Algebraische Automatentheorie - stinfwww

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Beispiel 1.3 mussmanabgemalthaben.Wirdabernocheingefügt.
Beispiel 1.4 A mit Q = {1, 2, 3}, I = {1}, F = {2},
T = {(1,a,2), (2,a,3), (3,a,3), (1,b,3), (2,b,2), (3,b,3)} ist vollständig und deterministisch.
L(A) ={ab k | k ≥ 0} = ab ∗
Satz 1.4 Sei A ein endlicher Automat. Dann existiert ein endlicher vollständiger deterministischer
Automat A ′ mit L(A ′ )=L(A).
Beweis Sei A =(Q, T, I, F ). Definiere A ′ =(Q ′ ,T ′ ,I ′ ,F ′ ) wie folgt:
• Q ′ = P(Q) (ist endlich, da Q endlich ist)
• I ′ = {I ′ }
• F ′ = {U ⊆ Q | U ∪ F ≠ ∅}
• Für U, V ⊆ Q, a ∈ A gelte:
(U, a, V ) ∈ T ′ :⇔ V = {r ∈ Q |∃q ∈ U :(q, a, r) ∈ T }
V ist durch U und a eindeutig bestimmt ⇒A ′ ist deterministisch und vollständig.
L(A ′ ) ⊇ L(A):
a
Sei w = a 1 ...a n ∈ L(A) beliebig, fest. ⇒∃Berechnungsfolge q
1 a
0 →
2
q1 → ... →
a
q n→
n−1 qn in A mit q 0 ∈ I, q n ∈ F .
Sei U 0 = I. IstU i−1 ⊆ Q definiert mit q i−1 ∈ U i−1 ,soseiU i = {r ∈ Q |∃q ∈ U i−1 :
(q, a i ,r) ∈ T }⇒q i ∈ U i und (U i−1 ,a i ,U i ) ∈ T ′ a
⇒ I = U
1 a
0 →
2
a U1 → ... → Un−1 n→
U n ist Berechnungsfolge in A ′ mit Symbolfolge w und q n ∈ U n ∩ F ,alsoU n ∈ F ′
⇒ w ∈ L(A ′ )
L(A ′ ) ⊆ L(A):
Sei w = a 1 ...a n ∈ L(A ′ a
) beliebig, fest. ⇒∃Berechnungsfolge U
1 a
0 →
2
U1 → ... →
a
U n→
n−1 Un in A ′ mit U 0 = I, U n ∈ F ′ . ⇒ U n ∩ F ≠ ∅. Wähle q n ∈ U n ∩ F beliebig.
Wegen (U n−1 ,a n ,U n ) ∈ T ′ existiert nach Definition von T ′ ein q n−1 ∈ U n−1 mit
(q n−1 ,a n ,q n ) ∈ T .
induktiv
=⇒ ∃q i ∈ U i mit (q i−1 ,a i ,q i ) ∈ T (i = n, ..., 1).
a
⇒ q
1 a
0 →
2
a q1 → ... → qn−1 n→ qn ist Berechnungsfolge in A mit Symbolfolge w, q n ∈ F ,
q i ∈ U 0 = I.
⇒ w ∈ L(A)
ε ∈ L(A)
⇒ L(A ′ )=L(A)
ε ∈ L(A) ⇔ I ∩ F = ∅
⇔ I ∈ F ′
⇔ I ′ ∩ F ′ ≠ ∅
⇔ ε ∈ L(A ′ )