Skript

3 KONVEXE GEOMETRIE 44
3.5 Der Dekompositionssatz für Polyeder
Zur Ergänzung der Polyeder-Zerlegung muss auch der Ausdehnungskegel berücksichtigt werden.
Bei der endlichen Darstellung von Polyeder-Kegeln, vgl. Satz 3.4.9, kann eine Minimalmenge
erforderlicher Richtungen identifiziert werden, die Kanten des Kegels. Daher wird jetzt das
dem Satz 3.4.3 (Eckendarstellung) entsprechende Resultat für die Kanten der der zu (LP1)
bzw. (LP3) gehörenden zulässigen Mengen formuliert. Bei (LP1) wird die Aussage wegen des
Dekompositionssatzes auf den Ausdehnungskegel beschränkt. Bei (LP3) wird dagegen konkret
gezeigt, dass der elementare Strahl (2.3.7) gerade eine Polyeder-Kante darstellt, wenn er eine
positive (evtl. unendliche) Länge hat. Letzteres ist an den Vorzeichen des Vektors w (J)
l
= A −1
J
a l
erkennbar. Damit wird der Zusammenhang zu den Daten des Simplexverfahrens hergestellt.
Satz 3.5.1 a) Es sei A ∈ R m×n , gegeben. Zu y ∈ {x : Ax ≥ 0} \ {0} ist keg(y) genau dann
Kante, wenn eine Untermatrix A (L) maximalen Ranges |L| = n − 1 existiert mit A (L) y = 0.
b) Das Polyeder X = {x : Ax = b, x ≥ 0} zu (LP3) sei durch A ∈ R m×n , b ∈ R m , gegeben und
es sei z ∈ X Ecke mit Basis A J . Für l ∈ K = {1, . . . , n} \ J und den Spaltenvektor w l = A −1
J
a l
der Matrix W K aus (2.3.6) gelte
Dann ist {z − tw l : t ≥ 0} ∩ X Kante von X.
J + (w l ) ⊆ J(z), d.h. w il > 0 ⇒ z i > 0 ∀i ∈ J.
Beweis a) ist analog zum Beweis von Satz 3.4.3a), wegen des eindimensionalen Kerns ist der Vorfaktor
bei ty frei.
b) Nach (2.3.7) wird das Gleichungssystem Ax(t) = b durch jeden Punkt des Strahls
(
)
A −1
J
x(t) = z − tw l =
(b − ta l)
te (K)
l
erfüllt. Zu prüfen ist das Vorzeichen x(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0, ε], ε > 0. Dabei ist der Fall
• w il ≤ 0: keine Einschränkung an t,
• z i > 0, w il > 0: erfüllbar mit t > 0,
• z i = 0, w il > 0: unerfüllbar für t > 0.
✻
Nach Voraussetzung tritt der letzte (rote) Fall nicht auf und die Kante
hat daher eine positive Länge t l > 0, vgl. (2.3.10).
ZZ S := {x(t) : t ∈ [0, ∞)} ∩ X ist Kante. Für festes t > 0 ist J(x(t)) ⊆
J ∪ {l} mit l ∈ K. Nun sei x(t) = 1 2
(u + v) mit u, v ∈ X.
Wie früher folgt daraus J(u), J(v) ⊆ J ∪ {l}, denn für einen Index k ∈ K gilt, wenn
k = l : x l (t) = t = 1 2 (u l + v l ) ⇒ u l = αt, v l = (2 − α)t, α ∈ [0, 2],
k ≠ l : x k (t) = 0 = 1 2 (u k + v k ) ⇒ u k = v k = 0.
Mit der Basisdarstellung (2.3.5) überträgt sich das auf die J-Komponenten:
u J = z J − αtA −1
J a l ∈ S, v J = z J − (2 − α)tA −1
J a l ∈ S,
somit kann x(t) nur aus Elementen von S konvex kombiniert werden, S ist daher Kante.
z i − tw il
✏
❍
✏ ❍❍❍❍❍❍❍❍
✏✏✏✏✏✏✏
✲ t