Skript

2 SIMPLEX – VERFAHREN 20
Beispiel 2.4.1 Simplexverfahren mit m = 3, n = 6 bei (LP3) mit c T = (−9, −6, −7, 0, 0, 0),
⎛
⎞ ⎛ ⎞
3 1 2 1 0 0
20
⎜
⎟ ⎜ ⎟
A = ⎝1 1 1 0 1 0⎠ , b = ⎝11⎠ .
4 3 4 0 0 1
40
Das Problem ist aus einem (LP2) durch Einführung von Schlupfvariablen entstanden. Hier gehört
zu J = {4, 5, 6} eine Startbasis A J = I 3 mit Basislösung ¯x J = b ≥ 0. Auftretende Simplex-Basen:
⎛ ⎞
20
⎜ ⎟
B-1 1. J = {4, 5, 6}, A J = I, ¯x J = ⎝11⎠, y T = 0 T , γK T = (γ 1, γ 2 , γ 3 ) = (−9, −6, −7).
40
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
w 42
1
2+4. wähle l = 2: w (J) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 = ⎝w 52 ⎠ = Ia 2 = ⎝1⎠,
w 62 3
⎫
x 4 (t) = 20 − t ≥ 0 ⎪⎬
5. (2.3.10): x 5 (t) = 11 − t ≥ 0
⎪⎭ ⇒ t 2 = 11, p = 5.
x 6 (t) = 40 − 3t ≥ 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 1 0
0 1 0 11
⎜ ⎟
B-2 1. J = {2, 4, 6}, K = {1, 3, 5}, A J = ⎝1 0 0⎠, A −1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
J
= ⎝1 −1 0⎠, ¯x J = ⎝ 9 ⎠,
3 0 1
0 −3 1
7
⎛ ⎞
3 2 0
y T = (c 2 , c 4 , c 6 )A −1
J
= (0, −6, 0), γK T = (c ⎜ ⎟
1, c 3 , c 5 ) − (0, −6, 0) ⎝1 1 1⎠ = (−3, −1, 6).
4 4 0
⎛ ⎞
⎛ ⎞
w 21
1
2+4. wähle l = 1: w (J) ⎜ ⎟
1 = ⎝w 41 ⎠ = A −1
J a ⎜ ⎟
1 = ⎝2⎠,
w 61 1
⎫
x 2 (t) = 11 − t ≥ 0 ⎪⎬
5. (2.3.10): x 4 (t) = 9 − 2t ≥ 0
⎪⎭ ⇒ t 1 = 9 2 , p = 4. ✛
Kontrolle:
insbesondere
ist x 1 = t 1
x 6 (t) = 7 − t ≥ 0
✡
✡
✡✢
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ vom Schritt vorher!
3 1 0
1 −1 0
9
⎜ ⎟
B-3 1. J = {1, 2, 6},A J = ⎝1 1 0⎠, A −1
J
= 1 ⎜ ⎟
2 ⎝−1 3 0⎠, ¯x J = 1 ⎜ ⎟
2 ⎝13⎠,
4 3 1
−1 −5 2
5
⎛ ⎞
2 1 0
y T = (c 1 , c 2 , c 6 )A −1
J
= 1 2 (−3, −9, 0), γT K = (c 3, c 4 , c 5 )− 1 2 (−3, −9, 0) ⎜ ⎟
⎝1 0 1⎠ = ( 1 2 , 3 2 , 9 2 ).
4 0 0
3. γ K > 0, ¯x J > 0: eindeutiges Minimum!