Skript

1 OPTIMIERUNGS-PROBLEME 4
einzuhalten. Insgesamt lautet das Problem somit
∑
max n c j x j
j=1
n∑
a ij x j ≤ b i ,
j=1
x i ≥ 0,
i = 1, . . . , m
i = 1, . . . , n
Hier bietet sich die Vektor-/Matrix-Notation für eine kompaktere Schreibweise an. Mit x =
(x 1 , . . . , x n ) T , c := (c 1 , . . . , c n ) T , b = (b 1 , . . . , b m ) T , A = (a ij ) m,n
i,j=1 ist F (x) = cT x und man hat
die äquivalente Formulierung
max c T x
Ax ≤ b
x ≥ 0.
Die Ungleichungen bei Vektoren sind dabei wieder komponentenweise zu verstehen. Da alle
Restriktionen Ungleichungen sind, ist der zulässige Bereich X := {x ∈ R n : Ax ≤ b, x ≥ 0}.
Beispiel 1.2.1 Fall n = 2, m = 3, die Produkte P 1 (Gewinn c 1 = 4 EUR) und P 2 (Gewinn
c 2 = 3 EUR) sollen mit Hilfe der Resourcen Arbeitszeit, Lagerkapazität, Energie produziert
werden. Die Einschränkungen seien
A: x 1 + x 2 ≤ 16 (gleicher Arbeitsaufwand)
L: x 2 ≤ 12 (Rohstoffe nur für P 2 zu lagern)
E: 3x 1 + x 2 ≤ 36 (3-facher Energiebedarf P 1 )
Gesamtformulierung und zulässiger Bereich:
max (4, 3) · x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 1 16
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝0 1⎠ x ≤ ⎝12⎠ ,
3 1 36
x ≥ 0.
Der Pfeil c ist der (konstante!) Gradient der Zielfunktion
F (x) = c T x = 4x 1 + 3x 2 , das Maximum
wird im markierten Randpunkt (ˆx 1 , ˆx 2 ) =
(10, 6) angenommen mit dem Wert F (ˆx) = 58.
x 2
❅
✻ ❅ ❇
L
❅
❇
❅
❇
❅
❇
E
❅
❇
❅
❇
♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ❅♣ ♣ ❇♣ ♣
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♣❇♣
✚ ✚✚❃
♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ X♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ❅
♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣
❇
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♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣❇♣ ♣
❅
♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ❇♣ ♣ ❅ A
❇ ❅
❇ ❅
c
✲
x1
Transportprobleme
Hier soll ein Massengut (beliebig teilbar) von
m Produktions-/Lagerstätten P i mit Kapazität
s i zu n Verbrauchern V j mit Bedarf r j transportiert
werden. Die Gesamtmengen bei Produktion
und Verbrauch sollen dabei gleich sein
m∑ ∑
s i = n r j (oBdA).
i=1
j=1
✗✔
P 1
V 1
✖✕
✟ ✟✟✟✯ ❍❨
❍
❍
✛✘❍
✲ V 2
✛
✚✙
❍ ✟
❍❍❍❥
✛✘
✟
✟✙
✟
V 3
P 2
✚✙