Skript

3 KONVEXE GEOMETRIE 38
Nach Ind.Voraussetzung ist dann aber x ∈ konv(E(R)) ⊆ konv(E(M)), vgl. Satz 3.3.6. Analog zeigt man
y ∈ konv(E(M)). Dies liefert den Widerspruch mit z ∈ konv(E(M)).
3.4 Polyeder, Polytope, Kegel
Theorem 3.3.7 liefert für kompakte, konvexe Mengen eine vollständige, explizite Darstellung
mit Hilfe der Ecken. Für unbeschränkte Mengen muss diese Darstellung aber ergänzt werden.
Dazu konzentrieren wir uns jetzt auf Polyeder. Dieser Begriff wurde schon mehrfach informell
für die Lösungsmengen von Ungleichungssystemen benutzt und wird nun zusammen mit einem
verwandten Begriff eingeführt. Insbesondere werden auch die Ecken und Kanten des Polyeders
über seine algebraische Definition mit Daten aus dem Simplexverfahren identifiziert. Deshalb
werden sowohl die zulässigen Polyeder von (LP1) als auch (LP3) betrachtet.
Definition 3.4.1 Es sei M ⊆ R n eine nichtleere Menge.
a) M heißt Polyeder, wenn eine Matrix A ∈ R m×n und ein Vektor b ∈ R m existieren mit
M = {x ∈ R n : Ax ≥ b}.
b) M heißt Polytop, wenn (endlich viele) Punkte x (0) , . . . , x (k) ∈ R n existieren mit M =
konv(x (0) , . . . , x (k) ). Wenn die Punkte x (0) , . . . , x (k) dabei affin linear unabhängig sind, nennt
man M einen k-Simplex.
Polyeder und Polytope sind natürlich konvex. Beim Polyeder treten insbesondere in Satz 3.2.15
nur endlich viele (höchstens m) Halbräume auf. Ein Polytop M = konv(x (0) , . . . , x (k) ) ist nach
Satz 3.2.7 kompakt, da die Eckenmenge E(M) ⊆ {x (0) , . . . , x (k) } kompakt ist. In einem k-
Simplex S hat jeder Punkt z ∈ S eine eindeutige Darstellung
z =
k∑
λ j x (j) , (λ j ) ∈ ∆ k+1 .
j=0
Die zugehörigen λ j sind die baryzentrischen Koordinaten von z in S, und ¯x = 1
k+1
∑ k
j=0 x(j) der
Schwerpunkt von S.
Nach Theorem 3.3.7 ist ein Polytop durch seine Ecken explizit darstellbar. Im kompakten
Fall gilt das auch für Polyeder, die zulässigen Bereiche von (LP):
Satz 3.4.2 Ein nichtleeres, beschränktes Polyeder ist ein Polytop.
Der Satz folgt direkt aus Theorem 3.3.7, wenn man weiß, dass jedes Polyeder nur endlich viele
Ecken hat. Diese Tatsache wiederum folgt elementar aus dem jetzt hergeleiteten Zusammenhang
(Satz 3.4.3) zwischen den Ecken von X = {x : Ax ≥ b} und ihrer algebraischen Charakterisierung
durch die regulären n × n-Untermatrizen von A. Da es überhaupt nur ( m
n)
quadratische
n × n-Untermatrizen gibt, ist diese Zahl auch eine obere Schranke für die der Ecken.