Skript

2 SIMPLEX – VERFAHREN 14
evtl. nach Zeilenvertauschung. Dabei wendet man die Umformungen gleichzeitig auf L und
R ′ = L −1 C ′ an, um danach wieder eine gültige LR-Zerlegung von C ′ zu bekommen. Bei der
Elimination von r ′ s+1,s mit L s(z) etwa hat z = ζe s+1 nur ein nichttriviales Element und durch
(
) (
C ′ = LR ′ = (LL −1
s ) (L s R ′ ) = L(I + ζe s+1 e T s ) (I − ζe s+1 e T s )R ′) ,
wird beim R-Faktor nur die Zeile s + 1 geändert, beim L-Faktor nur die Spalte s. Daher ist der
Gesamtaufwand für diese Anpassung der LR-Zerlegung in der Größenordnung O(m 2 ).
2.3 Basen
Bei der numerischen Durchführung der Optimierung geht man vom Programm (LP3) aus
min{c T x : x ∈ X}, X := {x ∈ R n : Ax = b, x ≥ 0},
und betrachtet ohne Einschränkung den Fall A ∈ R m×n , Rang(A) = m < n. Denn für Rang(A) <
m wäre der affine Unterraum U = {x : Ax = b} entweder leer, oder es könnten Gleichungen
entfernt werden.
Der zulässige Bereich X = {x : Ax = b, x ≥ 0} = U ∩R n + ist der Schnitt des affinen Unterraums
U mit dem positiven Oktanten R n +. Da die Zielfunktion x ↦→ c T x linear ist, ist ihr Gradient c T
konstant und daher gibt es keine inneren Extrema. Daher liegt das Optimum auf dem Rand von
X = U ∩ R n + und somit auf dem Rand des Positivkegels R n +. Trivialerweise hat x ∈ X daher
Komponenten, die entweder positiv oder null sind, letzteres insbesondere auf dem Rand von X.
Daher sind zur Beschreibung folgende Bezeichnungen nützlich. Zu einem Punkt x ∈ R n sei
J + (x) := {i : x i > 0}, J − (x) := {i : x i < 0}, J(x) := J − (x) ∪ J + (x)
die Menge der (positiven, negativen bzw. aller) Stützindizes von x. Für x ≥ 0 ist J(x) = J + (x).
In (LP3) kann man zu unterbestimmten Gleichungssystem für eine spezielle Lösung ¯x ∈ X
einige Spalten von A ”auslassen”, denn mit J + (¯x) = {j 1 , . . . , j l } ⊆ N := {1, . . . , n} ist
b = A¯x = a j1 ¯x j1 + a j2 ¯x j2 + . . . + a jl ¯x jl , l ≤ n. (2.3.1)
Dies entspricht einem Gleichungssystem der Dimension m × l. Als Bezeichnung wird zur Indexmenge
J = {j 1 , . . . , j l } ⊆ {1, . . . , n}, |J| = l, daher folgende Untermatrix von A eingeführt
A J = (a j1 , . . . , a jl ) ∈ R m×l .
Die analoge Bezeichnung (vgl. §2.1) für ausgewählte Zeilen L = {l 1 , . . . , l k } ⊆ {1, . . . , m} der
Matrix ist
⎛
a (l 1) T ⎞
A (L) = ⎜
⎝ .
⎟
⎠ ∈ Rk×n . (2.3.2)
a (l k) T