Skript

3 KONVEXE GEOMETRIE 40
”⇐” Für RangA J = |J| sei z = 1 2
(x + y) mit x, y ∈ X. In den K-Komponenten folgt damit aber
0 = z K = 1 2 ( x K + y
}{{} K ) ⇒ x
}{{} K = y K = 0.
≥0 ≥0
Damit bleiben die eindeutig lösbaren Systeme Ax = A J x J = b = A J y J ⇒ x J = z J = y J .
Beispiel 3.4.4 Bei (LP1) sei m = 4, n = 2 und
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
✻
−1 1
0
A =
−1 −1
⎜
⎝ 0 −1
⎟
⎠ , b = −4
❅
❅
⎜
⎝−3
⎟
❅
⎠
✟ ✟✟✟✟✟✟✟✟ ❅
1 −2 −6
❅❅
Es gibt ( 4
X
2)
= 6 Indexmengen L mit |L| = 2, und da die
zugehörigen Untermatrizen regulär sind, auch entsprechend
viele Kreuzungspunkte von Hyperebenen (=Geraden). Allerdings
sind nur drei davon zulässig, also Ecken von X:
( ) ( ) ( )
( )
1) L = {1, 2} : A (L) −1 1 x 1 0
x =
= = b L : x (1) 2
= ,
−1 −1 x 2 −4
2
( ) ( ) ( )
( )
2) L = {2, 3} : A (L) −1 −1 x 1 −4
x =
= = b L : x (2) 1
= ,
0 −1 x 2 −3
3
( ) ( ) ( )
( )
3) L = {3, 4} : A (L) 0 −1 x 1 −3
x =
= = b L : x (3) 0
= .
1 −2 x 2 −6
3
✲
Das Beispiel zeigt, daß die Ecken hier nicht ausreichen, um die Menge X zu beschreiben. Die
Menge enthält zusätzlich bestimmte Richtungen, in denen sie sich unendlich weit trichterförmig
ausdehnt. Diese Gestalt läßt sich durch Kegel beschreiben, welche gegenüber konischen Kombinationen
(vgl. Defin. 3.1.2) abgeschlossen sind.
Definition 3.4.5 a) Die nichtleere Menge K ⊆ R n heißt konvexer Kegel, wenn λx + µy ∈ K,
∀x, y ∈ K, λ, µ ∈ R + .
b) Der konvexe Kegel K ⊆ R n , K ≠ ∅, heißt spitz, wenn K ∩ (−K) = {0} ist.
c) Zu einer beliebigen Menge M ⊆ R n ist
keg(M) :=
k∈N{
⋃ k∑
λ i x (i) : x (i) ∈ M, λ i ∈ R + }
i=1
der von M erzeugte Kegel. Ein Kegel K heißt endlich erzeugt, wenn K = keg(b 1 , . . . , b k ) ist,
b 1 , . . . , b k ∈ R n , d.h.,
K = B · R k + = {By : y ∈ R k +} mit B = (b 1 , . . . , b k ) ∈ R n×k . (3.4.1)