Skript

2 SIMPLEX – VERFAHREN 10
2 Simplex – Verfahren
2.1 Bezeichnungen
Es wird der n-dimensionale Vektorraum R n zugrundegelegt. Die Vektoren der Einheitsbasis
heißen e i = (δ ij ) n j=1 und es sei 1l := ∑ n
i=1 e i der Vektor aus Einsen. Allgemein werden Elemente
x ∈ R n als Spaltenvektoren geschrieben,
⎛ ⎞
x 1
) n
x = ⎜
⎝ .
⎟
⎠
(x = i .
i=1
x n
√ ∑n
Meist wird die Euklidnorm ‖x‖ = ‖x‖ 2 :=
i=1 x2 i
verwendet, eine andere interessante Norm
ist die Maximumnorm ‖x‖ ∞ := max n i=1 |x i|. Ungleichungen zwischen Vektoren sind komponentenweise
zu verstehen. Eine solche wird in der Definition R n + := {x : x ≥ 0} des positiven Kegels
verwendet (s.o.). Die Menge der reellen m × n-Matrizen heißt R m×n . Im Folgenden werden oft
Untermatrizen aus ausgewählten Spalten oder Zeilen einer Matrix betrachtet. Zu A ∈ R m×n
seien daher a j = Ae j ∈ R m die Spalten und a (i) = A T e i ∈ R n die Zeilen von A. Dann gelten
folgende Schreibweisen
⎛
⎞
⎛ ⎞
a 11 · · · a 1n
a (1)T
A = ⎜
⎝ . .
⎟
⎠ = (a ij) = (a 1 , . . . , a n ) = ⎜
⎝ .
⎟
⎠ .
a m1 · · · a mn a (m)T
Elemente einer Vektorfolge werden ebenfalls durch einen oberen Index unterschieden, x (i) =
(x (i)
1 , . . . , x(i) n ) T .
2.2 Matrix – Umformungen
Das später behandelte Simplex-Verfahren benutzt die Problemform (LP3) und durchläuft spezielle
Lösungen des Linearen Gleichungssystems Ax = b, m < n, welche durch reguläre quadratische
Untermatrizen von A gegeben sind. Die Lösung von regulären Gleichungssystemen spielt
daher eine zentrale Rolle bei der Optimierung. Zwischen aufeinanderfolgenden Schritten des
Simplexverfahrens ändern sich die Systeme aber nur wenig. Um Rechenaufwand zu sparen nutzt
man daher oft Aktualisierungs-Formeln (”matrix update”). Denn bei Änderung einer Matrix
durch eine Rang-1-Matrix ist die Inverse explizit bekannt und läßt sich effizient berechnen.
Satz 2.2.1 Die Matrix B ∈ R m×m sei regulär, mit Vektoren u, v ∈ R m sei β := 1+v T B −1 u ≠ 0.
Dann ist auch die Matrix B + uv T regulär und ihre Inverse ist
(B + uv T ) −1 = B −1 −
1
1 + v T B −1 u B−1 uv T B −1 . (2.2.1)