Skript

2 SIMPLEX – VERFAHREN 12
in obere Dreieckgestalt R := A m überführt, durchführbar ist (a (j)
jj
≠ 0∀j), erzeugt er eine LR-
Zerlegung der Matrix als Produkt einer unteren Dreieckmatrix L = L −1
1 · · · L −1
m−1 und einer
oberen R = A m :
⎛
⎞ ⎛
⎞
1
r 11 r 12 . . . . . . . r 1n
z (1)
A = LR, L =
2 1
⎜
.
⎝ . .. ⎟
⎠ , R = r 22 . . . . . . . r 2n
⎜ .
⎝ .. ⎟ . ⎠ .
z m (1) . . . z m (m−1) 1
r mm . r mn
Die Berechnung der LR-Zerlegung hat einen Aufwand von i.w. (n − 1 3 m)m2
Operationen, also 2 3 m3 FLOP für m = n.
arithmetischen
Im Satz wurde implizit vorausgesetzt, dass die Pivot-Elemente a (j)
jj
= r jj, durch welche dividiert
wird, von Null verschieden sind. Bei einer Rechnung mit Maschinenzahlen endlicher Genauigkeit
muß aber nicht nur der Fall a (j)
jj
= 0 durch Zeilenvertauschungen vermieden werden, sondern
∼ = 0. Sonst zeigen sich die gleichen Probleme wie
auch die Verwendung kleiner Pivot-Werte a (j)
jj
bei Verwendung der Rang-1-Formel (2.2.2). Daher bringt man durch Vertauschungen möglichst
große Elemente in die Hauptdiagonale (s.u.).
Durch Berechnung einer LR-Zerlegung wird die Berechnung der Inversen absolut überflüssig.
Denn mit der Zerlegung kostet die Auflösung eines quadratischen linearen Gleichungssystem
Bx = c nur noch den Aufwand der Lösung von zwei gestaffelten (Dreieck-) Systemen:
x = B −1 c = R −1 L −1 c ⇐⇒ Ly = c, Rx = y.
Außerdem kann diese Auflösung ohne Zusatzvariable (am Platz) durchgeführt werden. Die folgenden
Anweisungen überschreiben die rechte Seite c = (c i ) zunächst mit der Zwischenlösung
y, dann mit der Gesamtlösung x:
löst Rx = c, c := x
löst Ly = c, c := y
für i = m abwärts bis 1 {
für i = 2 bis m {
für j = i + 1 bis m {c i := c i − r ij c j ;}
für j = 1 bis i − 1 { c i := c i − l ij c j ;}
c i := c i /r ii ;
}
}
Der Rechenaufwand beträgt pro Teilsystem i.w. m 2 Operationen. Damit ist der Gesamtaufwand
zur Lösung von Bx = LRx = c mit 2m 2 Operationen nicht höher als die reine Multiplikation
B −1 c, jeweils für jede neue rechte Seite c.
Zeilenvertauschungen bei einer m × n-Matrix A können formal mit Hilfe einer Permutationsmatrix
P ∈ B m×m dargestellt werden. So wird etwa mit einer Permutation π die entsprechende
Umordnung der Zeilen in A = (a ij ) folgendermaßen bewirkt (δ: Kronecker-Symbol):
( ) m
A ′ = (a ′ kj ) = (a π(i),j) ⇐⇒ A ′ = P A, P = δ π(i),j .
i,j=1
Permutationsmatrizen entstehen durch Vertauschungen bei der Einheitsmatrix und sind unitär,
die Transponierte P T = P −1 bewirkt die inverse Permutation. In der praktischen Realisierung
bestimmt man im Gaußalgorithmus vor Elimination der j-ten Spalte das betragsmaximale