Skript

3 KONVEXE GEOMETRIE 36
In der Definition tritt die offene Strecke (x, y) auf, Punkte einer Randfläche R können also nur
aus Punkten von R selbst kombiniert werden. Abhängig von der Dimension einer Randfläche R
verwendet man folgende Bezeichnungen:
dim R = 0:
dim R = 1:
R = {y} ist Ecke von M
R ist Kante von M
dim R = n − 1: R ist Facette von M ⊆ R n .
Satz 3.3.2 Sei M ⊆ R n nichtleer und konvex. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:
a) z ∈ M ist Ecke von M,
b) z ∈ (x, y), x, y ∈ M ⇒ x = y = z,
c) z = 1 (x + y), x, y ∈ M ⇒ x = y = z,
2
d) M \ {z} ist konvex.
Beweis Teil b) entspricht gerade der Definition des Begriffs a), gezeigt wird nur c) ⇒ b). Dazu sei
x, y ∈ M, z = λx + (1 − λ)y. Für λ ∈ (0, 1) existiert ein ε > 0 so, dass 0 < λ − ε < λ + ε < 1. Damit sei
}
˜x = (λ + ε)x + (1 − λ − ε)y ∈ M
⇒ z = 1 ỹ = (λ − ε)x + (1 − λ + ε)y ∈ M
2 (˜x + ỹ). x z y
˜x ỹ
Aus dieser Darstellung folgt aber n.V. ˜x = ỹ = z und daher 0 = ˜x − ỹ = 2ε(x − y). Wegen 2ε > 0 hat
das auch x = y = z, also die Eckeneigenschaft, zur Folge.
Ecken sind die wichtigsten Teile des Randes, die Menge aller Ecken von M heißt E(M).
Beispiel 3.3.3
a) Die Eckenmenge der Einheitskugel M = B 1 (0) = {x : ‖x‖ ≤ 1} ist die Sphäre E(M) =
{x : ‖x‖ = 1}. Dies folgt direkt aus der Parallelogrammgleichung (3.2.2) und Satz 3.3.2b.
Die offene Kugel hat keine Ecken E( M) ◦ = ∅.
b) Auch Unterräume U ⊆ R n haben keine Ecken, sind aber abgeschlossen.
c) Im folgenden treten aber in der Regel Mengen mit endlich vielen Ecken auf. Dazu gilt
etwa: für M = konv{x (1) , . . . , x (m) } ist E(M) ⊆ {x (1) , . . . , x (m) }.
Jede nichtleere kompakte Menge M enthält mindestens eine Ecke (Satz, denn argmax{‖x‖ :
x ∈ M} ist Ecke). E(M) enthält dann sogar so viele Punkte, dass die ganze Menge M daraus
rekonstruiert werden kann (Theorem 3.3.7). Zum Beweis wird benötigt:
Satz 3.3.4 Sei M ≠ ∅, M ⊆ R n konvex und kompakt und H eine Stützebene an M. Dann ist
R := H ∩ M eine Randfläche von M und enthält eine Ecke von M.
Beweis Als wichtigster Teil wird die Existenz der Ecke gezeigt. Da R = H ∩ M als nichtleerer Schnitt
ebenfalls konvex und kompakt ist, besitzt R eine Ecke z ∈ M ∩ H. Es sei H = H(a, α).