Skript

1 OPTIMIERUNGS-PROBLEME 8
”manuelle” Lösung mit Länge 718876 Optimale Lösung der Länge 378032
1.3 Lineare Programme
Für Lineare Optimierungsprobleme hat sich der Begriff Lineare Programme eingebürgert. In dem
allgemeinen Rahmen der Form (P) mit dem zulässigen Bereich (1.1.1) sind alle auftretenden
Funktionen (affin) linear, es gelten also Darstellungen der Form
F (x) = c T x, f i (x) = a T i x + α i , g j (x) = b T j x + β j ,
mit Vektoren a i , b j ∈ R n , i = 1, . . . , p, j = 1, . . . , m. Dabei wurde F oBdA als linear angenommen,
da eine Konstante zwar den Wert des Problems, aber nicht die Lösung ˆx ändert. In den
Beispielen traten Ungleichungsrestriktionen of in sehr einfacher Form auf, als reine Vorzeichenbeschränkungen.
Wegen ihrer vielfältigen Sonderrolle werden diese im folgenden gesondert notiert,
man teilt die Unbekannten auf in freie und vorzeichenbeschränkte Variable. Zusammen mit der
Aufteilung in Ungleichungen und Gleichungen können die Restriktionen in einer Blockmatrix
gesammelt werden. Die allgemeine Form eines linearen Programms lautet daher
⎫
min c T 1 x 1 + c T 2 x 2
A 11 x 1 + A 12 x 2 ≥ b
⎪⎬ x 1 , c 1 ∈ R n 1
, x 2 , c 2 ∈ R n 2
, n = n 1 + n 2 ,
1
b 1 ∈ R m 1
, b 2 ∈ R m 2
, m = m 1 + m 2 ,
A 21 x 1 + A 22 x 2 = b 2
x 1 ≥ 0
⎪⎭ A ij ∈ R m i×n j
, i, j = 1, 2.
(LP)
Allerdings kann man durch elementare Umformungen daraus auch jedes der folgenden, einfacheren
Standardprogramme erzeugen mit A ∈ R m×n ,
min{ c T x : Ax ≥ b}
min{ c T x : Ax ≥ b, x ≥ 0}
min{ c T x : Ax = b, x ≥ 0}
(LP1)
(LP2)
(LP3)
Bei diesen ist in der allgemeinen Form (LP) jeweils nur ein Matrixblock nichttrivial, nämlich
A 12 ≠ 0 bei (LP1), A 11 ≠ 0 bei (LP2) und A 21 ≠ 0 bei (LP3). Folgende elementare Umformungen
können eingesetzt werden, die auf äquivalente Probleme führen: