Kondo-Effekt in Systemen mit niedriger Ladungsträgerkonzentration

30 Kapitel 3: Die Numerische Renormierungsgruppen-Methode
gefunden, wenn man zusätzlich vereinbart, dass von jedem H N die jeweilige Grundzustandsenergie
abgezogen wird, also H N eine Grundzustandsenergie von 0 besitzt. Denn für
zwei aufeinanderfolgende Hamilton-Operatoren der Reihe (3.1) gilt dann nach [6] und [18]:
H N+1 = Λ 1 2H N + ∑ (
)]
[ε N+1 c † N+1σ c N+1σ + t N c † Nσ c N+1σ + c † N+1σ c Nσ −E G,N+1 , (3.3)
σ
womit die Abbildung R : H N ↦→ H N+1 die in Kapitel 2.1 vorgestellten Eigenschaften
einer Renormierungsgruppen-Transformation hat. Sie bildet den Hamilton-Operator
{
H N E
N
i , ∣ } i
〉N auf den Hamilton-Operator HN+1
{Ei N+1 , ∣ }
i ab, der die gleiche
〉N+1
Form wie H N hat. Charakterisiert wird H N hier also nicht von einem bestimmten Parametersatz
x, sondern durch seine Eigenenergien und Eigenzustände. Aufgrund des Skalierungsfaktors
Λ N−1
2 sind die Bandbreiten der Eigenenergien von H N und H N+1 ungefähr
gleich groß, was bei der Untersuchung von Fixpunkten viele Vorteile mit sich bringt. Anzumerken
ist aber, dass im Gegensatz zu R 2 die Abbildung R keine Fixpunkte aufweist (siehe
[18]). Jedoch ist mit R natürlich auch R 2 eine Renormierungsgruppen-Transformation, die
}
auf einen anderen Satz von Eigenenergien
{E N+2
i
einen Satz von Eigenenergien { Ei
N
abbildet. Daher werden später auch entweder nur die H N mit geradem N oder nur diejenigen
mit ungeradem N betrachtet, denn nur so sind die Fixpunkte von R 2 klar erkennbar.
Welche Wahl man trifft, ist dabei unerheblich, beide Möglichkeiten liefern vollkommen
äquivalente Ergebnisse. Bei der Berechnung thermodynamischer Größen können mit Hilfe
einer in [6] gezeigten Mittelung alle Iterationsschritte verwertet werden.
}
3.1.2 Diagonalisierung der H N
Durch Definition der Reihe (3.1) und durch Gleichung (3.3) kann man sich nun schrittweise
an die Lösung des Gesamtproblems herantasten, indem man zunächst eine geeignete Basis
definiert, damit die Matrixelemente von H −1 berechnet und so die entsprechenden Eigenenergien
und Eigenzustände bestimmt. Um die Ergebnisse der Diagonalisierung von H −1
nutzen zu können, definiert man anschließend die Basis für H 0 als Produktraum der Basis
von H −1 und der Basis des neu hinzugefügten Platzes der Kette. In dieser ist H −1 diagonal,
so dass der zur Diagonalisierung von H 0 notwendige Aufwand reduziert wird. Hat man H 0
diagonalisiert, definiert man eine Basis für H 1 und fährt so fort. Gemäß dieses Schemas
lassen sich also theoretisch die Eigenenergien und Eigenzustände von Hamilton-Operatoren
H N zu beliebigem N bestimmen.
Um die Größe der zu diagonalisierenden Matrizen zu beschränken, charakterisiert man
die Basiszustände anhand von geeigneten Erhaltungsgrößen des Hamilton-Operators (3.1).
Diese sind analog zu [18] die Ladung ˆQ N = ˆN − N+2
2
– hier ist ˆN der Operator der
Gesamtteilchenzahl – der Gesamtspin Ŝ2 und die z-Komponente des Gesamtspins Ŝz. Es
werden also die Eigenzustände von H N so berechnet, dass sie auch gleichzeitig Eigenzustände
von ˆQ, Ŝ2 und Ŝz sind. Dass der Gesamtspin mit H N vertauscht, muss allerdings
nicht notwendigerweise genutzt werden, prinzipiell reichen die beiden anderen Erhaltungsgrößen
aus (siehe hierzu die Diskussion in [6]). Da der verwendete NRG-Code aber alle drei
Größen verwendet, wird die Diagonalisierung hier so beschrieben, wie sie auch numerisch
durchgeführt wird.