Skript

3 KONVEXE GEOMETRIE 34
In Satz 3.2.9 liegt also p M (x) für x /∈ M in der Stützmenge der dort zur abgeschlossenen(!) Menge
M konstruierten Stützebene H. Diese trennt den Punkt x von der Menge M. Eine entsprechende
Aussage gilt für beliebige disjunkte, konvexe Mengen.
Definition 3.2.12 Zur Lage einer Hyperebene H = H(a, α) relativ zu nichtleeren Mengen
M, N ⊆ R n verwendet man folgende Begriffe.
H trennt M und N, wenn M ⊆ H ⊖ , N ⊆ H ⊕ (bzw.umgekehrt)
H trennt M und N echt, wenn M ⊆ H ⊖ , N ⊆ H + (bzw.umgekehrt)
H trennt M und N strikt, wenn M ⊆ H − , N ⊆ H + (bzw.umgekehrt)
H trennt M und N stark, wenn für ein ɛ > 0 gilt
a T x ≤ α − ɛ < α + ɛ ≤ a T y ∀x ∈ M, y ∈ N.
Mit Satz 3.2.9 kann direkt eine Hyperbene konstruiert werden, die einen Punkt x ∉ ¯M außerhalb
einer konvexen Menge von dieser strikt trennt. Etwas schwieriger wird der Nachweis, wenn x auf
dem Rand von M liegt, die trennende Ebene ist dann eine Stützebene.
Satz 3.2.13 Die nichtleere Menge M ⊆ R n sei konvex.
a) Ist M abgeschlossen und x /∈ M, dann existiert eine Hyperebene mit M ⊆ H − (a, α), x ∈
H + (a, α), d.h.,
∀y ∈ M : a T y < α < a T x.
b) Wenn x Randpunkt von M, x ∈ ¯M \ M, ◦ ist, existiert eine Hyperebene H mit x ∈ H, M ⊆ H ⊖ .
Beweis a) In Satz 3.2.9 ist a := x − p M (x) ≠ 0. Mit ŷ = p M (x) gilt für alle y ∈ M nach (3.2.3)
0 ≥ a T (y − ŷ) = a T (y − x + a) = a T y − a T x + ‖a‖ 2 ⇐⇒ a T x ≥ a T y + ‖a‖ 2 .
Durch die Wahl α := a T x − 1 2 ‖a‖2 geht die Hyperebene H(a, α) genau durch den Mittelpunkt (x + ŷ)/2
und trennt x strikt von M:
a T x > a T x − 1 2 ‖a‖2 = α ≥ a T y + 1 2 ‖a‖2 > a T y ∀y ∈ M.
b) Da x Randpunkt von M ist, existiert eine Folge (x (j) ) mit x (j) /∈ ¯M und x = lim j→∞ x (j) . Zu jedem
dieser x (j) existiert nach Teil a) eine strikt trennende Hyperebene H(a (j) , α j ). Normiert man abweichend
von Teil a) durch ‖a (j) ‖ = 1, ist diese Folge (a (j) ) beschränkt und besitzt daher eine konvergente Teilfolge
Mit diesem a gilt ∀y ∈ M, dass
lim
k→∞ a(j k) = a, ‖a‖ = 1.
a (j k) T y < a (j k) T x (j k)
↓
↓
a T y ≤ a T x
für k → ∞.
Dies bedeutet aber gerade y ∈ H ⊖ (a, x) ∀y ∈ M.