Skript

3 KONVEXE GEOMETRIE 46
a) z ∈ Rd(X + C): nach S. 3.2.13 existiert eine Stützebene H mit
z ∈ H ∩ X, (X + C) ⊆ H ⊖ und X ⊈ H. Dann ist dim(X ∩ H) < q
und die Behauptung folgt aus der I.V.
b) z liegt im Inneren von X +C. Dann existiert eine Gerade G := {z+
tu : t ∈ R} durch z, die ein Stück weit in X verläuft, G∩(X\{z}) ≠ ∅.
Dabei ist u ∈ L(aff(X)). Wegen L(X) = {0} kann G nicht vollständig
zu X gehören, G ⊈ X, und schneidet daher den Rand von X + C.
b1) Es gibt zwei Schnittpunkte x, y mit dem Rand und z = λx + (1 −
λ)y, λ ∈ (0, 1). Für x und y trifft Fall a) zu.
b2) Es gibt einen Schnittpunkt x mit dem Rand und x + tu ∈ X
∀t ≥ 0. Dann ist u ∈ O + (X) = keg(y (1) , . . . , y (l) ) nach Satz 3.5.2
und zeigt die Behauptung, denn für x trifft wieder Fall a) zu.
Der Dekompositionssatz verallgemeinert den Satz über Lösungsmengen von Linearen Gleichungssystemen,
verwendet aber mehrere spezielle inhomogene Lösungen E(X) und die allgemeine
homogene Lösung im Kegel O + (X).
LGS Ax = b : X = {ˆx} + Kern(A)
UGlS Ax ≥ b : X = konv(E(X)) + O + (X).
Beispiel 3.5.4 Zusammenfassung der Beispiele 3.4.4/8: das Polyeder X := {x : Ax ≥ b} mit
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−1 1
0
✻
A =
−1 −1
⎜
⎝ 0 −1
⎟
⎠ , b = −4
⎜
⎝−3
⎟
⎠
❍
❍❍❍❍❍
1 −2 −6
♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣
♣ ♣ ♣
❅
❅❅
✟
✟ ✟✟✟✟
♣ ♣ ♣
♣ ♣
♣ ♣
♣ ♣
läßt sich darstellen in der Form
♣
♣
♣ ♣
✟
( ( ( ( ) ( ) X
2 1 0 −1 −2
X = konv{ , , } + keg{ , }.
2)
3)
3)
−1 −1
✟ ✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟
✲
Im Bild zeigt der punktierte Teil das Polytop konv(E(X)),
unten ist schraffiert der Ausdehnungskegel O + (X) eingezeichnet,
welcher im Theorem an jeden Punkt des Polytops
✟ ✟✟✟✟✟
”angeheftet” wird. Die zwei extremalen verschobenen Kegel
sind ebenfalls angedeutet.
Bedeutung für das Simplex-Verfahren: Der Dekompositions-Satz 3.5.3 ist die Arbeitsgrundlage
für das Simplexverfahren. Da das Minimum der linearen Zielfunktion von (LP), wenn
es existiert, auch auf den Ecken angenommen wird, müssen daher nur diese untersucht werden.
Und Satz 3.4.3 bestätigt, dass diese gerade durch Basislösungen gegeben sind. Um zusätzlich
die Beschränktheit sicherzustellen, sind auch diejenigen Kanten des Polyeders, auf denen die
Zielfunktion wächst, auf endliche Länge zu prüfen. Satz 3.5.1 stellt hierfür die Verbindung zum
Simplexverfahren her.