Satz 5.14 Sei K beliebiger Semiring, A Alphabet, S ∈ K rec 〈〈A ∗ 〉〉.
(a) ∃ Darstellung (λ, μ, γ) vonS mit:
(*) Es existiert genau ein Finalzustand j und es ist γ j =1,sowieμ(w) jk =0für alle
ε ≠ w ∈ A ∗ und alle k ∈ Q.
(b) ∃ Darstellung (λ, μ, γ) vonS mit:
(**) Es existiert genau ein Initialzustand i und es ist λ i =1,sowieμ(w) ki =0für
alle ε ≠ w ∈ A ∗ und alle k ∈ Q.
(c) Sei S ′ ∈ K 〈〈A ∗ 〉〉 definiert durch
(S ′ ,w):=
{
(S, w) w ≠ ε
0 w = ε
⇒ es existiert eine Darstellung (λ, μ, γ) vonS ′ mit (*) und (**).
Vgl. auch Lemma 1.5 (normalisierte Automaten).
Beweis ...
Satz 5.15 Sei K ein beliebiger Semiring, A ein Alphabet.
S 1 ,S 2 ∈ K rec 〈〈A ∗ 〉〉 ⇒ S 1 · S 2 erkennbar
Beweis ...
Satz 5.16 Sei K ein beliebiger Semiring.
S ∈ K rec 〈〈A ∗ 〉〉 ⇒ S ∗ erkennbar
Beweis ...
Folgerung 5.17 Sei K ein beliebiger Semiring
⇒ K rat 〈〈A ∗ 〉〉 ⊆ K rec 〈〈A ∗ 〉〉
Beweis Klar mit Satz 5.13 (c), (b), Satz 5.15 und 5.16.
Nun zur Umkehrung:
Satz 5.18 Sei K ein beliebiger Semiring
⇒ K rec 〈〈A ∗ 〉〉 ⊆ K rat 〈〈A ∗ 〉〉
Beweis (analog zum Beweis von Satz 1.9)
Sei S ∈ K rec 〈〈A ∗ 〉〉 und S =(Q, λ, μ, γ) ein diskretes System mit |S| = S und etwa
Q = {1, ..., n}. Für m, l ∈ Q, 0 ≤ k ≤ n sei
X (k)
m, l := {p ∈ (Q×A×Q)∗ \{ε}|p Pfad von m nach l, der dazwischen nur Zustände ≤ k berührt}