Skript

1 OPTIMIERUNGS-PROBLEME 6
symmetrische TSP: w ij = w ji (z.B., keine Einbahnstraßen)
euklidsche TSP: w ij ≤ w ik + w kj ∀i, j, k (Gültigkeit der Dreieckungleichung)
In der Form (TSP) liegt ein kombinatorisches Optimierungsproblem vor. Wegen |S z,n | = (n−1)!
ist eine reine Enumeration aller Möglichkeiten zur Lösung nur für kleine n möglich, denn, z.B.,
ist 5! = 120, 10! = 368800, 30! > 2 · 10 32 . Der z.Z. schnellste Rechner (Tianhe-2 mit 33800 Tera-
FLOPS > 33 PetaFLOPS) schafft ca. 3 · 10 21 Operationen pro Tag.
Eine alternative Formulierung als (LP) ist möglich durch Betrachtung des charakteristischen
Vektors x = (x ij ) ∈ B k , k = n(n − 1) beim allgemeinen und k = ( n
2)
= n(n − 1)/2 beim
symmetrischen Problem. Beim symmetrischen Problem haben die Variablen x ij , i < j, folgende
Bedeutung
x ij =
{
1 der Weg zwischen i und j wird benutzt,
0 sonst.
Damit sich eine Tour ergibt, müssen zu jedem Ort genau zwei Wege benutzt werden, also
∑
ji
x ij = 2 ∀1 ≤ i ≤ n. (1.2.1)
Allerdings sind dadurch Teiltouren noch nicht ausgeschlossen. Zusätzlich kann man dazu fordern,
dass in keiner echten Teilmenge U ⊆ N ein Kreis auftritt, ∑ i,j∈U x ij ≤ |U| − 1, bzw. die Menge
wieder verlassen wird
∑
i∈U,j /∈U
Diese Formulierung des (TSP) ist damit
x ij ≥ 2 ∀U ⊂ N, 1 ≤ |U| ≤ n − 1. (1.2.2)
min ∑ n
i,j=1 w ijx ij
x ∈ X := {x ∈ B (n 2) : (1.2.1), (1.2.2) gelten}.
(TSPB)
Dieses (TSPB) ist also ein boolesches lineares Programm mit n Gleichungen und ∑ n−1
( n
)
k=1 k =
2 n − 2 Ungleichungen. Wegen dieser vielen Bedingungen und der booleschen Variablen ist auch
diese (und jede) Form des (TSP) schwierig zu lösen.
Daten zur Geschichte des Problems, Lösungsrekorde:
1930 Karl Menger Formulierug des Problems, einzige Lösungs-
1934 Hasler Whitney möglichkeit vollständige Enumeration
1954 G.B. Dantzig, D.R. Fulkerson, Lösen 42-Städte-Problem mit Schnittebenen-
S.M. Johnson
Verfahren und linearen Programmen,
1972 R.M Karp TSP ist NP-vollständig,
1979 Crowder, Padberg 318 Orte, Branch-and-Cut-Verfahren,
1995 Applegate, Bixby, Chvátal, Cook 7397-Städte-Problem, Parallelrechner
2001 dito 15112 Städte Deutschland
2004 dito+Helsgaun 24978 Städte Schweden
2006 A+B+C+C+E+G+H 85900 Punkte VLSI (s.u.)