Skript

3 KONVEXE GEOMETRIE 42
c) O + (X) ist spitz, wenn L(X) = kern(A) = {0}.
d) Bedeutung für (LP1), min{c T x : x ∈ X}: Für nichttriviales c ∈ −O + (X) ist (LP) unbeschränkt,
denn da dann mit ¯x ∈ X auch x = ¯x − λc ∈ X ∀λ ≥ 0 ist und c T (¯x − λc) = c T¯x − λ‖c‖ 2 , folgt
inf{c T (¯x − λc) : λ ≥ 0} = −∞.
Beispiel 3.4.8 Zum Beispiel 3.4.4 ist der Ausdehnungskegel O + (X) durch das homogene System
⎛ ⎞
−1 1
−1 −1
⎜
⎝ 0 −1
⎟
⎠ y ≥ 0
1 −2
bestimmt. Dieses entspricht den Bedingungen y 1 ≤ y 2 ≤ 0, y 2 ≤ −y 1 , y 2 ≤ y 1 /2. Also kommt
nur y 1 ≤ 0 in Frage und es bleiben nur y 1 ≤ y 2 ≤ 1 2 y 1. Das sind die Bedingungen zu A (L) y ≥ 0
mit L = {1, 4}. Die beiden homogenen Lösungen zu a (j)T y (j) = 0, j ∈ L, erzeugen diesen Kegel
( ) ( )
−1 −2
O + (X) = keg{y (1) , y (4) } = keg{ , }.
−1 −1
Im zentralen Dekompositionssatz wird der Ausdehnungskegel benötigt, um Theorem 3.3.7
für unbeschränkte Polyeder zu ergänzen. Bisher ist aber nur die implizite Beschreibung von
O + (X) aus Satz 3.4.7 durch das homogene Ungleichungssystem bekannt, unklar ist auch, ob
eine endliche Erzeugermenge für ihn existiert.
Satz 3.4.9 Der konvexe Kegel K := {x ∈ R n : Ax ≥ 0}, A ∈ R m×n , ist endlich erzeugt.
Beweis Der Nachweis, dass K := {x : Ax ≥ 0} endlich erzeugt ist, wird über die Behauptung geführt,
dass mit einem linearen Unterraum U ⊆ R n auch der Schnitt U ∩ R n + endlich erzeugt ist.
a) Spezialfall: Y := Kern(B) ∩ R m + = {x : Bx = 0, x ≥ 0} ist endlich erzeugt. Durch eine Homogenisierung
betrachtet man den kompakten Schnitt
M := Y ∩ H(1l, 1) = Kern(B) ∩ R m + ∩ H(1l, 1) = Kern(B) ∩ ∆ m .
Dabei ist ∆ m kompakt, also auch M (≠ ∅ oBdA). Daher ist M ein Polytop (Satz 3.4.2), ist also Hülle
seiner endlichen Eckenmenge E(M), M = konv(E(M)). Durch Streckung von M bekommt man Y zurück:
Y = R + M = keg(E(M)) ist endlich erzeugt.
b) Anwendung für Y := AK ⊆ R m + : Jeder lineare Unterraum, auch U := Bild(A) = AR n = {Ax :
x ∈ R n }, ist Kern einer linearen Abbildung, U = Kern(B). Nach Teil a) ist Y endlich erzeugt, daher
existieren y (j) = Ax (j) ∈ U, j = 1, . . . , k, mit
Y = U ∩ R m + = keg(y (1) , . . . , y (k) ) = keg(Ax (1) , . . . , Ax (k) ).
Außerdem sei Kern(A) = span(z (1) , . . . , z (l) ). Für x ∈ K ist y := Ax ∈ Y und es gilt:
y = Ax =
k∑
λ j Ax (j) , (λ j ) ≥ 0 ⇐⇒ A(x −
j=1
k∑
λ j x (j) ) = 0.
j=1
} {{ }
∈Kern(A)