Kondo-Effekt in Systemen mit niedriger Ladungsträgerkonzentration

40 Kapitel 3: Die Numerische Renormierungsgruppen-Methode
der Berechnung darin, einen guten numerischen Ableitungsalgorithmus zu implementieren.
Details zu diesem sind in Anhang C.2 angegeben. Der Wert von γ wird zusammen mit
der Störstellensuszeptibilität benötigt, um das dimensionslose Wilson-Verhältnis (Kapitel
3.2.5) zu bestimmen.
3.2.4 Effektives magnetisches Moment und Suszeptibilität
Die Berechnung der magnetischen Suszeptibilität geht von der Standarddefinition
⎛
∫ β
⎞
χ ≡ (gµ B ) 2 〈 〉 〈 〉
⎝
2 Sz (τ) S z dτ − β Sz ⎠ (3.30)
0
aus, die auch in [6] verwendet wird. Hier ist S z (τ) durch e τH S z e −τH gegeben. Die Erwartungswerte
〈 ... 〉 entsprechen der Definition aus Gleichung (3.12). Da [H,S z ] −
= 0,
vereinfacht sich dieser Ausdruck zu
( 〈S
χ = (gµ B ) 2 〉 〈 〉 )
2 2
β z − Sz . (3.31)
Der zweite Erwartungswert ergibt null, da kein magnetisches Feld anwesend ist und somit
die Vielteilchenenergien nicht von S z abhängen:
〈
Sz
〉
=
1
Z
∑
S∑
Q,S,r S z=−S
〈
Q,S,Sz ,r ∣ ∣e −βH S z
∣ ∣ Q,S,S z ,r 〉 = 1 Z
∑
Q,S,r
e −βE Q,S,r
S∑
S z=−S
S z
} {{ }
=0
= 0 .
(3.32)
Den ersten Erwartungswert in Gleichung (3.31) kann man zunächst auf folgende Form
bringen:
〈
S
2
z
〉
=
1
Z
∑
Q,S,r
e −βE Q,S,r
S∑
S z=−S
S 2 z . (3.33)
Die Summen über S z sind leicht auszuwerten. Für ganzzahlige Werte von S ist ein Blick
in eine Formelsammlung ausreichend:
S∑
S z=−S
S 2 z = 2 S ∑
S z=0
S 2 z
= 2S
(S + 1) (2S + 1)
6
= (2S + 1) (2S + 1)2 − 1
12
. (3.34)
Für halbzahlige Werte von S erhält man das gleiche Ergebnis, indem man die Summe über
Sz 2 folgendermaßen umschreibt:
⎡
⎤
S∑ ∑2S z
( )
Sz 2 = 2⎣
i 2 S−
∑
1 2
− i 2 ⎦
2
S z=−S
i=1 i=1
[
1 2S (2S + 1) (4S + 1)
= 2
− 2S ( S − 1 ) ( )]
2 S +
1
2
4 6
6
= 1 3 S (S + 1) (2S + 1) = (2S + 1) (2S + 1)2 − 1
12
. (3.35)