Skript

2 SIMPLEX – VERFAHREN 16
Der geometrische Hintergrund für die folgenden Überlegungen ist die Tatsache, dass die zulässige
Menge X ein konvexes Polyeder ist und Basislösungen gerade den Ecken dieser Menge entsprechen.
Diese Begriffe und Eigenschaften werden aber erst im Geometrie-Kapitel §3 genauer
definiert. Eines der zentralen Ergebnisse dort besagt, dass man beim Linearen Programm nur
Basislösungen untersuchen muß.
Basisdarstellung von X: Zu jeder Basislösung ¯x von X gibt es eine Basis B = A J mit
A J ¯x J = b, ¯x K = 0, J ∪ K = {1, . . . , n}. Aber nicht nur dieser spezielle Punkt ¯x, sondern jeder
Punkt x ∈ X kann mit Hilfe dieser Basis dargestellt werden. Dazu wird analog zu (2.3.3) die
Gesamtmatrix A = (A J , A K ) aufgeteilt und das Gleichungssystem Ax = b umgeformt. Da A −1
J
existiert, gilt nämlich für x ∈ U
Ax = A J x J + A K x K = b ⇐⇒ x J = A −1
J
b − A−1
J
A Kx K = ¯x J − A −1
J A Kx K . (2.3.5)
Dies ist die aus der Linearen Algebra bekannte Parameterdarstellung des Lösungsraums U mit
den Variablen x K ≥ 0 als ”freien” und den x J als ”abhängigen” Variablen und der speziellen
Lösung ¯x. Nach Einführung von n − m = |K| echten Parametern λ K ≥ 0 heißt das also
( ) ( ) ( )
x J ¯x J −A −1
J
Ax = b, x ≥ 0 ⇐⇒ x = = +
A K
λ K = ¯x − W K λ K ≥ 0. (2.3.6)
x K 0 K I n−m
Im letzten Schritt wurde die Abkürzung
( ) ( )
A −1
J
A K W (J)
)
K
=:
−I n−m W (K) = W K =
(w i,kj ∈ R n×(n−m) , K = {k 1 , . . . , k n−m },
K
benutzt. Im Simplexverfahren spielt nur der Teil W (J)
K
, vgl. (2.3.2), eine Rolle und das hier
gewählte Vorzeichen führt dort zu einfacheren Regeln. Die Spalten von W K sind wegen I n−m
linear unabhängig und bilden eine Basis von kern(A). In
x 3 ✻
einer Umgebung der Basislösung ¯x sieht die zulässige Menge
✂ X also aus wie ein Kegel aus positiven Linearkombinationen
✂
✂ ✂ der Vektoren −w j . Denn nach (2.3.6) gilt
✂
✁ ✂ ✂ x − ¯x ∈ {− ∑ w j λ j : λ j ≥ 0} und x ∈ R n +.
✁ X x2
j∈K ✂ ✁
✁
✁✁☛ x 1
✟
✟✂
✁ ¯x ✟✟✟✟✟✟
Im Bild befindet sich, von ¯x aus gesehen, der Bereich X ⊆ R 3
in dem angegebenen Kegel, der allerdings an der gepunkteten
Linie den Positivkegel R 3 + verläßt.
Mit den Spalten von W können nun spezielle, von ¯x ausgehende Strahlen (Halbgeraden) in X
beschrieben werden, bei denen genau eine K-Komponente positiv ist. Dazu wird zu festem l ∈ K
und t ∈ R + der elementare Strahl
x(t) := ¯x − tw l
⇐⇒
{
x J (t) = ¯x J − tA −1
J
a l
x k (t) = tδ kl , k ∈ K,
(2.3.7)