Skript

2 SIMPLEX – VERFAHREN 26
Seite b q − b i wird dadurch nichtnegativ. Die Zeile q selbst bleibt unverändert, bekommt aber
eine zusätzliche Variable y m+1 ≥ 0. Damit ergibt sich das Problem
min c T x +My m+1
n∑
(a qj − a ij )x j −y q +y i = b q − b i ≥ 0, i ≠ q,
j=1
n∑
a qj x j −y q +y m+1 = b q > 0,
j=1
x j ≥ 0, y i , y q , y m+1 ≥ 0
(2.6.2)
Die Matrix mit den Spalten zu den Indizes J = {n+1, . . . , n+m+1}\{n+q} bildet eine zulässige
Basis aus Einheitsvektoren mit Basislösung ¯x = 0, ȳ q = 0, ȳ i = b q −b i ≥ 0 (i ≠ q), ȳ m+1 = b q > 0.
Wenn dann im Optimum (ˆx T , ŷ T ) die Zusatzvariable verschwindet, ŷ m+1 = 0, hat man natürlich
auch eine Lösung des Ausgangsproblems gefunden. Im umgekehrten Fall ist allerdings nicht
klar, ob nur M zu klein gewählt wurde, oder ob das Ausgangsproblem inkonsistent ist. Die
Zwei-Phasen-Methode bietet hier eine verläßlichere Entscheidung.
Beispiel 2.6.1 Beim folgenden Problem (LP2), einschließlich Schlupfvariablen,
min 2x 1 −3x 2
−2x 1 +3x 2 −y 1 = 5
−x 1 +2x 2 −y 2 = 2
−x 1 −2x 2 −y 3 = −6
tritt das größte Element von b in der ersten Zeile auf. Subtraktion der übrigen Zeilen von der
ersten und Einführung der Zusatzvariablen y 4 führt auf das folgende zulässige Tableau ¯H. Die
Kosten für die Steuerzeile sind γ T = (c T , 0 T , M) − Me T q H, es wird also das M-fache der q-ten
Gesamtzeile vom Zielvektor subtrahiert. Das M in der letzten Spalte hebt sich dabei auf.
−5M 2 + 2M −3 − 3M M 0 0 0
5 −2 3 −1 0 0 1
3 −1 1 −1 1 0 0
11 −1 5 −1 0 1 0
→
5 0 0 −1 0 0 M + 1
5/3 −2/3 1 −1/3 0 0 1/3
4/3 −1/3 0 −2/3 1 0 −1/3
8/3 7/3 0 2/3 0 1 −5/3
Der Wert von M ≥ 0 wurde nicht festgelegt, er war hier unwichtig. Nach einem Schritt ist die
Zusatzvariable eliminiert und das Verfahren läßt sich mit der verkleinerten Tabelle fortsetzen.
2.7 Ausgeartete Ecken und praktische Aspekte
Die Steuerung beim Simplexverfahren erfolgt allein über die (Indexmenge der) Basen. Da zu einer
ausgearteten Basislösung verschiedene Basen gehören, kann es vorkommen, dass das Verfahren
zwar die Basis wechselt, aber in der gleichen Basislösung verharrt. Dann besteht auch die Gefahr,
dass das Verfahren (bei unveränderter Pivotwahl) zu einer früheren Basis zurückkehrt und
dann in dieser Schleife gefangen bleibt (”Kreisen” beim Simplexverfahren). Dieses Problem kann
insbesondere bei Restriktionen mit kleinen ganzzahligen Koeffizienten wie im Beispiel 2.5.2 auftreten.
Im Verfahren sind ausgeartete Ecken daran zu erkennen, dass das Minimum in Schritt 5