Skript

1 OPTIMIERUNGS-PROBLEME 2
Einordnung der Beispiele: Da die Weghöhe beim Brachistochronen-Problem an jedem reellen
Punkt s der Strecke unbekannt ist, hat man eine unendliche Anzahl an Freiheitsgraden
(überabzählbar). Zur korrekten Beschreibung wäre die Menge X als ein Raum geeigneter Funktionen
x(s), s ∈ [a, b], zu wählen. Derartige Probleme werden in der Variationsrechnung und
Steuerungstheorie (optimal control) behandelt. Beim Transportproblem sind dagegen die endlich
vielen, vom Produktionsort P i zum Kunden K j zu liefernden Mengen unbekannt. Bei Massengütern
können diese (nichtnegative) reelle Werte, bei Stückgütern ganzzahlige Werte annehmen.
Die Grundmenge X ist also (ein Teil) eines geeigneten R n oder Z n ⊆ R n . In dieser
Vorlesung wird nur der Fall X ⊆ R n behandelt.
Eine weitere Klassifikation des Problems ergibt sich aus den
Eigenschaften der Zielfunktion F :
✟
✟
✟
✟
beliebig
stetig
❍ ❍❍❍
❅
❅
❅
❅❅
diffbar stw. diffbar nicht diffbar
2-mal diffbar
konvex
quadratisch
linear
stw. linear
Die Gestalt des zulässigen Bereichs X ist in der Regel nicht explizit bekannt, sondern durch
Einschränkungen an die Parameter x. Die Art dieser Nebenbedingungen schränkt ebenfalls die
Auswahl möglicher Verfahren ein. Daher ist es zweckmäßig, die Nebenbedingungen aufzuteilen
in funktionale und mengenmäßige. Ab jetzt sei also
X := {x ∈ R n : f(x) ≤ 0, g(x) = 0, x ∈ C}, (1.1.1)
mit f : R n → R p , g : R n → R m , C ⊆ R n . Generell werden Ungleichungen wie in dieser
Beschreibung komponentenweise verstanden, f i (x) ≤ 0, i = 1, . . . , p, für f = (f i ) p i=1
. Auch die
Eigenschaften der Funktionen f, g gehen in die Klassifikation von Optimierungsproblemen ein,
da durch Umformulierungen mit Zusatzvariablen wie x n+1 := F (x), die Zielfunktion auch in
Nebenbedingungen verlagert werden kann. Als Grundmengen C treten oft folgende Fälle auf
• R n , R n +, R n 1
+ × Rn 2
die Nichtnegativität ließe sich auch bei f unterbringen
• B r (y) Kugel um y vom Radius r, allgemeiner: Ellipsoid
• Z n , R n 1
× Z n 2
ganzzahlige, gemischt-ganzzahlige Probleme,
• B n = {0, 1} n boolesche Optimierungsprobleme.