Algebraische Automatentheorie - stinfwww

Algebraische Automatentheorie
gelesen von
Prof. Dr. Droste
7. Juli 2004

L A TEX-Mitschrift der Vorlesung ”
Algebraische Automatentheorie“ gelesen von Prof. Dr. Droste
an der Uni Leipzig im Sommersemester 2004, angefertigt durch M. Quasthoff.
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http://stinfwww.informatik.uni-leipzig.de/∼mai01cot/

Inhaltsverzeichnis
3

Kapitel 1
Sprachen und Automaten
Definition 1.1 Ein Alphabet ist eine endliche nichtleere Menge. Seine Elemente heißen Buchstaben.
Sei A Alphabet. n ∈ Æ → A n = {a 1 ,a 2 , ... a n | a 1 , ..., a n ∈ A}.
ε =leeres Wort mit Länge 0, A 0 = {ε}
A ∗ = {alle Wörter über A} = ⋃ n≥0 An
A + = A ∗ \ A 0
Sei L ⊆ A ∗ . Dann heißt L Sprache über A.
Definition 1.2 Sei A ein Alphabet, L, L 1 ,L 2 ⊆ A ∗ .
L 1 ∪ L 2 =mengentheoretische Vereinigung von L 1 und L 2 .
L 1 · L 2 = {uv | u ∈ L 1 ,v ∈ L 2 }
L 0 := {ε}, L 1 := L, L n+1 := L n · L (n ∈ Æ)
L n = {u 1 ...u n | u 1 , ..., u n ∈ ̷L}
L ∗ = ⋃ n≥0 Ln
L + = ⋃ {
L
∗
falls ε ∈ L
n≥1 Ln =
L ∗ \ L 0 falls ε ∉ L
Beispiel 1.1 A = {a, b}, L = {w ∈ A ∗ | w endet auf ab} = A ∗ ·{ab}
Ein endlicher Automat ist eine ”
Black Box“ mit endlich vielen inneren Zuständen. Eintreten
eines Ereignissses/Eintreffen eines Zeichens führen zu einer Zustandsänderung.
Definition 1.3 Ein (nichtdeterministischer) Automat (Transitionssystem) über A ist ein Quadrupel
A =(Q, T, I, F )mit:
• Q: Menge (von Zuständen“)
”
• T ⊆ Q × A × Q: Menge der Transitionen
• I, F ⊆ Q: Menge der initialen bzw. finalen Zustände
A ist
• endlich, falls Q endlich ist.
1

2 KAPITEL 1. SPRACHEN UND AUTOMATEN
• deterministisch, falls |I| = 1 und ∀(q, a, r), (q, a, r ′ ) ∈ T : r = r ′ (Folgezustände
sind eindeutig bestimmt)
• vollständig, falls ∀q ∈ Q, a ∈ A : ∃r ∈ Q :(q, a, r) ∈ T
(q, a, r) ∈ T bedeutet: A befindet sich im Zustand q und geht nach Eintreffen des Ereignisses
/ Symbols a in den Folgezustand r über. Man schreibt q → a r.
A ist deterministisch und vollständig, genau dann wenn |I| = 1 und T eine Abbildung
δ : Q × A → Q durch δ(q, a) :=r mit (q, a, r) ∈ T definiert.
Sei A = (Q, T, I, F ) ein Automat. Eine Berechnungsfolge(Pfad, Weg) ist ein e Folge
t 1 · t 2 · ...· t n von Transitionen t i ∈ T der Form t i =(q i−1 ,a i ,q i ), i =1, ..., n.
Dann heißt
a 1 a 2 ...a n
q 0
q n
n
−→
a
q
1 a
} 0 q
2
{{ } } 1
{{ }
t 1
a −→ ...q n−1 −→
n
qn
} {{ }
t 2
⎫
Symbolfolge
Anfangszustand
⎪⎬
von t
Endzustand
1 ...t n = u
⎪⎭
Länge
dom(u) :=q 0 ,cod(u) :=q n (domain und codomain)
ε =leere Berechnungsfolge mit Länge 0.
BF(A) ={alle Berechnungsfolgen von A}
u ∈ BF(A) erfolgreich :⇔ dom(u) ∈ I, cod(u) ∈ F
ε erfolgreich :⇔ I ∩ F ≠ ∅
w ∈ A ∗ wird von A erkannt / akzeptiert ⇔∃erfolgreiche Berechnungsfolge u ∈ BF(A)
mit Symbolfolge w.
A akzeptiert ε :⇔ I ∩ F ≠ ∅
L(A) :={w ∈ A ∗ |Aakzeptiert w} =vonA akzeptierte / erkannte Sprache.
Eine Sprache L ⊆ A ∗ heißt erkennbar (recognizable) :⇔∃endlicher Automat mit L = L(A)
(Schreibweise L ∈ Rec(A)).
In Bildern häufig:
• Kreis Zustände
• Quadrat auf der Spitze oder Kreis mit Pfeil rein Anfangszustände
• Doppelkreis oder Kreis mit Pfeil raus Endzustände
• Kreis mit Quadrat auf der Spitze drin Anfangs- und Endzustände
Beispiel 1.2 A = {a, b}, Q = {1, 2, 3, 4}, I = {1}, F = {3}.
A mit T = {(1,a,2), (2,a,2), (3,a,2), (1,b,1), (2,b,3), (3,b,1)} ist deterministisch und
vollständig.
L(A) ={w ∈ A ∗ | w endet auf ab}
A + mit T + = {(1,a,1), (1,b,1), (1,a,2), (2,b,3)} ist weder deterministisch noch vollständig,
es gilt aber L(A + )=L(A)
t n

3
Beispiel 1.3 mussmanabgemalthaben.Wirdabernocheingefügt.
Beispiel 1.4 A mit Q = {1, 2, 3}, I = {1}, F = {2},
T = {(1,a,2), (2,a,3), (3,a,3), (1,b,3), (2,b,2), (3,b,3)} ist vollständig und deterministisch.
L(A) ={ab k | k ≥ 0} = ab ∗
Satz 1.4 Sei A ein endlicher Automat. Dann existiert ein endlicher vollständiger deterministischer
Automat A ′ mit L(A ′ )=L(A).
Beweis Sei A =(Q, T, I, F ). Definiere A ′ =(Q ′ ,T ′ ,I ′ ,F ′ ) wie folgt:
• Q ′ = P(Q) (ist endlich, da Q endlich ist)
• I ′ = {I ′ }
• F ′ = {U ⊆ Q | U ∪ F ≠ ∅}
• Für U, V ⊆ Q, a ∈ A gelte:
(U, a, V ) ∈ T ′ :⇔ V = {r ∈ Q |∃q ∈ U :(q, a, r) ∈ T }
V ist durch U und a eindeutig bestimmt ⇒A ′ ist deterministisch und vollständig.
L(A ′ ) ⊇ L(A):
a
Sei w = a 1 ...a n ∈ L(A) beliebig, fest. ⇒∃Berechnungsfolge q
1 a
0 →
2
q1 → ... →
a
q n→
n−1 qn in A mit q 0 ∈ I, q n ∈ F .
Sei U 0 = I. IstU i−1 ⊆ Q definiert mit q i−1 ∈ U i−1 ,soseiU i = {r ∈ Q |∃q ∈ U i−1 :
(q, a i ,r) ∈ T }⇒q i ∈ U i und (U i−1 ,a i ,U i ) ∈ T ′ a
⇒ I = U
1 a
0 →
2
a U1 → ... → Un−1 n→
U n ist Berechnungsfolge in A ′ mit Symbolfolge w und q n ∈ U n ∩ F ,alsoU n ∈ F ′
⇒ w ∈ L(A ′ )
L(A ′ ) ⊆ L(A):
Sei w = a 1 ...a n ∈ L(A ′ a
) beliebig, fest. ⇒∃Berechnungsfolge U
1 a
0 →
2
U1 → ... →
a
U n→
n−1 Un in A ′ mit U 0 = I, U n ∈ F ′ . ⇒ U n ∩ F ≠ ∅. Wähle q n ∈ U n ∩ F beliebig.
Wegen (U n−1 ,a n ,U n ) ∈ T ′ existiert nach Definition von T ′ ein q n−1 ∈ U n−1 mit
(q n−1 ,a n ,q n ) ∈ T .
induktiv
=⇒ ∃q i ∈ U i mit (q i−1 ,a i ,q i ) ∈ T (i = n, ..., 1).
a
⇒ q
1 a
0 →
2
a q1 → ... → qn−1 n→ qn ist Berechnungsfolge in A mit Symbolfolge w, q n ∈ F ,
q i ∈ U 0 = I.
⇒ w ∈ L(A)
ε ∈ L(A)
⇒ L(A ′ )=L(A)
ε ∈ L(A) ⇔ I ∩ F = ∅
⇔ I ∈ F ′
⇔ I ′ ∩ F ′ ≠ ∅
⇔ ε ∈ L(A ′ )

4 KAPITEL 1. SPRACHEN UND AUTOMATEN
Beispiel 1.5 Anwendung der obigen Konstruktion auf den Automaten A ∗ aus Beispiel 1.2 mit
A = {a, b}, Q = {1, 2, 3}, I = {1}, F = {3}, T = {(1,a,1), (1,b,1), (1,a,2), (2,b,3)}
führt zu
A ′ = A, Q ′ = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {1, 2, 3}}, I ′ = I, F = {{3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 2, 3}},
T = {({1}, a,{1, 2}), ({1}, b,{1}), ({1, 2}, a,{1, 2}), ({1, 2}, b,{1, 3}),
({1, 3}, a,{1, 2}), ({1, 3}, b,{1}), ({1, 2, 3}, a,{1, 2}), ({1, 2, 3}, b,{1, 3}),
({2}, b,{3}), ({3}, b,∅}), ({3}, a,∅}), ({2}, a,∅}), ({2, 3}, a,∅}), ({2, 3}, b,∅}), }
Hilfsmittel Ein Automat A =(Q, T, I, F ) heißt normalisiert, gdw.
• |I| = |F | =1
• ∀(q, a, r) ∈ T : r ∉ I, q ∉ F
d. h. Initial- und Finalzustände sind eindeutig und es gibt keine Transitionen in den Initialzustand
oder aus dem Finalzustand heraus.
Lemma 1.5 Sei A =(Q, T, I, F ) ein Automat. Dann gibt es einen normalisierten Automaten
A ′ mit L(A ′ )=L(A) \{ε}.
Beweis Definiere A ′ =(Q ′ ,T ′ ,I ′ ,F ′ ) wie folgt:
Q = Q ∪{i, ·
f} wobei i, f ∉ Q.
I ′ = {i}, F ′ = {f}
T ′ = T ∪ T 1 ∪ T 2 ∪ T 3 ,wobei
• T 1 = {(i, a, q)} |a ∈ A, ∃p ∈ I :(p, a, q) ∈ T }
• T 2 = {(p, a, f)} |a ∈ A, ∃q ∈ F :(p, a, q) ∈ T }
• T 2 = {(i, a, f)} |a ∈ A, ∃p ∈ I, q ∈ F :(p, a, q) ∈ T }
⇒A ′ ist normalisiert
Sei nun ε ≠ w ∈ A ∗ a
,etwaw = a 1 ...a n mit a i ∈ A. w ∈ L(A) ⇔∃Berechnungsfolge q
1
0 →
a
q
2
a
1 → ...→ qn−1
n→
qn in A mit q 0 ∈ I, q n ∈ F .
⇔∃Berechnungsfolge i a 1 a
→ q
2
a
1 → ...→ qn−1
n→
f in A ′ .
⇔ w ∈ L(A ′ )
=⇒ L(A ′ )=L(A) \{ε}
Satz 1.6 Sei A ein Alphabet.
(a) ∅ ist erkennbar.
∀a ∈ A : {a} ist erkennbar
(b) L, L 1 ,L 2 ⊆ A ∗ seien erkennbar.
⇒ L C = A ∗ \ L, L 1 ∪ L 2 ,L 1 · L 2 ,L ∗ sind erkennbar
Beweis Zum Beweis von (a) siehe Übungsaufgabe (1).
(b) Voraussetzung ⇒ ∃ endliche Automaten A, A ∞ , A ∈ mit L(A) = L, L(A ∞ ) =
L 1 ,L(A ∈ )=L 2 .

Zu L C Satz 1.4
: =⇒ Es existiert ein vollständiger deterministischer Automat A det mit L(A det )=
L(A). Sei A det =(Q, T, I, F ). Definiere A C := (Q, T, I, F C ). Für jedes w ∈ A ∗
gibt es genau eine Berechnungsfolge u in A det mit Symbolfolge w und dom(u) ∈ I,
da A det vollständig und deterministisch ist. Es gilt
w ∈ L(A det ) ⇔ cod(u) ∈ F
trivial
⇔
cod(u) ∉ F C
⇔ w ∉ L(A C )
Also gilt L(A C )=(L(A det )) C = L C . Somit ist L C erkennbar.
Zu L 1 ∪ L 2 : Sei A i =(Q i ,T i ,I i ,F i ), i =1, 2 und Q 1 ∩ Q 2 = ∅.
Bilde A ∪ := (Q 1 ∪ Q 2 ,T 1 ∪ T 2 ,I 1 ∪ I 2 ,F 1 ∪ F 2 )
⇒ L(A ∪ ) klar = L(A 1 ) ∪ L(A 2 )=L 1 ∪ L 2 ⇒ L 1 ∪ L 2 erkennbar.
Zu L 1 · L 2 : Bilde mittels Lemma 1.5 normalisierte Automaten A ′ j =(Q′ j ,T′ j ,I′ j ,F′ j ),
j =1, 2mitI j ′ = {i j}, F j ′ = {f j} und L(A ′ j )=L(A′ j ) \{ε} = L j \{ε}.
Man schaltet A ′ 1 und A′2 ” in Serie“ (d. h. man identifiziert f 1 mit i 2 ) und erhält
einen neuen Automaten A ◦ .
Initialzustände von A ◦ seien i 1 sowie f 1 = i 2 , falls ε ∈ L 1 ;Finalzustände von A ◦
seien f 2 sowie f 1 = i 2 , falls ε ∈ L 2 .
Zu zeigen ist L(A ◦ )=L 1 · L 2 .
Fall 1: ε ∉ L 1 ∪ L 2 .
⇒ L(A ◦ ) klar = L(A ′ 1 ) · L(A′ 2 )=L 1 · L 2 .
Fall 2: ε ∈ L 1 \ L 2 .
⇒ L(A ◦ )=(L(A ′ 1 ) · L(A′ 2 )) ∪ L(A′ 2 )=(L 1 \{ε}) · L 2 ∪ L 2 = L 1 · L 2 .
Fall 3: ε ∈ L 2 \ L 1 .
⇒ L(A ◦ )=L(A ′ 1 ) ∪ (L(A′ 1 ) · L(A′ 2 )) = L 1 ∪ L 1 · (L 2 \{ε}) =L 1 · L 2 .
Fall 4: ε ∈ L 1 ∩ L 2 .
⇒ L(A ◦ )=L(A ′ 1 ) ∪ (L(A′ 1 ) · L(A′ 2 )) ∪ L(A′ 2 ) ∪{ε} =(L 1 \{ε}) ∪ (L 1 \{ε}) ·
(L 2 \{ε}) ∪ (L 2 \{ε}) ∪{ε} = L 1 · L 2 .
Zu L ∗ : Sei A ′ =(Q ′ ,T ′ ,I ′ ,F ′ ) ein normalisierter Automat mit I ′ = {i}, F ′ = {f}
und L(A ′ )=L(A) \{ε} = L \{ε}. Man bildet aus A ′ den Automaten A ∗ ,indem
i und f identifiziert werden (d. h. man schaltet A ′ mit sich selbst im Kreis).
⇒ L(A ∗ )={ε}∪L(A ′ ) ∪ L(∪A ′ ) 2 ∪ L(∪A ′ ) 3 ∪ ... =(L(A ′ )) ∗ =(L \{ε}) ∗ = L ∗ .
⇒A ∗ akzeptiert L ∗ .
Bemerkung Mit dem Beweis zu L 1 · L 2 behandelt man nur endliche Vereinigungen. L ∗ ist aber
eine unendliche Vereinigung. Es gibt folgendes Gegenbeispiel einer unendlichen Vereinigung
von Sprachen, die nicht erkennbar ist:
A ist endlich ⇒ A ∗ ist abzählbar ⇒ L ist abzählbar. Sei L = {w i | i ∈ Æ}
⇒ L = ⋃ i∈Æ {w i} ,aberL ist nicht erkennbar.
} {{ }
erkennbar
Definition 1.7 Sei A ein Alphabet. Die Menge der rationalen Sprachen über A ist die kleinste
Menge M von Sprachen über A, für die gilt:
(i) ∅, {a} ∈M für alle a ∈ A.
(ii) L, L 1 ,L 2 ∈ M ⇒ L 1 ∪ L 2 ,L 1 · L 2 ,L ∗ ∈ M
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6 KAPITEL 1. SPRACHEN UND AUTOMATEN
Das heißt, eine Sprache L ⊆ A ∗ ist rational genau dann, wenn L sich aus den Einpunktmengen
von A und der leeren Menge durch endlich häufige Anwendung von ∪, · und ∗
konstruieren lässt.
Beispiel {ε} ist rational, da {ε} = ∅ ∗ .
Folgerung 1.8 Sei A ein Alphabet. Es gilt:
(a) Das System der erkennbaren Sprachen über A ist abgeschlossen unter den üblichen
mengentheoretischen Operationen ∪, C , ∩ und \, bildet also insbesondere eine Boolesche
Algebra und enthält alle endlichen Teilmengen von A ∗ .
(b) Jede rationale Sprache über A ist erkennbar.
Beweis (a) L 1 ∩ L 2 =(L C 1 ∪ LC 2 )C , L 1 \ L 2 = L 1 ∩ L C 2
w ∈ A ∗ ⇒{w} ist erkennbar, denn sei w = a 1 ...a n ,dannist{w} = {a 1 }·...·{a n }
erkennbar (Satz 1.6 (a))
E ⊆ A ∗ endlich ⇒ E = ⋃ w∈E {w} erkennbar.
(b) siehe Definition von rational“ und Satz 1.6.
”
Satz 1.9 (Kleene, 1951) Sei A ein Alphabet, L ⊆ A ∗ .
L ist erkennbar genau dann, wenn L rational ist.
Beweis ⇐“: siehe Folgerung 1.8
”
⇒“: Sei A =(Q, T, I, F ) ein endlicher Automat mit L(A) =L.
”
Für i ∈ I, f ∈ F sei A i, f := (Q, T, {i}, {f}). Wegen L(A) = ⋃ i∈I,f∈F L(A i, f)
genügt es, zu zeigen:
∀i ∈ I, f ∈ F : L(A i, f ) ist rational.
O. E. sei Q = {1, 2 ..., n}. Für m, l ∈ Q, k ≥ 0seiX (k)
m, l
die Menge aller Symbolfolgen
w = a 1 ...a z ∈ A ∗ , z ≥ 0, für die es in A eine Berechnungsfolge
u : m a 1 a
→ q
2
a
1 → ... →
z
qz−1 → l
gibt mit ∀1 ≤ j ≤ z − 1: q j ≤ k.
Das heißt, u führt in A von m nach l wobei zwischendurch nur Zustände aus {1, 2, ..., k}
berührt werden.
Für m = l ist auch w = ε zugelassen (setze z = 0). Es gilt:
∀k ≥ 0:X (k+1)
m, l
= X (k)
(
m, l ∪ X(k) m, k+1 · X (k) ) ∗ (k)
k+1,k+1 · X
k+1,l
(∗)
Begründung: ⊇“istklar, ⊆“: Sei w ∈ X (k+1)
” ” m, l
\ X (k)
m, l .
⇒ w ist Symbolfolge einer Berechnungsfolge u von m nach l, dienurZustände aus
{1, ..., k +1} berührt und mindestens einmal den Zustand k + 1. Betrachte alle
Stellen, an denen u den Zustand k +1berührt und zerlege u und w entsprechend.
⇒ w ∈ X (k) (
m, k+1 · X (k) ) ∗ (k)
k+1,k+1 · X
k+1,l .EsistX(0) m, l
⊆ A, alsoistX(0)
m, l
rational. Ist
k ≥ 0mit∀m, l ∈ Q : X (k)
m, l
rational, so gilt nach (∗): ∀m, l ∈ Q : X(k+1)
m, l
rational.
Induktiv folgt ∀i ∈ I, f ∈ F : X (n)
i, f
ist rational. Aus X(n)
i, f = L(A i, f) folgt aber, dass
L(A) rationalist.

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Lemma 1.10 (Pumping-Lemma) Sei A ein endlicher Automat mit n Zuständen. Sei w ∈
L(A) mit|w| ≥n. Dann existiert eine Zerlegung w = x · y · z mit y ≠ ε und ∀k ≥ 0:
x · y k · z ∈ L(A).
Beweis Siehe Übungsaufgabe (4).
Folgerung 1.11 L = {a n b n : n ≥ 0} ist nicht rational.
Beweis Wäre L rational, so auch erkennbar nach Satz 1.9. Aus Lemma 1.10 und Übungsaufgabe
(6) folgt, dass L nicht erkennbar ist.
Satz 1.12 Gegeben seien endliche Automaten A, A ′ . Dann lassen sich maschinell endliche Automaten
A C , A ∪ konstruieren mit L(A C )=L(A) C und L(A ∪ )=L(A) ∪ L(A∪A ′ ).
Ferner lässt sich maschinell entscheiden, ob L(A) =∅, obL(A) =A ∗ ,obL(A) ⊆ L(A ′ )
und ob L(A) =L(A ′ ).
Beweis Zur ersten Aussage siehe Beweis von Satz 1.6 (b).
Zum zweiten Teil: Entscheide, ob L(A) =∅ mittels (∗):
L(A) =∅⇔∀w ∈ A ∗ , |w| ≤|Q|−1: w ∉ L(A).
L(A) =A ∗ ⇔ L(A C )=∅.
L(A) ⊆ L(A ′ ) ⇔ L(A) \ L(A ′ )=∅
L(A) =L(A ′ ) ⇔ L(A) ⊆ L(A ′ ) und L(A) ⊇ L(A ′ )

8 KAPITEL 1. SPRACHEN UND AUTOMATEN

Kapitel 2
Monoide und Kongruenzrelationen
Ziel: Andere Charakterisierung erkennbarer Sprachen; Algebraisierung der Theorie erkennbarer
Sprachen.
Definition 2.1 Sei M eine Menge und · : M × M → M eine Abbildung.
(a) (M, ·) heißt Semigruppe / Halbgruppe, falls · assoziativ ist, d. h. ∀a, b, c ∈ M :
(a · b) · c = a · (b · c).
(b) (M, ·) heißt Monoid, falls (M, ·) eine Semigruppe ist und ∃1 ∈ M : ∀x ∈ M : x · 1=
x =1· x.
(c) (M, ·) heißt Gruppe, falls (M, ·) Semigruppe ist und ∃1 ∈ M : ∀x ∈ M; (x · 1=x =
1 · x) ∧ (∃y ∈ M : x · y =1=y · x)
(d) (M, ·) heißt kommutativ / abelsch, falls ∀x, y ∈ M : x · y = y · x
Bemerkung Es gilt:
(i) (M, ·) ist Gruppe ⇒ (M, ·) istMonoid⇒ (M, ·) ist Semigruppe
(ii) (M, ·) istMonoid⇒ das Elemenet 1 ∈ M ist eindeutig bestimmt. Begründung: Sei
1, 1 ′ ∈ M mit ∀x ∈ M : x · 1=x =1· x, x · 1 ′ = x =1 ′ · x. Dann gilt 1 = 1 · 1 ′ =1 ′ .
Beispiel 2.1 (a) (M, ·) =(A + , Konkatenation) ist Semigruppe, aber kein Monoid.
(M, ·) =(A ∗ , Konkatenation) ist Monoid.
(b) (Æ, +) mit 0 ∈ Æ ist kommutatives Monoid.
(Æ, ·) ist kommutatives Monoid.
(, +) ist abelsche Gruppe.
(É \{0}, ·) ist abelsche Gruppe.
(c) Sei S Menge, F := {f : S → S | f Abbildung}, · sei Hintereinanderausführung. ⇒
(F, ·) ist ein Monoid mit 1 = id S .
Definition 2.2 Seien M, M ′ Monoide und U ⊆ M.
(a) U heißt Untermonoid von M genau dann, wenn 1 ∈ U und ∀a, b ∈ U : a · b ∈ U. Man
schreibt (U, ·) ⊆ (M, ·).
(b) Eine Abbildung f : M → M ′ heißt Homomorphismus genau dann, wenn f(1 M )=1 M ′
und ∀a, b ∈ M : f(a · b) =f(a) · f(b).
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10 KAPITEL 2. MONOIDE UND KONGRUENZRELATIONEN
Ein Homomorphismus f : M → M ′ heißt
• Einbettung oder Monomorphismus, falls f injektiv ist,
• Epimorphismus, falls f surjektiv ist,
• Isomorphismus, falls f bijektiv ist.
Man schreibt M ≃ M ′ , falls ein Isomorphismus M → M ′ existiert.
Lemma 2.3 Seien M, M ′ Monoide und f : M → M ′ Homomorphismus. Dann ist f(M) ⊆ M ′
Untermonoid.
Beweis 1 M ′ = f(1 M ) ∈ f(M). Seien x, y ∈ f(M) beliebig. ⇒∃a, b ∈ M : x = f(a), y= f(b).
⇒ x · y = f(a) · f(b) =f(a · b) ∈ f(M).
Satz 2.4 (a) Sei A Menge, M Monoid, f : A → M Abbildung. Dann existiert genau ein
Homomorphismus g : A ∗ → M mit g |A = f.
(b) M Monoid ⇒∃Menge A, Epimorphismus g : A ∗ → M.
Beweis siehe Übungsaufgaben.
Definition 2.5 Sei M ein Monoid und ∼ eine Äquivalenzrelation auf M. ∼ heißt Kongruenz
genau dann, wenn ∀a, b, c ∈ M : a ∼ b ⇒ a · c ∼ b · c und c · a ∼ c · b.
Beispiel 2.2 Sei f : M → M ′ Homomorphismus.
Definiere für x, y ∈ M : x ∼ y :⇔ f(x) =f(y). Dann ist ∼ Kongruenz auf M.
Satz 2.6 (Konstruktion) Sei M Monoid, ∼ Kongruenz auf M. Für x ∈ M sei [x] :={y ∈
M | x ∼ y}, die∼-Äquivalenzklasse von x. SeiM /∼ := {[x] | x ∈ M} (Äquivalenzraum).
Für x, y ∈ M definiere [x]·[y] :=[x·y]. Dann ist (M /∼ , ·) ein Monoid (Quotientenmonoid,
Faktormonoid von M bezüglich ∼).
Die Abbildung f : M → M /∼ mit x ↦→ [x] ist ein Epimorphismus (kanonischer Epimorphismus)
von M auf M /∼ .
Beweis Wohldefiniertheit von · : M /∼ × M /∼ → M /∼ :
Sei x, y, x ′ ,y ′ ∈ M mit x ∼ x ′ ,y∼ y ′ .Esistx · y ∼ x ′ · y und x ′ · y ∼ x ′ · y ′ trans. =⇒
x · y ∼ x ′ ∼ y ′ .
Assoziativität:
Die Assoziativität von · : M /∼ × M /∼ → M /∼ folgt direkt aus der Assoziativität von
· : M × M → M.
Existenz des Einselements:
[1] ist das Einselement von M /∼ ,denn∀x ∈ M :[x] · [1] = [x · 1] = [x].
Epimorphismuseigenschaft:
Offensichtlich ist f : M → M /∼ surjektive Abbildung. Weiterhin ist f(1) = [1] und
f(x · y) =[x · y] =[x] · [y] =f(x) · f(y).
Satz 2.7 (Isomorphiesatz) Sei f : M → M ′ ein Epimorphismus und ∼ die durch f auf
M induzierte Kongruenz. Dann ist die Abbildung g : M /∼ → M ′ mit [x] ↦→ f(x) ein
Isomorphismus.

11
Beweis g wohldefiniert: Sei x, y ∈ M mit [x] =[y]. Dann folgt f(x) =f(y) ausx ∼ y.
g injektiv: Seien x, y ∈ M mit g([x]) = g([y]). Aus f(x) =f(y) folgt x ∼ y, und damit
[x] =[y].
g surjektiv: Sei z ∈ M ′ beliebig. f surjektiv ⇒∃x ∈ M : f(x) =z ⇒ [x] ∈ M /∼ und
g([x]) = f(x) =z.
g Homomorphismus: g([1 M ]) = f(1 M )=1 M ′. Seien x, y ∈ M ⇒ g([x] · [y]) = g([x · y]) =
f(x · y) =f(x) · f(y) =g([x]) · g([y]).
Damit ist g Isomorphismus.
Bemerkung Sei M Monoid, ∼ Kongruenz auf M. Man sagt, ∼ hat einen endlichen Index in
M :⇔ M /∼ ist endlich ⇔ es gibt nur endlich viele Äquivalenzklassen.
Satz 2.8 (Konstruktion) Sei M Monoid und L ⊆ M. Für y, y ′ definiert man
y ∼ L y ′ :⇔∀x, z ∈ M : xyz ∈ L ⇔ xy ′ z ∈ L
Dann ist ∼ L eine Kongruenz, die sogenannte syntaktische oder Myhill-Kongruenz von L
auf M. Der kanonische Epimorphismus h : M → M /∼L erfüllt h −1 (h(L)) = L (d. h. h
saturiert“ L).
”
Beweis ∼ L ist offensichtlich eine Äquivalenzrelation.
Sei y, y ′ ∈ M mit y ∼ L y ′ .Seiw ∈ M. Zu zeigen ist yw ∼ L y ′ w und wy ∼ L wy ′ .
Seien x, z ∈ M beliebig.
x(yw)z ∈ L ⇔ x · y · (wz) ∈ L
⇔ x · y ′ · (wz) ∈ L
⇔ x · (y ′ w)z ∈ L
Die zweite Beziehung beweist man analog.
Es gilt stets L ⊆ h −1 (h(L)). Sei x ∈ h −1 (h(L)) beliebig. Zu zeigen ist x ∈ L.
Voraussetzung ⇒ h(x) ∈ h(L)
⇒ ∃y ∈ L : h(x) =h(y)
⇒ x ∼ L y
1 · y · 1 ∈ L ⇒ 1 · x · 1=x ∈ L ⇒ L = h −1 (h(L)).
Definition 2.9 Sei M ein Monoid. Ein M-Automat ist ein Quadrupel A =(Q, δ, q 0 ,F)mit
1. Q Menge (von Zuständen)
2. δ : Q × M → Q partielle Abbildung mit ∀q ∈ Q:
(i) δ(q, 1) = q (d. h. die linke Seite ist definiert)
(ii) ∀m, m ′ ∈ M : δ(q, mm ′ )=δ(δ(q, m), m ′ ) (d. h. die linke Seite definiert ⇔ rechte
Seite ist definiert)
Ist δ(q, m) =r, soschreibenwirqm = r oder q → m r. Also:
(i) q1 =q

12 KAPITEL 2. MONOIDE UND KONGRUENZRELATIONEN
(ii) ∀m, m ′ ∈ M : δ(q, mm ′ )def.⇔ (qm)m ′ def.
3. q 0 ∈ Q Startzustand
4. F ⊆ Q Menge der Finalzustände.
5. A heißt endlich, falls Q endlich ist.
6. A heißt vollständig, falls δ : Q × M → Q Abbildung ist, d. h. ∀q ∈ Q, m ∈ M : ∃r ∈
Q : qm = r
L(A) :={m ∈ M | q 0 m ∈ F } =von A akzeptierte / erkannte Sprache. Jede Teilmenge
von M heißt Sprache (in M). L ⊆ M heißt erkennbar :⇔ ∃endlicher M-Automat A mit
L = L(A).
Rec(M) :={L ⊆ M | L erkennbar}.
Beispiel A =(Q, T, {q 0 },F) sei deterministischer Automat über A. Dann definiert T eine
partielle Abbildung δ A : Q × A → Q durch δ A (q, a) =r :⇔ (q, a, r) ∈ T .
Setze d A zu einer partiellen Abbildung δ : Q × A ∗ → Q fort durch δ(q, ε) :=q, ∀q ∈ Q :
δ(q, a 1 ...a n )=r :⇔ ∃Berechnungsfolge q a 1 a
→ q
2 a
1 → ...
n→
r. Dannist(Q, δ, q0 ,F)ein
A ∗ -Automat.
Umgekehrt erhält man aus einem A ∗ -Automat (Q, δ, q 0 ,F) einen deterministischen Automaten
(Q, T, {q 0 },F)mit:
(q, a, r) ∈ T :⇔ δ(q, a) =r
Diese beiden Umformungsprozesse sind invers zueinander und erhalten die Eigenschaft
vollständig“ und die akzeptierte Sprache.
”
Lemma 2.10 Sie A = (Q, δ, q 0 ,F) ein M-Automat. Dann existiert ein vollständiger M-
Automat A ′ =(Q ′ ,δ ′ ,q 0 ,F)mitQ ′ = Q ∪{BOTTOM}, δ ′ setzt δ fort, L(A ′ )=L(A).
Beweis Wähle BOTTOM ∉ Q, setze Q ′ = Q ∪{BOTTOM}. Definiere δ ′ als Fortsetzung von
δ auf Q ′ × M → Q ′ durch
⎧
⎪⎨ d(q ′ ,m)
δ(q ′ ,m)= BOTTOM
⎪⎩ BOTTOM
falls q ′ ∈ Q und d(q ′ ,m)def.
falls q ′ ∈ Q und d(q ′ ,m)nichtdef.
falls q ′ = BOTTOM
Zu zeigen ist: δ ′ ist Operation von M auf Q ′ . Für q ∈ Q : δ ′ (q, 1) = δ(q, 1) = q,
δ ′ (BOTTOM,1) = BOTTOM.
Seien m, m ′ ∈ M ⇒ δ ′ (BOTTOM, mm ′ )=BOTTOM = δ ′ (δ ′ (BOTTOM, m), m ′ ).
Sei qinQ. Zu zeigen ist δ ′ (q, mm ′ )=δ ′ (δ ′ (q, m), m ′ ). Angenommen, die linke Seite ist in
Q. ⇒ δ ′ (q, mm ′ )=δ(q, mm ′ )=δ(δ(q, m), m ′ )=δ ′ (δ ′ (q, m), m ′ ).
Sonst: δ ′ (q, mm ′ )=BOTTOM.
δ ′ (q, m) =BOTTOM ⇒ δ ′ (δ ′ (q, m), m ′ )=δ ′ (BOTTOM, m ′ )=BOTTOM
δ ′ (q, m) ∈ Q ⇒ δ ′ (q, m) =δ(q, m) =:r
Wäre δ ′ (r, m ′ ) ∈ Q,so δ ′ (r, m ′ )=δ(r, m)

13
und δ(q, mm ′ )=δ(δ(q, m), m ′ ) ∈ Q,
also δ(q, mm ′ )=δ(q, mm ′ )inQ. Widerspruch.
Also gilt δ ′ (r, m ′ )=BOTTOM = δ ′ (q, mm ′ ) wie behauptet. Folglich ist δ ′ Operation.
L(A) ={m ∈ M | δ ′ (q 0 ,m) ∈ F } = {m ∈ M | δ(q 0 ,m) ∈ F } = L(A).
Satz 2.11 (Konstruktion) Sei L ⊆ M.Für x ∈ M definiere L /x := {y ∈ M | xy ∈ L} = x −1 L.
Es ist L /1 = L und 1 ∈ L /x ⇔ x ∈ L. Definiere A L := (Q L ,δ,q 0 ,F) wie folgt:
1. Q L := {L /x | x ∈ M}
2. δ : Q L × M → Q L mit (L /x ,y) ↦→ L /xy
3. q 0 := L /1
4. F := {L /x | x ∈ L}
Dann ist A L ein vollständiger M-Automat mit L(A L ) = L. A L heißt minimaler M-
Automat von L.
Beweis
δ ist wohldefiniert:
Seien x, x ′ ,y∈ M mit L /x = L /x ′. Zu zeigen ist L /xy = L /x ′ y.Seiz ∈ M.
z ∈ L /xy ⇔ xyz ∈ L
⇔ yz ∈ L /x = L /x ′
⇔
⇔
x ′ yz ∈ L
z ∈ L /x ′ y
δ ist Operation:
δ(L /x , 1) = L /x·1 = L /x
Seien x, y, z ∈ M. (L /x )(yz) =L /x(yz) = L /(xy)z =(L /xy ) · z =(L /x · y) · z
Damit ist A L vollständiger M-Automat.
L(A L )=L:
Sei x ∈ M.
x ∈ L(A L ) ⇐⇒ q 0 x ∈ F
⇐⇒ ∃x ′ ∈ L : L /x = L /1 · x = L /x ′
1∈L /x ′
=⇒ x ∈ L
triv.
⇐= (setze x ′ = x)
Bemerkung Sei L ∈ M und y, y ′ ∈ M. Dann gilt
y ∼ L y ′ ⇔∀x ∈ M : L /x · y = L /x · y ′ in A L
Beweis
” ⇒“:
Sei x ∈ M. L /x · y = L /xy , L /x · y ′ = L /xy ′.Seiz ∈ M beliebig:
z ∈ L /xy ⇔ xyz ∈ L
⇔ xy ′ z ∈ L
⇔ z ∈ L /xy ′

14 KAPITEL 2. MONOIDE UND KONGRUENZRELATIONEN
” ⇐“: Seien x, z ∈ M beliebig:
Bezeichnung
xyz ∈ L ⇔ z ∈ L /xy = L /x · y = L /x · y ′ = L /xy ′ ⇔ xy ′ z ∈ L
(a) Sei A =(Q, δ, q 0 ,F)einM-Automat. q ∈ Q heißt erreichbar genau dann, wenn
∃m ∈ M : q 0 m = q.
(b) Sei A =(Q, T, I, F )einAutomatüber A. q ∈ Q heißt erreichbar genau dann, wenn
eine Berechnungsfolge u existiert mit dom(u) ∈ I, cod(u) =q.
Satz 2.12 Sei M Monoid und L ⊆ M. SeiA =(Q, δ, q 0 ,F) ein vollständiger M-Automat
mit L(A) = L. Dann gibt es eine surjektive Abbildung f : Q → Q L ,wobeiQ L die
Zustandsmenge des minimalen M-Automaten für L ist.
Ist L erkennbar, so hat also A L unter den L akzeptierenden vollständigen M-Automaten
am wenigsten Zustände, und A L ist endlich.
Beweis Definiere f : Q → Q L mit
{
L/x falls x ∈ M und q
q ↦→
0 x = q
falls q nicht erreichbar in A
q ′ 0
A L =(Q L ,δ ′ ,q ′ 0 ,F′ ). Sei x, x ′ ∈ M mit q 0 x = q = q 0 x ′ .Seiy ∈ M:
y ∈ L /x ⇔ xy ∈ L = L(A)
⇔ q 0 xy ∈ F
⇔ q 0 x ′ y ∈ F
⇔ x ′ y ∈ L(A) =L
⇔ y ∈ L /x ′
Also ist L /x = L /x ′ und f wohldefiniert.
Sei x ∈ M beiliebig. Setze q := q 0 x (das geht, da A vollständiger M-Automat). Dann gilt
f(q) =L /x und f ist surjektiv.
L erkennbar ⇒∃endlicher vollständiger M-Automat A =(Q, ...)mitL(A) =L
⇒|Q L |≤|Q|
Beispiel L = {a n b n | n ≥ 0} ⊆A ∗ , {a, b} ⊆A. Zeige, dass L nicht erkennbar ohne Pumping
Lemma:
b i ∈ L /a i = {w ∈ A ∗ | a i w ∈ L} = {a j b i+j | j ≥ 0}, also sind die Mengen L /a i, i ∈ Æ
paarweise verschieden.
Kürzer: b i ∈ L /a j ⇔ i = j (i, j ∈ Æ) ⇒ alle L /a i. sind paarweise verschieden.
Satz 2.13 (Myhill, Nerode 1957) Sei M Monoid und L ∈ M. Die folgenden Aussagen sind
äquivalent:
1. L ist erkennbar

15
2. Der minimale M-Automat A L ist endlich
3. Das syntaktische Monoid M /∼L ist endlich
4. Es exisitiert ein endliches Monoid N und ein Homomorphismus h : M → N mit
L = h −1 (h(L)).
Beweis
1 ⇒ 2:
folgt aus Satz 2.12
2 ⇒ 3:
Nach dem Zusatz zu Konstruktion 2.11 gilt für alle y, y ′ ∈ M:
y ∼ L y ′ * ⇔∀x ∈ M : L/x · y = L /x · y ′
Da A L vollständig ist, induziert jedes y ∈ M eine Abbildung ỹ : Q L → Q L mit
q ↦→ q ·y. Wegen (*) gilt y ∼ L y ′ ⇔ ỹ =ỹ ′ .DaQ L endlich, existieren nur endlich viele
Abbildungen Q L → Q L und damit auch höchstens soviele ∼ L -Äquivalenzklassen. Es
gilt |M /∼L |≤|Q L | |Q L|
3 ⇒ 4:
Setze N = M /∼L .Wähle h : M → N den kanonischen Epomorphismus. Mit Konstruktion
2.8 folgt h −1 (h(L)) = L.
4 ⇒ 1:
Es existiert ein endlicher Monoid N, h : M → N mit L = h −1 (h(L)).
Definiere A =(Q, δ, q 0 ,F) wie folgt: Q := N, q 0 =1 N , F := h(L) ⊆ N, δ(q, m) :=
q i h(m), q ∈ Q = N, n ∈ M, δ(q, 1) = q · h(1) = q · 1=q, δ(q, mm ′ )=d · h(mm ′ )=
q · h(m) · h(m ′ )=δ(δ(q, m), m ′ )
⇒Aist endlicher M-Automat. m ∈ M ⇒ δ(q 0 ,m)=q 0 h(m) =h(m).
m ∈ L(A) ⇔ h(m) ∈ F ⇔ m ∈ h −1 (h(L)). Also ist L(A) =h −1 (h(L)) = L.
Folgerung 2.14 Seien M, M ′ Monoide, f : M → M ′ Homomorphismus, L ′ ⊆ M ′ und L =
f −1 (L ′ ).
(a) L ′ erkennbar ⇒ L erkennbar
(b) f surjektiv, L ∈ Rec(M) ⇒ L ′ ∈ Rec(M ′ )
Beweis (a) Seien y 1 ,y 2 ∈ M. Seif(y 1 ) ∼ L f(y 2 ). Zu zeigen ist y 1 ∼ L y 2 .
Sei x, z ∈ M.
x · y 1 · z ∈ L ⇒ f(xy 1 z)=f(x) · f(y 1 ) · f(z) ∈ f(L) ⊆ L ′
⇒ f(x) · f(y 2 ) · f(z) ∈ L ′
⇒ xy 2 z ∈ f −1 (L ′ )=L
Umkehrung verläuft analog ⇒ y 1 ∼ L y 2 .
L ′ erkennbar ⇒∼ L ′-Äquivalenzklassen endlich | ∼ L -Äquivalenzklassen| ≤ | ∼ L ′
-Äquivalenzklassen| ⇒|∼ L -Äquivalenzklassen| endlich ⇒ L erkennbar.

16 KAPITEL 2. MONOIDE UND KONGRUENZRELATIONEN
(b) Seien y 1 ′ ,y′ 2 ∈ M ′ , f surjektiv ⇒ ∃y 1 ,y 2 ∈ M : f(y 1 ) = y 1 ′ .Seiy 1 ∼ L y 2 .Zu
zeigen ist y 1 ′ ∼ L ′ y′ 2 . Seien x′ ,z ′ ∈ M ′ .Wähle x, z ∈ M mit f(x) =x ′ , f(z) =z ′ .
x ′ y 1 ′ z′ ∈ L ′ ⇒ xy 1 z ∈ f −1 (L ′ )=L ⇒ xy 2 z ∈ L ⇒ x ′ y 2 ′ z′ = f(xy 2 z) ∈ f(L).
Umkehrung ⇒ y 1 ′ ∼ L ′ y′ 2 .Also|∼ L ′ -Äquivalenzklassen| ≤|∼ L -Äquivalenzklassen|
Satz 2.13
endlich, da L erkennbar =⇒ L ′ erkennbar.
Folgerung 2.15 Sei M Monoid. Die Menge Rec(M) ⊆ M der erkennbaren Sprachen ist abgeschlossen
unter Vereinigung, Durchschnittsbildung und Komplementsbildung. Sie enthält
∅, M.
Beweis ({q}, δ,q,∅) mit∀m ∈ M : δ(q, m) =q akzeptiert nichts ⇒∅∈Rec(M).
({q}, δ,q,{q}) mit∀m ∈ M : δ(q, m) =q akzeptiert jedes Wort ⇒ M ∈ Rec(M).
Sei L 1 ,L 2 ∈ Rec(M). Zu zeigen ist L 1 ∩ L 2 ∈ Rec(M).
y ∼ L1 ∩L 2
y ′ ⇔∀x, z ∈ M : xyz ∈ L 1 ∩ L 2 ⇔ xy ′ z ∈ L 1 ∩ L 2 ⇐∀x, z ∈ M, i ∈{1, 2} :
xyz ∈ L i ⇔ xy ′ z ∈ L i ⇔ y ∼ L1 y ′ und y ∼ L2 y ′ .
Es gilt |∼ L1 ∩L 2
-Äquivalenzklassen| ≤|∼ L1 -Äquivalenzklassen|+| ∼ L2 -Äquivalenzklassen| <
∞. AlsoistL 1 ∩ L 2 erkennbar.
Sei L ∈ Rec(M) ⇒ es existiert ein vollständiger M-Automat A =(Q, δ, q 0 ,F)mitL(A) =
L. Dannerkennt(Q, δ, q 0 ,F C ) das Komplement L C .
( ) C.
Weiterhin ist L 1 ∪ L 2 = L C 1 ∩ LC 2
Bemerkung Es gibt Monoide M mit Rec(M) = {∅, M}, z.B.mitM unendliche einfache
Gruppe.
Definition 2.16 Sei M Monoid. Die Menge RAT(M) der rationalen Ausdrücke ist die kleinste
Menge von Symbolfolgen, für die gilt:
1. E ⊆ M, E endlich ⇒ E ∈ RAT(M)
2. E 1 ,E 2 ∈ RAT(M) ⇒ (E 1 ∪E 2 ),E 1·E 2 ,E 1 ∗∈RAT(M) (mit(, ), ∪, ·, ∗ als Zeichen).
Syntaxdefinition der rationalen Ausdrücke
Für A, B ⊆ M sei
A · B := {a · b | a ∈ A, b ∈ B}
A ∗ := {a 1 · ...· a n | n ∈ N, a 1 , ..., a n ∈ A}∪{1}
= ⋃ A n
n≥0
= kleinstes Untermonoid von M, welches A enthält
Semantik der rationalen Ausdrücke
Definiere Ä = Ä M :RAT(M) →P(M)
E ⊆ M, E endlich ⇒ Ä(E) :=E
E 1 ,E 2 ∈ RAT(M), Ä(E 1 ), Ä(E 2 )def. ⇒ Ä(E 1 ∪ E 2 ):=Ä(E 1 ) ∪ Ä(E 2 )
Ä(E 1 · E 2 ):=Ä(E 1 )cdotÄ(E 2 )
Ä(E ∗ 1):=(L(E 1 )) ∗

17
Rat(M) :={Ä(E) | E ∈ RAT(M)} = {rationale Sprachen in M}.
L ⊆ M rational ⇔∃E ∈ RAT(M) : L = Ä(E)
Bemerkung Sei f : M → M ′ Homomorphismus und A, B ⊆ M.
⇒ f(A · B) =f(A) · f(B) und f(A ∗ )=f(A) ∗ .
Beweis Sei x ′ ∈ M ′ .
x ′ ∈ f(A · B) ⇔ ∃x ∈ A · B : x ′ = f(x)
⇔ ∃a ∈ A, b ∈ B : x ′ = f(a · b) =f(a) · f(b)
⇔ ∃a ′ ∈ f(A), b ′ ∈ f(B) : x ′ = a ′ · b ′
⇔ x ′ ∈ f(A) · f(B)
⇒ f(A n )=f(A · ...· A) =f(A) · ...· f(A) =(f(A)) n
⇒ f(A ∗ )=f( ⋃ n≥0 An )= ⋃ n≥0 f(An )= ⋃ n≥0 (f(A))n =(f(A)) ∗
Bemerkung Alternativ argumentiert man
f(A · B) = f({a · b | a ∈ A, b ∈ B})
= {f(a · b) | a ∈ A, b ∈ B}
= {f(a) · f(b) | a ∈ A, b ∈ B}
= {f(a) | a ∈ A}·{f(b) | b ∈ B}
= f(A) · f(B)
Lemma 2.17 Seien M, M ′ Monoide, f : M → M ′ Homomorphismus. Definiere die ”
induzierte
Ersetzungsabbildung“ f :RAT(M) → RAT(M ′ ) induktiv durch
E endlich
f
↦→ f(E)
(E 1 ∪ E 2 ) ↦→ (f(E 1 ) ∪ f(E 2 ))
E 1 · E 2 ↦→ f(E 1 ) · f(E 2 )
E1 ∗ ↦→ f(E 1 ) ∗
Das heißt f(E) ist der rationale Ausdruck, der entsteht, indem man in E jede endliche Teilmenge
E ′ durch f(E ′ ) ersetzt. Dann gilt für alle E ∈ RAT(M): f(Ä M (E)) = Ä M ′(f(E)).
Beweis durch Induktion über den Aufbau von E. SeiE ⊆ M endlich.
⇒ Ä M (E) =E, f(E) =f(E) ⇒ f(Ä M (E)) = f(E) =f(E) =Ä M ′(f(E))
Die Behauptung gelte nun für E 1 ,E 2 ∈ RAT(M). Sei ◦∈{∪, ·}:
f(Ä M (E 1 ◦ E 2 )) = f(Ä M (E 1 ) ◦ Ä M (E 2 ))
= f(Ä M (E 1 )) ◦ f(Ä M (E 2 ))
= Ä M ′(f(E 1 )) ◦ Ä M ′(f(E 2 ))
= Ä M ′(f(E 1 ) ◦ f(E 2 ))
= Ä M ′(f(E 1 ◦ E 2 ))

18 KAPITEL 2. MONOIDE UND KONGRUENZRELATIONEN
f(Ä M (E1)) ∗ = f((L M (E 1 )) ∗ )
(
) ∗
= f(Ä M (E 1 ))
(
) ∗
= Ä M ′(f(E 1 )
= Ä M ′
((f(E 1 )) ∗)
= Ä M ′(f(E1 ∗ ))
Satz 2.18 Seien M, M ′ Monoide.
(a) f : M → M ′ Homorphismus, L ∈ Rat(M) ⇒ f(L) ∈ Rat(M ′ )
(b) f : M → M ′ Epimorphismus, L ′ ⊆ M ′ :
L ′ ∈ Rat(M ′ ) ⇔∃L ∈ Rat(M) :f(L) =L ′
Im Allgemeinen ist f −1 (L ′ ) ∉ Rat(M). Einfaches Gegenbeispiel: Wähle nicht endlich
erzeugtes Monoid, z. B. (Q, +) und M ′ = {1}.
(c) Sei L ⊆ M:
L ∈ Rat(M) ⇔∃Alphabet X : ∃ Homomorphismus h : X ∗ → M : ∃L 0 ∈ Rat(X ∗ ):
h(L 0 )=L
(d) M ∈ Rat(M) ⇔ M ist endlich erzeugt (∃X ⊆ M, |X| < ∞ : M = X ∗ )
Beweis (a) L ∈ Rat(M) ⇒∃E ∈ RAT(M) : L = Ä M (E) ⇒ f(L) =f(Ä M (E)) = Ä M ′(f(E))
und f(E) ∈ RAT(M ′ ) ⇒ f(L) ∈ Rat(M ′ ).
(b) ⇐“ gilt nach (a)
”
” ⇒“: L′ ∈ Rat(M ′ ) ⇒∃E ′ ∈ RAT(M ′ ): L ′ = Ä M ′(E ′ ).
Sei E ∈ RAT(M) der Ausdruck, der aus E ′ entsteht, indem man jedes E i ′ durch E i
ersetzt. Seien E i ′ (i ∈ I) die in E′ auftauchenden endlichen Teilmengen von M ′ .
f : M → M ′ surjektiv ⇒∃endliches E i ⊆ M : f(E i )=E i ′ (i ∈ I).
Die Ersetzungsabbildung f aus Lemma 2.17 erfüllt f(E i )=f(E i )=E i ′.Alsoist
f(E) =E ′ . Weiter folgt aus Lemma 2.17 f(Ä M (E)) = Ä M ′(f(E)) = Ä M ′(E ′ )=L ′ .
Setze L = Ä M (E).
(c) ⇐“ gilt nach (a)
”
” ⇒“: Wähle E ∈ RAT(M) mitL = Ä M (E). Seien E i (i ∈ I) die in E auftauchenden
endlichen Teilmengen von M.
Sei X := ⋃ i∈I E i ⇒ X endlich.. Es ist auch EinRAT(X ∗ ). Aus Satz 2.4 (a) folgt, es
existiert genau ein Homomorphismus h : X ∗ → M mit h |X =id.
Aus (b) folgt h(Ä X ∗(E) )=Ä M (h(E)) = L ⇒ L 0 ∈ Rat(X ∗ ) und die Behauptung.
} {{ }
:=L 0
(d) ⇒“: Nach (c) existiert ein Alphabet X und ein Homomorphismus h : X ∗ → M und
”
L 0 ∈ Rat(X ∗ )mith(L 0 )=M. ⇒ M = h(X ∗ )=(h(X)) ∗ und h(X) endlich ⇒ h(X)
ist endliches Erzeugendensystem von M.
” ⇐“: Sei M = E∗ für eine endliche Teilmenge E ⊆ M.
⇒ E ∗ ∈ RAT(M)
⇒ Ä M (E ∗ )=(Ä M (E)) ∗ = E ∗ = M
⇒ M ∈ Rat(M).

19
Beispiel M = X ∗ , X = {a, b}; M = Æ × Æ mit komponentenweiser Addition.
L ′ := {(1, 1)} ∗ = {(n, n) | n ≥ 0} ∈Rat(M ′ ) ist endlich erzeugt.
Definiere f : M → M ′ mit w ↦→ (|w| a , |w| b ). f ist Epimorphismus.
Aber L ′ ∉ Rec(M ′ )! Wäre f −1 (L ′ )rationalinM = X ∗ , so auch erkennbar nach Kleene.
Aus Folgerung 2.14 (b) und f surjektiv folgt L ′ erkennbar.
Das ist ein Widerspruch.
Folgerung 2.19 Sei M ein Monoid. M ist endlich erzeugt ⇔ Rec(M) ⊆ Rat(M).
Beweis
” ⇐ “:
Rec(M) ⊆ Rat(M) 2.15
2.18 (d)
⇒ M ∈ Rec(M) =⇒ M ist endlich erzeugt.
” ⇒ “:
Sei M = X ∗ mit X ⊆ M endlich und L ∈ Rec(M). Sei Xf
∗ das freie Monoid aller
Wörter über dem Alphabet X.
Aus Satz 2.4 (a) folgt ∃ Homomorphismus h : Xf ∗ → M mit h |X =id.Istm ∈ M, so
ist m = x 1 ···x n mit x 1 , ..., x n ∈ X geeignet h =⇒ Hom. h(x 1 ···x n )=h(x 1 ) ···h(x n )=
2.14 (a)
x 1 ···x n = m ⇒ h surjektiv =⇒ L 0 := h −1 (L) ∈ Rec(Xf ∗) Kleene =⇒ L 0 ∈ Rat(Xf ∗ 2.18 (a)
) =⇒
h(L 0 ) ∈ Rat(M)
h(L 0 )=h(h −1 (L)) h = surj.
L ⇒ L ∈ Rat(M).

20 KAPITEL 2. MONOIDE UND KONGRUENZRELATIONEN

Kapitel 3
Monadische Logik zweiter Stufe und
der Satz von Büchi
In der Mathematik macht man Aussagen über mathematische Objekte wie z. B. in der Algebra
über Gruppen (G, ◦, 1), Ringe (R, +, ·, 0, 1), Körper (K, +, ·, 0, 1), Ordnungsstrukturen
(M, ≤), Graphen (V, E). In der Informatik trifft man Aussagen z. B. über technische Systeme,
die durch derartige Strukturen inklusive Transitionssysteme, Petri-Netze usw. beschrieben werden.
Diese algebraischen Objekte bestehen aus Grundemengen und gegebenenfalls Relationen,
Funktionen, Konstanten. Aussagen betreffen die Elemente der Teilmengen der Grundmenge oder
ihrer kartesischen Potenzen (T ⊆ M × M). Diese werden (in der Prädikatenlogik erster Stufe
oder monadischen Logik zweiter Stufe) gebildet aus folgenden Objekten:
Definition
Terme: bestehend aus Konstanten oder Elementvariablen oder gegebenfalls iterierte Anwendung
von Funktionen hierauf (z. B. h(f(x), g(x, y, z)))
Atomformeln: Relationen R(t 1 , ..., t n ) vom Grad n ∈ Æ mit Termen t 1 , ..., t n oder
Relationen t ∈ X mit einem Term t und einer Mengenvariable X.
Formeln: gebildet aus Automformeln unter Verwendung von ∨, ¬, ∃, (, ). Daraus lassen
sich ∧, →, ↔ und ∀ wie üblich definieren. ∃ kann sich auf Element- oder Mengenvariablen
beziehen.
Ob eine abstrakte Formel in einer Struktur ”
gilt“, hängt ab von:
der Struktur: also von der Grundmenge, den Konstanten, den Relationen und den Funktionen
den Werten: also von den Elementen bzw. Teilmengen der Grundmenge die man für die ”
freien“
Element- und Mengenvariablen der Grundmenge einsetzt.
Definition Eine Variable heißt ”
frei“, falls sie nicht überall gebunden ist, d. h. im Bereich eines
Quantors steht.
ϕ = ϕ(v 1 , ..., v n ,V 1 , ..., V k ) sei Formel mit freien Elementvariablen aus {v 1 , ..., v n } und
freien Mengenvariablen aus {V 1 , ..., V k }.
Definition Sei S eine Struktur und x 1 , ..., x n Elemente, X 1 , ..., X k Teilmengen der Grundmenge
von S. Man schreibt
S|= ϕ[x 1 , ..., x n ,X 1 , ..., X k ]:⇔ ϕ gilt in S, wennmanfür x i in v i und X i und V i einsetzt
21

22 KAPITEL 3. MONADISCHE LOGIK ZWEITER STUFE UND DER SATZ VON BÜCHI
Beispiel (∃x)x · x = 1 + 1 gilt in (Ê, +, ·, 1), aber nicht in (É, +, ·, 1).
(∀x)[0 ≤ x ↔ (∃y)x = y · y] gilt in (Ê, +, ·, 1), aber nicht in (É, +, ·, 1).
Definiere ϕ(X) :=[(1∈ X) ∧ (∀x)(x ∈ X → x +1∈ X)]. Dann gilt (Æ, +, 1)|= ϕ[Æ], aber
nicht (Æ, +, 1)|= ϕ[Æ ∪ [0, 100]]
Setze ψ := (∀X)(ϕ(X) → (∀x)x ∈ X) (Beachte: ∀x“ bezieht sich auf die Grundmenge)
”
Dann gilt ψ in (Æ, +, 1), aber nicht in (É, +, 1).
Definition Eine Formel heißt Satz oder Aussage, wenn sie keine freien Variablen enthält, d. h.
jede in ihr auftretende Variable ist gebunden. Zur genauen Definition der Gültigkeit von
Formeln, siehe Logik-Vorlesung.
Besonders ”
einfache“ Formeln betreffen nur die Elemente von Strukturen (keine Mengenvariablen)
und haben nur endliche Disjunktion/Konjunktionen. Diese Formeln bilden die Prädikatenlogik
erster Stufe.
Modelltheorie nennt man die Anwendung der Prädikatenlogik auf algebraische Strukturen. Axiome
von Halbgruppen, Gruppen, Ringen und Körpern, partielle Ordnungen und Boole’sche Algebren
gehören zur Prädikatenlogik erster Stufe.
Definition Lässt man in den Aussagen einer Logik auch Mengenvariablen zu, erhält man Logiken
höherer Stufe. Lässt man nur Variablen für Teilmengen der Grundstruktur zu (nicht
ihrer kartesischen Potenzen), erhält man die monadische Logik zweiter Stufe.
Beispiel Das Dedekindsche Schnittaxion ist
(
∀X∀Y (∃x)(x ∈ X) ∧ (∃y)(y ∈ Y ) ∧ (∀x)(∀y)[(x ∈ X ∧ y ∈ Y ) → x ≤ y]
)
→ (∃z)(∀x)(∀y)[(x ∈ X ∧ y ∈ Y ) → (x ≤ z ∧ z ≤ y)]
Es gilt in (Ê, ≤), in (, ≤), aber nicht in (É, ≤).
Beispiel In (Æ, s)mits : Æ → Æ, x ↦→ x +1istx ≤ y monadisch definierbar:
ϕ(u, v) :=∀X[u ∈ X ∧ (∀z)(z ∈ X → s(z) ∈ X)] → v ∈ X
Für alle x, y ∈ Æ gilt x ≤ y ⇔ (Æ, s)|= ϕ[x, y].
In (Æ, ≤) isty = x +1inderPrädikatenlogik erster Stufe definierbar:
ψ(u, v) :=u ≤ v∧ ≠(u = v) ∧ (∀w)(u ≤ w ∧ w ≤ v) → (u = v ∨ w = v)
Für alle x, y ∈ Æ gilt: y = x +1=s(x) ⇔ (Æ, ≤)|= ψ[x, y].
Definition Man vereinbart folgende Schreibweisen:
X = Y :⇔ (∀x)(x ∈ X ↔ x ∈ Y )
X ⊆ Y :⇔ (∀x)(x ∈ X → x ∈ Y )
X = ∅ :⇔ (∀x)¬(x ∈ X)
X ≠ ∅ :⇔ ¬(X = ∅)
X ∩ Y = Z :⇔ (∀x)[(x ∈ X ∧ x ∈ Y ) ↔ x ∈ Z]
Sing(X) :⇔ X ≠ ∅∧(∀x)(∀y)[(x ∈ X ∧ y ∈ X) → x = y]
Die monadische Logik zweiter Stufe ist wesentlich aussagekräftiger als die Prädikatenlogik
erster Stufe. aber häufig noch handhabbar.

23
Darstellung von Wörtern
Sei A ein Alphabet, w = a 1 ···a n ∈ A ∗ .Signatur:≤, P a (a ∈ A)
Dann ist
w =({1, ..., n}, ≤, (R a ) a∈A )
mit R a := {i | 1 ≤ i ≤ n, a i = a} (a ∈ A)
Beispiel Sei A = {a, b, c, d} und w = ababc. Dannistw =({1, 2, 3, 4, 5}, ≤, R a ,R b ,R c ,R d )
mit R a = {1, 3}, R b = {2, 4}, R c = {5}, R d = ∅.
Diese Darstellung erfüllt w 1 = w 2 ⇔ w 1 = w 2 für alle w 1 ,w 2 ∈ A ∗ .
Bemerkung Man kann so die Eigenschaften von w und somit auch von w mit Hilfe der Prädikatenlogik
oder der monadischen logik beschreiben.
Definition 3.1 Sei ϕ ein Satz. Dann ist L(ϕ) :={w ∈ A ∗ | w|= ϕ}
L heißt in der monadischen Logik (Prädikatenlogik) definierbar genau dann, wenn ein Satz
der monadischen Logik (Prädikatenlogik) existiert mit L = L(ϕ).
Beispiel
1. ϕ = ∃y∃z : z = y +1∧ P a (y) ∧ P b (z) ∧∀x : x ≠ z → x ≤ y
⇒ L(ϕ) ={w ∈ A ∗ | w|= ϕ} = {w ∈ A ∗ | w = u · ab, u ∈ A ∗ }
2. Beschreibung von w = a 1 ···a n hat gerade Länge.
σ := ∃X∃Y : ∀x∀y(y = x +1)→ (x ∈ X ↔ y ∈ Y )
∧X ∩ Y = ∅
∧∃u, v(∀z : u ≤ z ≤ v) ∧ u ∈ X ∧ v ∈ Y
∧∀z(z ∈ X ∨ z ∈ Y )
⇒ L(σ) ={w ∈ A ∗ ||w| ∈2Æ} ist nicht in Prädikatenlogik erster Stufe definierbar.
Satz 3.2 (Büchi, 1960) Sei A ein endliches Alphabet, L ⊆ A ∗ . Dann gilt
L erkennbar ⇔ L ist in der monadischen Logik zweiter Stufe definierbar
Beweis ⇒“: Sei A =(Q, T, q ” o ,F) ein endlicher Automat mit L(A) =L. SeiQ =(q i | 0 ≤
i ≤ m}.
Wir beschreiben die Existenz einer Berechnungsfolge u mit Symbolfolge w = a 1 ···a n ∈
L(A) durch die Existenz geeigneter Mengen Y 0 , ..., Y m . Y i enthält die Stellen j von
w bei denen (d. h. vor Ausführung von a j ) sich der Automat im Zustand q i befindet
a
(Beispiel: q
1 a
0 →
2 a q1 →
3 a q2 →
4
q0 → q1 ⇒ Y 0 = {1, 4}, Y 1 = {2}, Y 2 = {3}).
(
)
Sei ϕ der Satz ∃Y 0 , ..., Y m : ∧ i≠j ¬∃y(y ∈ Y i ∧ y ∈ Y j )
)
∧
(∃x(∀y : x ≤ y) ∧ x ∈ Y 0
(
)
∧ ∀x(∃y : y = x +1)→∨ (qi ,a, q j )∈T (x ∈ Y i ∧ P a (x) ∧ x +1∈ Y j )
(
)
∧ ∃z(∀x : x ≤ z) ∨ (qi ,a, q j )∈T (z ∈ Y i ∧ P a (x))
Sei w ∈ A + . Es ist w|= ϕ ⇔ ∃u ∈ BF(A) : Symbolfolge(u) = w, dom(u) =
q 0 , cod(u) ∈ F ⇒ w ∈ L(A). Also L(ϕ) =L(A) \{ε} = L \{ε}.
1. Fall: ε ∉ L(A) =L → fertig
2. Fall: ε ∈ L(A) =L, dannϕ ′ = ϕ ∧∀x¬(x = x) und L(ϕ ′ )=L

24 KAPITEL 3. MONADISCHE LOGIK ZWEITER STUFE UND DER SATZ VON BÜCHI
⇐“: 1. Schritt: Wechsel der logischen Sprache.
”
Jede endliche Menge A kann in {0, 1} k injektiv abgebildet werden, wenn |A| ≤2 k .
Sei σ ein Satz und L = L(σ) definierbar in A ∗ . ⇒ L definierbar in ({0, 1} k ) ∗ durch
σ ∧∀x(∨ a∈A⊆{0, 1} ∗P a (x)).
Angenommen, es wurde gezeigt, dass L erkennbar in ({0, 1}) ∗ ⇒ mit Lemma 3.3
folgt dann, dass L erkennbar in A ∗ .
Sei also ohne Einschränkung A = {0, 1} k .
Ein Wort w = a 1 ···a n ∈ A ∗ kann dann auch dargestellt werden durch w =({1, ..., n}, ≤
,R 1 , ..., R k )wobeiR j = {i | 1 ≤ i ≤ n, (a i ) j =1}, d.h.a i hat in j-Zeile eine 1.
(Beispiel: w =(0, 1) t (1, 1) t (0, 1) t , R 1 = {2}, R 2 = {1, 2, 3}).
Wir codieren das Prädikat P a (x) durch eine geeignete Konjunktion von x ∈ R j und
¬(x ∈ R j )mit(j =1, ..., k).
⇒ jeder gegebene Satz lässt sich in einen Satz übersetzen, der kein P a enthält, sondern
neue Relationssymbole R j mit Interpretation R j ⊆{1, ..., n}.
2. Schritt: Vereinfachung der Sprache Statt ≤ genügt es, die Relation

25
Wir zeigen nun durch Induktion über die Quantorentiefe von geschachtelten Mengenvariablen
(∃X), dass gilt:
∀k ∈ Æ∀ϕ ∈P k : L(ϕ) :={w ∈ ({0, 1} k ) ∗ | w|= ϕ} ist erkennbar.
. Für qd(ϕ) = 0 (qualifier depth) folgt ϕ ∈M k .
Unterinduktion über den Aufbau von ϕ ∈M k :
L k (ϕ 1 ∨ ϕ 2 )=L k (ϕ 1 ) ∪ L k (ϕ 2 )
L k (¬ϕ) =(L k (ϕ)) C
⇒∀ϕ ∈M k : L k (ϕ) erkennbar.
Induktionsschritt: Angenommen für Sätze ϕ 1 ,ϕ 2 ∈P k ist die Behauptung gezeigt.
Sei k ≥ 0 und ψ =(∃X)ϕ ∈P k ;z.z.L k (ψ) erkennbar.Daψ ein Satz ist, enthält
ϕ höchstens X als freie Variable. Ohne Einschränkung enthalte ϕ das X. Bilde ϕ ′ ,
indem in ϕ jedes X durch das Relationssymbol R k+1 ersetzt wird.
⇒ ϕ ′ ∈P k+1 und qd(ϕ ′ )=qd(ψ) − 1
Aus der Induktionsvoraussetzung folgt, dass L k+1 (ϕ ′ )={w ∈ ({0, 1} k+1 ) ∗ | w|= ϕ ′ }
erkennbar ist. Wir werden zeigen, dass hieraus folgt, dass L k (ψ) erkennbarist.Sei
π : {0, 1} k+1 →{0, 1} k die kanonische Projektion (x, z) ↦→ x für x ∈{0, 1} k ,z∈
{0, 1}. Setze π eindeutig fort zu Homomorphismus π :({0, 1} k+1 ) ∗ → ({0, 1} k ) ∗
Nach Mehrfachanwendung des Satzes von Kleene folgt aus L k+1 (ϕ ′ )erkennbar⇒
π(L k+1 (ϕ ′ )) erkennbar. Wir zeigen L k (ψ) =π(L k+1 (ϕ ′ )): [... das ist der letzte Beweisschritt
1 ].
Lemma 3.3 Seien A ⊆ B endliche Alphabete, L ⊆ A ∗ .
Beweis siehe Übung.
L erkennbar in A ∗ ⇔ L erkennbar in B ∗
Satz 3.4 Seien ϕ, ϕ ′ Sätze der monadischen Logik. Es läßt sich maschinell entscheidenm L(ϕ) =
A ∗ und ob L(ϕ) =L(ϕ ′ ).
Beweis Der Beweis von Satz 3.2 gibt ein Konstruktionsverfahren für endliche Automaten A, A ′
mit L(A) =L(ϕ) und L(A ′ )=L(ϕ ′ ). Nun verwende Satz 1.12.
1 Ab jetzt fehlen einige Beweisteile und Beweise.

26 KAPITEL 3. MONADISCHE LOGIK ZWEITER STUFE UND DER SATZ VON BÜCHI

Kapitel 4
Sternfreie Sprachen
Definition 4.1 Sei M ein Monoid. Die Klasse der sternfreien Sprachen von M ist kleinste
Klasse von Sprachen die
1. alle endlichen Teilmengen von M enthält
2. abgeschlossen ist unter den Operationen Vereinigung, Komplement, Produkt
Eine sternfreie Sprache lässt sich also aus endlichen Teilmengen von M konstruieren mit Hilfe
von ∪, C , · ohne ∗ . Die Klasse der sternfreien Sprachen von M ist eine Boolesche Algebra.
Wichtigster Fall: M = A ∗ . Dann folgt aus L sternfrei ⇒ L erkennbar. Damit gilt
{sternfreie Sprachen über A} ⊆Rat(A ∗ )
Beispiel • A = {a, b}. A ∗ = ∅ C ist sternfrei
• X = {ab} ∗ ist sternfrei, da X = {ε}∪[({a}·A ∗ ∩ A ∗ {b}) \ (A ∗ aaA ∗ ∪ A ∗ bbA ∗ )]
Ziel ist die Beschreibung der sternfreien Sprachen in A ∗ .
Definition 4.2 Sei M ein Monoid und L ⊆ M.
(a) L heißt aperiodisch ⇔∃n ∈ Æ∀x, y, z ∈ M : xy n z ∈ L ⇔ xy n+1 z ∈ L
Das kleinste derartige n heißt Index von L (i(L)).
(b) M heißt aperiodisch ⇔∃n ∈ N : ∀x ∈ M : x n = x n+1 .
Satz 4.3 Sei M ein Monoid, L ⊆ M. Folgende Aussagen sind äquivalent:
1. L aperiodisch
2. ∃ aperiodisches Monoid M ′ , Homomorphismus h ′ : M → M ′ : L = h −1 (h(L))
3. M/∼ L ist aperiodisch und endlich
Beweis [Hat der Mitschreiber verpasst ...]
Lemma 4.4 Sei M ein aperiodisches Monoid.
(a) Seien p, q, r ∈ M mit q = pqr ⇒ q = pq = qr.
(b) m ∈ M, M · m · M = M ⇒ m =1
27

28 KAPITEL 4. STERNFREIE SPRACHEN
Beweis Sei q = pqr und n ∈ N mit ∀x ∈ M : x n = x n+1 ⇒ q = pqr = p(pqr)r = ... = p n qr n =
p n+1 qr n = p(p n qr n )=pq. Analog folgt q = qr.
1 ∈ M = M ·m·M ⇒∃u, v ∈ M :1=umv = um·1·v ⇒ a)
1=u·m·1 =u·1·m =1·m = m.
Satz 4.5 (Schützenberger, 1965) Sei A ein Alphabet, L ⊆ A ∗ . Dann gilt L sternfrei ⇔ L
aperiodisch und erkennbar
Beweis ⇒“: L erkennbar, siehe oben. L aperiodisch: Per Induktion über den Aufbau von L.
”
Für alle a ∈ A ist i({a}) = 2, denn ∀x, y, z ∈ A ∗ : xy 2 z ∈{a} ⇔xy 3 z ∈{a}.
Sind X, Y ⊆ A ∗ aperiodisch, so ist X ∪ Y aperiodisch mit i(X ∪ Y ) ≤ max{i(X), i(Y )},
denn [...].
i(X C )=i(X), denn [...].
i(X · Y ) ≤ i(X)+i(Y ) + 1, denn [...].
⇐“: schwer.
”
Satz 4.6 (McNaughton + Papert 1971) Sei L ⊆ A ∗ .
Beweis siehe z. B. Buch von Straubing
L ist sternfrei ⇔ L ist in Prädikatenlogik 1. Stufe definierbar
Folgerung 4.7 Es gibt keinen Satz der Prädikatenlogik erster Stufe, der beschreibt, dass ein
beliebiges Wort w ∈ A ∗ gerade Länge hat.
Beweis Sonst wäre L = {w ∈ A ∗ ||w| gerade} sternfrei und damit aperiodisch. In einer Übung
wird gezeigt, dass dies nicht der Fall ist.

Kapitel 5
Prozesskosten – Funktionen für
diskrete Systeme
Sei A ein Alphabet. Diskrete Systeme S bestehen aus
• Zuständen, gewöhnlich endlich viele
• Transitionen, d. h. durch Aktionen in A induzierte Zustandsübergänge
• Kosten der Transitionen, z. B. ∈ R + ∪{∞}=: Ê + (0 ∈ R + ).
∫
Man erhält eine Kostenfunktion c : Q × A × Q → Ê + . Es gilt c(t) =∞⇔t ̸ T .
Ein Pfad, Weg oder Realisierung eines Prozesses p ist eine Folge von Tranisitionen
a
p : q
1
0 → q → q
} {{ }} {{ 2
}
t 1
1 a 2
t 2
→ ...→ q n−1
a n→ qn
} {{ }
t n
mit internen Kosten c(p) := ∑ n
i=1 c(t i ). Ein Pfad ist eine Berechnungsfolge ⇔ c(t i ) < ∞∀i =
1, ..., n
DieKosteneineProzessesw ∈ A ∗ ,dervonq 0 nach q n führt c(w) q0 ,q n
ist das Minimum der
Kosten seiner Realisierungen.
Man definiert zu jedem Zustand q i Kosten λ i , um das System zu betreten und γ i ,umdasSystem
zu verlassen. Ist λ i ≤∞, dann heißt q i Anfangszustand; ist γ i ≤∞,heißtq i Endzustand.
Man definiert |S| : A ∗ → Ê + mit w ↦→ (S, w):=min ij {λ i + c(w) i, j + γ j }
Alternative Modelle
1. (Ê + ∪{∞}, min, +)
2. (Ê + , max, +) Modell prüft die maximal entstehenden Kosten. Der diese realisierende Pfad
heißt kritischer Pfad.
3. ([0, 1], max, ·), wobei man in der Berechnung von c(p) ”
+“ durch ”·“ ersetzt. Dann ist c(t)
die Zuverlässigkeit
4. (Ê + ∪{∞}, max, min) Kapazitätsmodell
5. ({0, 1}, min, max) entspricht dem klassischen Automatenmodell
Definition 5.1 ...
29

30 KAPITEL 5. PROZESSKOSTEN – FUNKTIONEN FÜR DISKRETE SYSTEME
Definition 5.2 (K, +, ·, 0, 1) heißt Semiring, falls
1. (K, +, 0) kommutatives Monoid mit neutralem Element 0,
2. (K, ·, 1) Monoid mit neutralem Element 1
3. · ist distributiv über +
4. ∀x ∈ K : x · 0=0=0· x
K heißt kommutativ, falls (K, ·, 1) kommutativ ist.
Beispiel 1. (Æ, +, ·, 0, 1), (, +, ·, 0, 1), . . .
2. alle Ringe und Körper
3. =({0, 1}, ∨, ∧, 0, 1) Boolescher Semiring
4. (Ê + ∪{−∞}, max, +, −∞, 0) max-plus-Semiring
mit Ê + = {r ∈ Ê | r ≥ 0} und x +(−∞) =−∞ =(−∞)+x für alle x ∈ Ê + ∪{−∞}
5. (Ê + ∪{∞}, ∈, +, ∞, 0) min-plus-Semiring
Definition 5.3 Sei A ein Alphabet, K Semiring. Ein diskretes System S über A mit Bewertung
in K ist ein Tupel (Q, λ, μ, γ) mit
• Q Menge von Zuständen
• μ : Q × A × Q → K
• λ : Q → K bestimmt für q ∈ Q die Kosten für den Einstieg in S.
• γ : Q → K bestimmt für q ∈ Q die Kosten für den Einstieg in S.
Ziel: Für welche Funktionen f : A ∗ → K gilt: ∃ System S mit f = |S|, d.h.f ist das Verhalten
eines Systems? Schützenberger: genau die rationalen Sprachen.
Sei K ein Semiring und n ∈ Æ. Setze K n×n := { alle n × n-Matrizen mit Einträgen aus K}.
Definiere für A =(a ij ),B=(b ij ) ∈ K n×n : A + B =(a ij + b ij ) und (A · B) ik := ∑ n
j=1 a ij · b jk .
Damit ist (K n×n , +, ·, 0, E) ist ein Semiring.
Beweis Nachrechnen!
In der Situation von Definition 5.3 mit Q = {1, ..., n} ist für jedes w ∈ A ∗ der Funktionswert
μ(w) einen × n-Matrix, also μ(w) : A ∗ → K n×n eine Abbildung.
Satz 5.4 Gegeben seien A, K, S, μ wie in Definition 5.3. Dann ist
ein Monoid-Homomorphismus.
μ :(A ∗ , ·) → (K n×n , ·)
Beweis Zu zeigen ist μ(ε) =E ∈ K n×n . μ(ε) ij =0für alle i ≠ j, dafür beliebige Summanden
a i gilt: 0 = ∑ i∈∅ a i. μ(ε) ii = ∑ u Pfad von i nach i mit AF ε μ(p) =μ(ε) =1⇒ μ(ε) =1.
Bleibt zu zeigen μ(w 1 ,w 2 )=μ(w 1 ) · μ(w 2 ). [. . . ]
Man interpretiert μ(w) i, j als Kosten von w beim Übergang von i nach j =: (μw) i, j .
• μw = Kosten-Transitionsmatrix von w.

31
• λ ∈ K 1×n Zeilenvektor
• γ ∈ K n×1 Spaltenvektor
• (S, w):= ∑ i, j∈Q λ i · (μw) i, j · γ j = λ · (μw) · γ
Definition 5.5 Sei A ein Alphabet, K ein Semiring. Jede Funktion S : A ∗ → K heißt auch
formale Potenzreihe über A ∗ mit Werten in K.
Setze
• (S, w) =S(w),
• S = ∑ w∈A∗(S, w).w
• K 〈〈A ∗ 〉〉 := K A∗ := {S : A ∗ → K | S Abbildung}
Es heißt S : A ∗ → K erkennbar, wenn ein endliches System S existiert mit S = |S|. Falls zu S
das Tripel (λ, μ, γ) gehört, so heißt das Tripel auch Darstellung von S bzw. S.
Setze weiterhin K rec 〈〈A ∗ 〉〉 := {S ∈ K 〈〈A ∗ 〉〉 | S erkennbar}. Problem: Beschreibe K rec 〈〈A ∗ 〉〉.
Für S, T ∈ K 〈〈A ∗ 〉〉 setzen wir S+T : A ∗ → K mit w ↦→ S(w)+T (w). Damit ist (K 〈〈A ∗ 〉〉 , +, 0)
abelsches Monoid mit neutralem Element 0 : A ∗ → K mit w ↦→ 0 K . Definiere supp(S) :={w ∈
A ∗ | (S, w) ≠0}.
S ∈ K 〈〈A ∗ 〉〉 heißt Polynom ⇔ supp(S) endlich. Man setzt
K 〈A ∗ 〉 ist Untermonoid von K 〈〈A ∗ 〉〉.
K 〈A ∗ 〉 := {S ∈ K | S Polynom}
Für X ⊆ A ∗ sei ½ X =char(X) : A ∗ → K mit w ↦→
die Indikator oder charakteristische
Funktion von X.
Man identifiziert k ∈ K mit k · 1 ε : A ∗ → K mit w ↦→
{
1, w ∈ X
0, w ∉ X
{
k, w = ε
0 w ≠ ε
Dann ist K ⊆ K Untermonoid. Die Funktionen k · 1 w heißen Monome. Ein Polynom S
ist eine endliche Summe von Monomen S = ∑ w∈supp(S) (S, w) · ½ w.
Allgemeiner: Sei k ∈ K, S ∈ K 〈〈A ∗ 〉〉. Definiere k · S : A ∗ → K mit w ↦→ k · (S, w), d. h.
(k · S, w) = k · (S, w), k · S = ∑ w∈A ∗ k · (S, w).w und entsprechend S · k : A∗ → K mit
w ↦→ (S, w) · k.
Man definiert (S · T, w)= ∑ w 1 ,w 2 ∈A ∗ mit w=w 1 w 2
(S, w 1 ) · (T, w 2 ).
[... hier fehlt was? ]
Satz 5.9 (K 〈〈A ∗ 〉〉 , +, ·, 0, ½ {ε} ) und (K 〈A ∗ 〉 , +, ·, 0, ½ {ε} ) sind Semiringe.
Beweis Nachrechnen von supp(S · T ) ⊆ supp(S) · supp(T ).
Lemma 5.10 Die Abbildung
supp : ( 〈〈A ∗ 〉〉 , +, ·, 0, ½ {ε} ) → (P(A ∗ ), ∪, ·, ∅, {ε})
ist ein Semiring-Isomorphismus mit supp −1 =char
Beweis siehe Übungs-Aufgabe 45.

32 KAPITEL 5. PROZESSKOSTEN – FUNKTIONEN FÜR DISKRETE SYSTEME
Damit ist supp( rec 〈〈A ∗ 〉〉) =Rec(A ∗ )=Rat(A ∗ ) und S ∗ = ∑ n≥0 Sn und S 0 = ½ {ε} .
Man definiert (S ∗ ,w):= ∑ n≥0 (Sn ,w). Diese unendliche Summe, die nicht in K konvergieren
muss. Abhilfe schafft eine Komplettierung von K oder die Forderung (S n ,w)=0für fast alle
n.
Dies ist bereits erfüllt wenn (S, ε) =0.Seiw ∈ A ∗ beliebig und n>|w|. Dannist
(S n ,w) = (S ···S, w)
∑
=
u 1 , ..., u n∈A ∗ : u 1···u n=w
(S, u 1 ) ···(S, u n )
Da n>|w|, existierteini mit u i = ε ⇒ (S, u i )=0→ (S n ,w) = 0. Falls (S, ε) = 0 definiere
(S ∗ ,w):= ∑ |w|
n=0 (Sn ,w)=: ∑ n≥0 (Sn ,w) ∗ ist damit eine partielle Operation auf K 〈〈A ∗ 〉〉.
Eine Abbildung S : A ∗ → K heißt quasiregulär (proper), :⇔ (S, ε) =0.
Definition 5.11 Sei K Semiring, S ∈ K 〈〈A ∗ 〉〉. Dann heißt S rational :⇔ S lässt sich aus
endlich vielen Polynomen (oder Monomen) mit Hilfe von +, ·, ∗ in endlich vielen Schritten
konstruieren.
K rat 〈〈A ∗ 〉〉 := {S ∈ K 〈〈A ∗ 〉〉 | S rational}
(kleinster ∗ -abgeschlossener Teilsemiring von K 〈〈A ∗ 〉〉, derK 〈A ∗ 〉 enthält).
Die Abbildung supp : 〈〈A ∗ 〉〉 → P(A ∗ )erfüllt supp(S ∗ ) = (supp(S)) ∗ . Damit gilt
S : A ∗ → rational ⇔ supp(S) ⊆ A ∗
Zum Beweis übertrage man die Operationen +, ·, ∗ auf die Operationen ∪, ·, ∗ und beachte die
Isomorphie von supp.
[...]
Man kann den Satz von Kleene auf den Booleschen Semiring übertragen:
rec 〈〈A ∗ 〉〉 = rat 〈〈A ∗ 〉〉
Satz 5.12 (Schützenberger, 1961) Sei K ein beliebiger Semiring, A ein Alphabet. Dann gilt
K rec 〈〈A ∗ 〉〉 = K rat 〈〈A ∗ 〉〉
Bemerkung Dies ist eine Verallgemeinerungen des Satzes von Kleene auf Automaten mit Kostenfunktionen
und rationalen Ausdrücke über mit Kosten versehenen Monomen.
Beweis ...
Satz 5.13 Sei K Semiring, A Alphabet.
Beweis ...
• L ⊆ A ∗ erkennbar ⇒ ½ L ∈ K rec 〈〈A ∗ 〉〉
• K rec 〈〈A ∗ 〉〉 ist abgeschlossen unter Summe und externem Produkt
• K 〈A ∗ 〉⊆K rec 〈〈A ∗ 〉〉

33
Satz 5.14 Sei K beliebiger Semiring, A Alphabet, S ∈ K rec 〈〈A ∗ 〉〉.
(a) ∃ Darstellung (λ, μ, γ) vonS mit:
(*) Es existiert genau ein Finalzustand j und es ist γ j =1,sowieμ(w) jk =0für alle
ε ≠ w ∈ A ∗ und alle k ∈ Q.
(b) ∃ Darstellung (λ, μ, γ) vonS mit:
(**) Es existiert genau ein Initialzustand i und es ist λ i =1,sowieμ(w) ki =0für
alle ε ≠ w ∈ A ∗ und alle k ∈ Q.
(c) Sei S ′ ∈ K 〈〈A ∗ 〉〉 definiert durch
(S ′ ,w):=
{
(S, w) w ≠ ε
0 w = ε
⇒ es existiert eine Darstellung (λ, μ, γ) vonS ′ mit (*) und (**).
Vgl. auch Lemma 1.5 (normalisierte Automaten).
Beweis ...
Satz 5.15 Sei K ein beliebiger Semiring, A ein Alphabet.
S 1 ,S 2 ∈ K rec 〈〈A ∗ 〉〉 ⇒ S 1 · S 2 erkennbar
Beweis ...
Satz 5.16 Sei K ein beliebiger Semiring.
S ∈ K rec 〈〈A ∗ 〉〉 ⇒ S ∗ erkennbar
Beweis ...
Folgerung 5.17 Sei K ein beliebiger Semiring
⇒ K rat 〈〈A ∗ 〉〉 ⊆ K rec 〈〈A ∗ 〉〉
Beweis Klar mit Satz 5.13 (c), (b), Satz 5.15 und 5.16.
Nun zur Umkehrung:
Satz 5.18 Sei K ein beliebiger Semiring
⇒ K rec 〈〈A ∗ 〉〉 ⊆ K rat 〈〈A ∗ 〉〉
Beweis (analog zum Beweis von Satz 1.9)
Sei S ∈ K rec 〈〈A ∗ 〉〉 und S =(Q, λ, μ, γ) ein diskretes System mit |S| = S und etwa
Q = {1, ..., n}. Für m, l ∈ Q, 0 ≤ k ≤ n sei
X (k)
m, l := {p ∈ (Q×A×Q)∗ \{ε}|p Pfad von m nach l, der dazwischen nur Zustände ≤ k berührt}

34 KAPITEL 5. PROZESSKOSTEN – FUNKTIONEN FÜR DISKRETE SYSTEME
Es gilt: ∀k ≤ 0: (∗) X (k+1)
m, l
= X (k)
m, l
∪
Begründung wie im Beweis von Satz 1.9:
” ⊇“istklar.
·
(
X (k) (
m, k+1 · X (k) ) ∗ )
(k)
k+1,k+1 · X
k+1,l
mit derselben
⊆“: Sei p einPfadinX(k+1)
” m, l
\ X (k)
m, l
. Betrachte die Stellen, an denen p durch k +1geht
(kommt mindestens 1x vor) und zerlege p dementsprechend. Für m, l ∈ Q, 0 ≤ k ≤ n
definiere
m, l : A∗ → K mit w ↦→ ∑ {μ(p) | p ∈ X (k)
m, l
,prealisiert w}
μ (k)
μ (k)
m, l
ist eine formale Potenzreihe, μ(k)
m, l
(ε) := 0. Seien m, l ∈ Q, 0≤ k ≤ n und w ∈ A∗
⇒ μ (k)
m, l (w) =∑ {μ(p) | p ∈ X (k+1)
m, l
realisiert w}
(∗)
= ∑ {μ(p) | p ∈ X (k)
m, l realisiert w} + ∑ {μ(p) | p ∈ X (k)
m, k+1·
}{{}
=:R(w)
= μ (k)
m, l (w)+R(w)
Es ist R(w) = ∑ {μ ∈ (p) | p = p ′ · p ′′ · p ′′′ ,p ′
X (k)
k+1,l ,p′ ,p ′′ ,p ′′′ realisieren u ′ ,u ′′ ,u ′′′ ,w= u ′ u ′′ u ′′′ }.
(
X (k)
k+1,k+1
∈ X (k)
m, k+1 ,p′′ ∈
) ∗·X
(k)
k+1,l
realisiert w}
(
X (k)
k+1,k+1) ∗,p
′′′
∈

Literaturverzeichnis
[1] B. Klonssainov, A.Nerode: Automata Theorie and its Applications, Birkhäuser, 2001
[2] D. Kozen: Automata and Computability, Springer
[3] D. van Loewen (ed.): Handbook of Theoretical Computer Science vo. B. Elsevier, 1990,
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