Skript

3 KONVEXE GEOMETRIE 30
d) Der Einheitssimplex ∆ n := {x ∈ R n : 1l T x = 1, x ≥ 0} ist ebenso konvex wie ∆ ′ n := {x ∈
R n : 1l T x ≤ 1, x ≥ 0}.
e) Streckung und Addition erhalten die Konvexität. Mit λ ∈ R und konvexen Mengen M, N ⊆
R n sind auch folgende Mengen konvex
λM := {λx : x ∈ M},
M + N := {x + y : x ∈ M, y ∈ N}.
Definition 3.2.3 Zu M ⊆ R n ist die konvexe Hülle konv(M) die kleinste konvexe Menge, die
M enthält.
Offensichtlich gilt für Mengen M ⊆ R n : M konvex ⇐⇒ M = konv(M). Den Zusammenhang
zwischen Konvexität und Konvex-Kombinationen präzisieren die folgenden Sätze.
Satz 3.2.4 M ⊆ R n ist genau dann konvex, wenn jede konvexe Kombination von endlich vielen
Punkten aus M wieder in M liegt.
Beweis ”⇐” Die Konvexität folgt aus dem Spezialfall k = 2.
”⇒” induktiv, die Behauptung für k = 2 entspricht der Definition. Nun sei M konvex und x (1) , . . . , x (k+1) ∈
M, k ≥ 2. Mit λ i ≥ 0, ∑ k+1
i=1 λ i = 1 sei z := ∑ k+1
i=1 λ ix (i) . Für λ k+1 = 1 ist z = x (k+1) ∈ M. Andererseits
gilt für λ k+1 < 1
z =
k∑
λ i x (i) + λ k+1 x (k+1) = (1 − λ k+1 )
i=1
= (1 − λ k+1 )
k∑
µ i x (i) +λ k+1 x (k+1) ,
i=1
} {{ }
=:˜z
k∑
i=1
λ i
1 − λ k+1
x (i) + λ k+1 x (k+1)
mit µ i := λ i /(1 − λ k+1 ) ≥ 0, i = 1, . . . , k, und ∑ k
i=1 µ i = 1. Damit ist ˜z ∈ M nach I.V. und auch z ∈ M
als einfache Konvexkombination von ˜z und x (k+1) .
Spezielle Charakterisierungen der konvexen Hülle von M sind auch:
• von außen: Durchschnitt aller konvexen Obermengen:
⋂
konv(M) =
(N konvex)
M⊆N⊆R n N
• von innen: Menge aller konvexen Kombinationen von Punkten aus M:
konv(M) = ⋃ k∈N{
k∑
λ i x (i) : x (i) ∈ M, λ ∈ ∆ k }. (3.2.1)
i=1
Der Einheitssimplex ist die konvexe Hülle aller Einheitsvektoren ∆ n = konv({e 1 , . . . , e n }) und
∆ ′ n = konv(∆ n ∪ {0}). Dieses Beispiel läßt erwarten, dass in der Darstellung (3.2.1) nur eine
Höchstanzahl von Summanden zu betrachten ist. Das bestätigt folgender Satz.