Algebraische Automatentheorie - stinfwww

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Beweis g wohldefiniert: Sei x, y ∈ M mit [x] =[y]. Dann folgt f(x) =f(y) ausx ∼ y.
g injektiv: Seien x, y ∈ M mit g([x]) = g([y]). Aus f(x) =f(y) folgt x ∼ y, und damit
[x] =[y].
g surjektiv: Sei z ∈ M ′ beliebig. f surjektiv ⇒∃x ∈ M : f(x) =z ⇒ [x] ∈ M /∼ und
g([x]) = f(x) =z.
g Homomorphismus: g([1 M ]) = f(1 M )=1 M ′. Seien x, y ∈ M ⇒ g([x] · [y]) = g([x · y]) =
f(x · y) =f(x) · f(y) =g([x]) · g([y]).
Damit ist g Isomorphismus.
Bemerkung Sei M Monoid, ∼ Kongruenz auf M. Man sagt, ∼ hat einen endlichen Index in
M :⇔ M /∼ ist endlich ⇔ es gibt nur endlich viele Äquivalenzklassen.
Satz 2.8 (Konstruktion) Sei M Monoid und L ⊆ M. Für y, y ′ definiert man
y ∼ L y ′ :⇔∀x, z ∈ M : xyz ∈ L ⇔ xy ′ z ∈ L
Dann ist ∼ L eine Kongruenz, die sogenannte syntaktische oder Myhill-Kongruenz von L
auf M. Der kanonische Epimorphismus h : M → M /∼L erfüllt h −1 (h(L)) = L (d. h. h
saturiert“ L).
”
Beweis ∼ L ist offensichtlich eine Äquivalenzrelation.
Sei y, y ′ ∈ M mit y ∼ L y ′ .Seiw ∈ M. Zu zeigen ist yw ∼ L y ′ w und wy ∼ L wy ′ .
Seien x, z ∈ M beliebig.
x(yw)z ∈ L ⇔ x · y · (wz) ∈ L
⇔ x · y ′ · (wz) ∈ L
⇔ x · (y ′ w)z ∈ L
Die zweite Beziehung beweist man analog.
Es gilt stets L ⊆ h −1 (h(L)). Sei x ∈ h −1 (h(L)) beliebig. Zu zeigen ist x ∈ L.
Voraussetzung ⇒ h(x) ∈ h(L)
⇒ ∃y ∈ L : h(x) =h(y)
⇒ x ∼ L y
1 · y · 1 ∈ L ⇒ 1 · x · 1=x ∈ L ⇒ L = h −1 (h(L)).
Definition 2.9 Sei M ein Monoid. Ein M-Automat ist ein Quadrupel A =(Q, δ, q 0 ,F)mit
1. Q Menge (von Zuständen)
2. δ : Q × M → Q partielle Abbildung mit ∀q ∈ Q:
(i) δ(q, 1) = q (d. h. die linke Seite ist definiert)
(ii) ∀m, m ′ ∈ M : δ(q, mm ′ )=δ(δ(q, m), m ′ ) (d. h. die linke Seite definiert ⇔ rechte
Seite ist definiert)
Ist δ(q, m) =r, soschreibenwirqm = r oder q → m r. Also:
(i) q1 =q