Kondo-Effekt in Systemen mit niedriger Ladungsträgerkonzentration

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4 Kapitel 1: Einführung Abbildung 1.1: Widerstand von Au zwischen 1 K und 5 K (aus [9]); aufgetragen ist 10 4 R(T) R(T=0 ◦ C) . Abbildung 1.2: Widerstand von Au zwischen 0.2 K und 1.2 K (aus [10]).
1.3 Das Störstellen-Anderson-Modell 5 gen von Streuzentren ohne Spinfreiheitsgrad waren nämlich nicht in der Lage, die beschriebenen Experimente zu erklären. In [13] ist das s-d-Modell in folgender Form gegeben: H s−d = ∑ ε k c † kσ c kσ + ∑ ( )] J kk ′ [S + c † k↓ c k ′ ↑ + S − c † k↑ c k ′ ↓ + S z c † k↑ c k ′ ↑ − c † k↓ c k ′ ↓ . (1.1) kσ kk ′ Die Operatoren c (†) kσ erzeugen beziehungsweise vernichten ein Leitungselektron mit Impuls k und Spin σ, S + und S − sind die üblichen Leiteroperatoren eines Spins S und S z ist dessen z-Komponente. Häufig wird dieser Hamilton-Operator durch die Wahl J kk ′ ≡ J vereinfacht. Der Widerstand lässt sich durch Untersuchung der Streuung der Leitungselektronen an den Störstellen mit Hilfe der zweiten Bornschen Näherung bestimmen, einer Störungsentwicklung bis zur dritten Ordnung in J. Diese ergibt einen Beitrag zum spezifischen Widerstand ρ(T) der Form const. + const. log T. Diese Beiträge summieren sich zusammen mit dem Widerstand des Ionengitters und dem Widerstand aufgrund des Störstellenpotentials zu folgender phänomenologischen Formel des spezifischen Widerstandes: ρ(T) = aT 5 + c imp ρ 0 − c imp ρ 1 log T . (1.2) Der erste Summand ergibt sich aus der Streuung der Leitungselektronen an den Phononenanregungen des Gitters, der zweite aus der spinunabhängigen Potentialstreuung an den Störstellen und dem temperaturunabhängigen Anteil der spinabhängigen Streuung. Der dritte Summand schließlich, dessen Vorfaktor ρ 1 proportional zu J ist, erklärt das Widerstandsminimum für negative Werte von J 1 . Mit dieser Formel konnte Kondo die gemessenen Widerstandskurven erfolgreich erklären. Doch in Kondos Erklärung gab es immer noch Schwierigkeiten, die später als Kondo- Problem bezeichnet wurden. Denn in der Störungsentwicklung des s-d-Modells treten sowohl im spezifischen Widerstand als auch in allen anderen mit der Bornschen Näherung berechneten Größen logarithmische Terme auf, die für T → 0 divergieren. Dies war insofern nicht zufriedenstellend, als in Experimenten der Widerstand bei immer tieferen Temperaturen gemessen werden konnte und somit klar wurde, dass er nicht divergiert, sondern für T → 0 einen endlichen Wert erreicht. Versuche, dieses Problem durch die selektive Berücksichtigung von Termen höherer Ordnung zu lösen, führten allerdings bei antiferromagnetischem J lediglich zu einer Divergenz bei einer Temperatur T K > 0, der sogenannten Kondo-Temperatur [13]. Zur Lösung des Kondo-Problems wurde infolgedessen nach nichtperturbativen Techniken zur Berechnung dieser Größen gesucht. Eine dieser Techniken ist die von K. G. Wilson entwickelte Numerische Renormierungsgruppenmethode (NRG) [26]. Angewendet auf das Störstellen-Anderson-Modell ist sie ein Hauptbestandteil der vorliegenden Arbeit. 1.3 Das Störstellen-Anderson-Modell Das Störstellen-Anderson-Modell wurde 1961 von P. W. Anderson [1] zur Beschreibung lokalisierter magnetischer Störstellen in Metallen eingeführt. Ziel der Untersuchung dieses 1 In [17] bedeutet J < 0 antiferromagnetische und J > 0 ferromagnetische Kopplung zwischen Leitungselektronen und Störstellenspin, in [13] ist es umgekehrt.
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Anhang A Erläuterung der verwendet
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114 Anhang B: Nebenrechnungen zu Ka
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Anhang C Nebenrechnungen zu Kapitel
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C.1 Details der iterativen Diagonal
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C.1 Details der iterativen Diagonal
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C.2 Details zur numerischen Ableitu
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C.2 Details zur numerischen Ableitu
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C.3 Berechnung der Störstellen-Spe
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Anhang D Ergänzungen zu Kapitel 4
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Literaturverzeichnis [1] Anderson,
Seite 143:
LITERATURVERZEICHNIS 133 [25] Wigge
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