Algebraische Automatentheorie - stinfwww

Kapitel 3
Monadische Logik zweiter Stufe und
der Satz von Büchi
In der Mathematik macht man Aussagen über mathematische Objekte wie z. B. in der Algebra
über Gruppen (G, ◦, 1), Ringe (R, +, ·, 0, 1), Körper (K, +, ·, 0, 1), Ordnungsstrukturen
(M, ≤), Graphen (V, E). In der Informatik trifft man Aussagen z. B. über technische Systeme,
die durch derartige Strukturen inklusive Transitionssysteme, Petri-Netze usw. beschrieben werden.
Diese algebraischen Objekte bestehen aus Grundemengen und gegebenenfalls Relationen,
Funktionen, Konstanten. Aussagen betreffen die Elemente der Teilmengen der Grundmenge oder
ihrer kartesischen Potenzen (T ⊆ M × M). Diese werden (in der Prädikatenlogik erster Stufe
oder monadischen Logik zweiter Stufe) gebildet aus folgenden Objekten:
Definition
Terme: bestehend aus Konstanten oder Elementvariablen oder gegebenfalls iterierte Anwendung
von Funktionen hierauf (z. B. h(f(x), g(x, y, z)))
Atomformeln: Relationen R(t 1 , ..., t n ) vom Grad n ∈ Æ mit Termen t 1 , ..., t n oder
Relationen t ∈ X mit einem Term t und einer Mengenvariable X.
Formeln: gebildet aus Automformeln unter Verwendung von ∨, ¬, ∃, (, ). Daraus lassen
sich ∧, →, ↔ und ∀ wie üblich definieren. ∃ kann sich auf Element- oder Mengenvariablen
beziehen.
Ob eine abstrakte Formel in einer Struktur ”
gilt“, hängt ab von:
der Struktur: also von der Grundmenge, den Konstanten, den Relationen und den Funktionen
den Werten: also von den Elementen bzw. Teilmengen der Grundmenge die man für die ”
freien“
Element- und Mengenvariablen der Grundmenge einsetzt.
Definition Eine Variable heißt ”
frei“, falls sie nicht überall gebunden ist, d. h. im Bereich eines
Quantors steht.
ϕ = ϕ(v 1 , ..., v n ,V 1 , ..., V k ) sei Formel mit freien Elementvariablen aus {v 1 , ..., v n } und
freien Mengenvariablen aus {V 1 , ..., V k }.
Definition Sei S eine Struktur und x 1 , ..., x n Elemente, X 1 , ..., X k Teilmengen der Grundmenge
von S. Man schreibt
S|= ϕ[x 1 , ..., x n ,X 1 , ..., X k ]:⇔ ϕ gilt in S, wennmanfür x i in v i und X i und V i einsetzt
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