Kondo-Effekt in Systemen mit niedriger Ladungsträgerkonzentration

Robert Hager
Kondo-Effekt
in Systemen mit niedriger
Ladungsträgerkonzentration
∆(ω )
δ
-1
1
ω
Universität Augsburg

Kondo-Effekt
in Systemen mit niedriger
Ladungsträgerkonzentration
von
Robert Hager
Diplomarbeit zur Erlangung des akademischen Grades
Diplom-Physiker (Univ.)
vorgelegt an der
Universität Augsburg
am 31. Oktober 2007
angefertigt am Lehrstuhl
Theoretische Physik III
Elektronische Korrelationen und Magnetismus
Institut für Physik
Mathematisch-naturwissenschaftliche Fakultät
Universität Augsburg

Ein herzliches Dankeschön gilt all denjenigen, die mir bei der Anfertigung
dieser Diplomarbeit mit Rat und Tat stets hilfreich zur Seite standen.
Insbesondere möchte ich mich bei meinem Betreuer Ralf Bulla und
Hyung-Jung Lee bedanken, die jederzeit bereit waren, sich meinen Fragen
zu stellen. Danke auch an Dieter Vollhardt, der mich im 6. Semester
durch ein Praktikum während der Semesterferien an seinen Lehrstuhl
gelockt hat, und an alle meine Kollegen dort. Auch mein Kommilitone
Peter Siegle hatte stets ein offenes Ohr, wenn ich vor Problemen stand.
Eine große Hilfe war Armin Stempfle, der mit seinen L A TEX-Kenntnissen
die äußere Erscheinung meiner Diplomarbeit entscheidend geprägt hat.

Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
III
1 Einführung 1
1.1 Bedeutung von Störstellen-Modellen in der Festkörperphysik . . . . . . . . . 1
1.2 Eine kurze Geschichte des Kondo-Effekts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Das Störstellen-Anderson-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Verbindung zur realen Welt – eine Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Erläuterung der verwendeten Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Vorbereitung der NRG 13
2.1 Renormierungsgruppen-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Logarithmische Diskretisierung des Leitungsbandes . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Transformation von H bath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2 Transformation von H imp−bath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Abbildung auf die halbunendliche Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Die Numerische Renormierungsgruppen-Methode 29
3.1 Iterative Diagonalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 Renormierungsgruppen-Transformation des Störstellen-Anderson-
Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 Diagonalisierung der H N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Berechnung der untersuchten Größen mit Hilfe der NRG . . . . . . . . . . . 33
3.2.1 Grundkonzept der thermodynamischen Berechnungen . . . . . . . . 33
III

IV
INHALTSVERZEICHNIS
3.2.2 Freie Energie, Entropie und Kondo-Temperatur . . . . . . . . . . . . 35
3.2.3 Wärmekapazität und Koeffizient der spezifischen Wärme . . . . . . . 39
3.2.4 Effektives magnetisches Moment und Suszeptibilität . . . . . . . . . 40
3.2.5 Das Wilson-Verhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.6 Die Störstellen-Spektralfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Ergebnisse der NRG 49
4.1 Überprüfung der Kettenparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.1 Vorstellung der verwendeten Hybridisierungsfunktionen . . . . . . . 49
4.1.2 Nicht-verschobenes Leitungsband (δ = 0) . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.3 Verschobenes Leitungsband (δ > 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Physikalische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.1 Entropie und Kondo-Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.2 Koeffizient der spezifischen Wärme, magnetisches Moment und
Wilson-Verhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.3 Ergebnisse für die Störstellen-Spektralfunktion . . . . . . . . . . . . 80
5 Alternative Methoden 87
5.1 Poor Man’s Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.1 Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.2 Anwendung auf ein verschobenes Leitungsband . . . . . . . . . . . . 89
5.2 Renormierte Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.1 Idee der renormierten Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.2 Berechnung der renormierten Parameter für das Störstellen-
Anderson-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.3 Ergebnisse der renormierten Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . 98
6 Zusammenfassung und Bewertung der Ergebnisse 103
A Erläuterung der verwendeten Einheiten 107

INHALTSVERZEICHNIS
V
B Nebenrechnungen zu Kapitel 2 111
B.1 Berechnung der Dispersion g (ε) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
B.2 Abbildung auf die halbunendliche Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
B.3 Wellenpakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
C Nebenrechnungen zu Kapitel 3 117
C.1 Details der iterativen Diagonalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
C.2 Details zur numerischen Ableitung und Interpolation . . . . . . . . . . . . . 122
C.2.1 Lagrange-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
C.2.2 Anwendung der Lagrange-Interpolation: Numerische Ableitung . . . 124
C.2.3 Anwendung auf die Thermodynamik des Störstellen-Anderson-
Modells und Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
C.3 Berechnung der Störstellen-Spektralfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
D Ergänzungen zu Kapitel 4 129
Literaturverzeichnis 131

Kapitel 1
Einführung
Um diese Arbeit in den richtigen Zusammenhang zu stellen, werden vor der Behandlung
ihrer eigentlichen Aufgabenstellung noch einige allgemeinere Themen angesprochen. Der
große physikalische Rahmen, in dem die Behandlung des Kondo-Effekts steht, ist die Physik
von Störstellen. Ihre Bedeutung soll daher zuerst erläutert werden. Es folgt ein kleiner
Rückblick auf die Geschichte des Kondo-Effekts und des Kondo-Problems und auf die
ersten Schritte zur Lösung desselben. Die Einleitung schließen eine experimentelle Motivation
der vorliegenden theoretischen Untersuchung sowie eine Diskussion der verwendeten
Maßeinheiten ab.
1.1 Bedeutung von Störstellen-Modellen in der Festkörperphysik
Störstellen oder Unreinheiten sind in der Festkörperphysik ein alltägliches Phänomen, dem
man sich kaum entziehen kann. Egal ob man mit unvermeidbaren Verunreinigungen in Proben
oder mit gezielt eingebrachten Störstellen konfrontiert ist, man muss um ihre Auswirkungen
auf die Eigenschaften des reinen Systems wissen. Kleine Verunreinigungen bewirken
unter Umständen nur leichte Abweichungen von den Eigenschaften des reinen Systems, sie
können aber auch das Verhalten des Systems vollständig verändern und neue Effekte erzeugen.
Nach Beispielen für beide Fälle muss man nicht lange suchen.
Schon zu Beginn des 20. Jahrhunderts beschäftigte das Verhalten des elektrischen Widerstands
von Metallen viele Physiker [3]. Es existierten verschiedene Meinungen, was der
Grenzwert für Temperaturen nahe des absoluten Nullpunkts sei. Der Widerstand reiner
Proben könnte für T → 0 gegen 0 streben oder aber gegen einen endlichen Wert größer als
null. Er könnte allerdings auch ein Minimum durchlaufen um anschließend zu divergieren.
Da solch tiefe Temperaturen, bei denen Experimente sichere Rückschlüsse auf das Tieftemperaturverhalten
des Widerstands zulassen, lange Zeit im Labor nicht erzeugt werden
konnten, blieb die Frage ungeklärt bis Heike Kammerlingh Onnes an der Universität Leiden
die Heliumverflüssigung bei 4.2 K gelang. Forscher konnten in Folge dieser Entwicklung in
immer tiefere Temperaturbereiche vorstoßen und auch den elektrischen Widerstand weiter
1

2 Kapitel 1: Einführung
untersuchen. Die prominenteste Entdeckung, die durch die Heliumverflüssigung möglich
wurde, ist sicherlich die Supraleitung.
Heute ist das Wissen über das Tieftemperaturverhalten von Festkörpern natürlich viel umfangreicher.
So würde der Widerstand einer absolut reinen Probe eines Metalls – die man
in der Realität niemals herstellen kann – tatsächlich bei Annäherung an den Temperaturnullpunkt
gegen null streben. Da man aber immer mit unvermeidbaren Verunreinigungen
in der Probenherstellung zu kämpfen hat, kann man das experimentell nur näherungsweise
beobachten. Der Einfluss der Störstellen äußert sich im Auftreten eines konstanten
Restwiderstands bei T = 0 K.
Auch das Auftreten eines Widerstandsminimums – dessen Erklärung später J. Kondo lieferte
(Kapitel 1.2) – wurde Anfang der dreißiger Jahre des 20. Jahrhunderts erstmals in
nichtmagnetischen, verunreinigten Metallen nachgewiesen (beispielsweise 1934 in [9]). Diese
Messungen sind in Abbildung 1.1 zu sehen. Die Divergenz, die dem Minimum folgen
sollte, konnte jedoch nicht bestätigt werden. Vielmehr zeigte sich, dass der Widerstand
auch in diesem Fall gegen einen endlichen Wert tendiert.
Dies ist bei weitem nicht das einzige Beispiel für die Wichtigkeit der Störstellenphysik. Auch
und gerade in der Halbleiterphysik kommt den durch Dotierung mit Fremdatomen gezielt
eingebrachten Verunreinigungen eine tragende Rolle zu. Für die Herstellung von Halbleiterbauelementen
ist es enorm wichtig, Materialparameter wie die Ladungsträgerkonzentration
und damit auch die Leitfähigkeit kontrollieren zu können. Heutige Mikrochips wären ohne
das Verständnis der Physik von Störstellen nicht denkbar, und auch mögliche Quanten-
Computer hängen stark vom Verhalten von Störstellen ab, die als Quanten-Bits agieren
sollen.
Nicht zu vergessen ist natürlich die Bedeutung von Störstellen-Modellen für die Dynamische-Molekularfeld-Theorie
(DMFT). Lösungsmethoden für Störstellen-Modelle wie die
Quanten-Monte-Carlo-Simulation (QMC) und die numerische Renormierungsgruppen-
Methode (NRG) sind ein wichtiger Bestandteil der Anwendung dieser Theorie. Der
Grundgedanke der DMFT ist es, die Korrelationsterme auf allen Gitterplätzen mit Ausnahme
eines einzigen Platzes durch eine Selbstenergie zu ersetzen. Diese Abbildung führt
also auf ein effektives Störstellen-Modell, welches mit einem sogenannten Impurity-Solver
wie der NRG gelöst werden muss. So erhält man allerdings nur theoretisch die Lösung
des Gitterproblems, da man ja die korrekte Selbstenergie kennen muss, bevor man die
Abbildung auf das effektive Störstellen-Modell vornehmen kann. Diese ist aber nicht
bekannt, weshalb die DMFT noch eine Selbstkonsistenzbedingung benötigt. Man beginnt
also mit einer guten Schätzung der Selbstenergie, löst das resultierende Störstellenproblem,
erhält daraus eine neue Selbstenergie und nutzt diese dann als Eingabegröße für
die erneute Reduzierung des Gitterproblems. Dies wiederholt man so lange, bis sich die
Selbstenergie des Problems bei einer vorher festgelegten Genauigkeit nicht mehr ändert.
Aus der Selbstenergie lassen sich anschließend die Greensfunktion des Problems und damit
weitere Größen berechnen.
Die korrekte Beschreibung von Störstellen ist in der Festkörperphysik also von großer Wichtigkeit.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit einem speziellen Modellsystem, dem
Störstellen-Anderson-Modell, das in der Lage ist, den oben erwähnten Kondo-Effekt mit
vergleichsweise einfachen Mitteln zu erklären.

1.2 Eine kurze Geschichte des Kondo-Effekts 3
1.2 Eine kurze Geschichte des Kondo-Effekts
Ein Minimum des spezifischen Widerstands wurde seit seiner Entdeckung in Gold durch
de Haas et al. [9] auch bei vielen weiteren Materialien gefunden. Diese weisen Gemeinsamkeiten
auf, weshalb sie unter der Bezeichnung „dilute magnetic alloys“ , also verdünnte magnetische
Legierungen, zusammengefasst werden. Der Hauptbestandteil dieser Legierungen
ist ein nicht-magnetisches Metall wie zum Beispiel Kupfer, Silber oder Gold. Beigemischt
ist in einer kleinen Konzentration ein magnetisches Metall wie Chrom oder Eisen.
De Haas und seine Koautoren wiesen in ihrer Arbeit von 1934 [9] sogar explizit darauf
hin, dass die von ihnen untersuchte Gold-Probe „nicht sehr rein“ (engl.: „not very pure“)
sei. Die Verunreinigung wurde mit einem Anteil von weniger als 10 −4 % angegeben. Die
Ergebnisse der durchgeführten Messungen – Abbildung 1.1 zeigt die veröffentlichten Daten
– sind klar, sie weisen ein Minimum des Widerstands bei ungefähr 3.7 K auf. Da die tiefste
gemessene Temperatur immerhin noch circa 1.6 K betrug, folgte 1938 eine Veröffentlichung
derselben Autoren [10], die die Widerstandsmessungen an Au bis 0.2 K ausdehnte. Der
tiefere Grund für das Auftreten des Widerstandsminimums war de Haas zum damaligen
Zeitpunkt nicht bekannt. Es war auf Basis der vorhandenen Theorien nicht erklärbar.
Betrachtet man Abbildung 1.2, in der ein starker Anstieg von R(T) zu erkennen ist, so
ist es auch verständlich, warum er und seine Kollegen zu der nach heutigem Wissensstand
falschen Annahme gelangten, dass der Widerstand für T → 0 divergieren sollte.
Noch fast dreißig weitere Jahre vergingen, bis Jun Kondo 1964 in seiner Arbeit „Resistance
Minimum in Dilute Magnetic Alloys“ [17] eine Erklärung des Minimums lieferte. Zuvor
mussten allerdings noch einige Erkenntnisse gewonnen werden. Beispielsweise stellten B.
Knook und G. J. van den Berg 1960 fest, dass das Auftreten des Widerstandsminimums in
nichtmagnetischen Metallen durch das Vorhandensein von Verunreinigungen bedingt wird
[15]. Weiterhin zeigte sich, dass die Lage und Form des Minimums von der Konzentration
der Verunreinigungen abhängt und dass die magnetische Suszeptibilität immer dann
Curie-Verhalten (χ ∼ 1 T
) zeigt, wenn man auch ein Minimum des Widerstands beobachtet
[17]. Gehorcht χ(T) einem Curie-Gesetz, ist dies ein deutliches Anzeichen für die Existenz
lokalisierter magnetischer Momente. Zwei experimentelle Befunde bildeten Kondos
Ausgangspunkt. Die Temperatur T min , bei der das Widerstandsminimum auftritt, hängt
von der Konzentration c imp der Verunreinigungen nur schwach mit c 1/5
imp
ab. Meist liegt
T min zwischen 10 und 20 K, einer Temperatur viel größer als die Austauschwechselwirkung
zwischen den lokalisierten Spins der Störstellen. Weiterhin zeigten die verfügbaren
experimentellen Daten, dass die relative Tiefe des Minimums – also ρ(T=0)−ρ(T min)
ρ(T=0)
– von
der Störstellenkonzentration unabhängig war. Daraus folgerte er, dass die Wechselwirkung
der Verunreinigungen mit den Leitungselektronen das Widerstandsminimum hervorrufen
musste und nicht etwa eine Wechselwirkung der Störstellen untereinander.
Zur Berechnung des Widerstands nutzte Kondo das s-d-Modell, heute auch als Kondo-
Modell bezeichnet, das die Wechselwirkung eines nicht-wechselwirkenden Elektronensystems
mit einem einzelnen Spin beschreibt. Das Besondere daran ist, dass in diesem Modell
der Spinfreiheitsgrad der Streuzentren ausdrücklich mit berücksichtigt wird. Untersuchun-

4 Kapitel 1: Einführung
Abbildung 1.1: Widerstand von Au zwischen 1 K und 5 K (aus [9]); aufgetragen ist
10 4 R(T)
R(T=0 ◦ C) .
Abbildung 1.2: Widerstand von Au zwischen 0.2 K und 1.2 K (aus [10]).

1.3 Das Störstellen-Anderson-Modell 5
gen von Streuzentren ohne Spinfreiheitsgrad waren nämlich nicht in der Lage, die beschriebenen
Experimente zu erklären. In [13] ist das s-d-Modell in folgender Form gegeben:
H s−d = ∑ ε k c † kσ c kσ + ∑ (
)]
J kk ′
[S + c † k↓ c k ′ ↑ + S − c † k↑ c k ′ ↓ + S z c † k↑ c k ′ ↑ − c † k↓ c k ′ ↓ . (1.1)
kσ
kk ′
Die Operatoren c (†)
kσ
erzeugen beziehungsweise vernichten ein Leitungselektron mit Impuls k
und Spin σ, S + und S − sind die üblichen Leiteroperatoren eines Spins S und S z ist dessen
z-Komponente. Häufig wird dieser Hamilton-Operator durch die Wahl J kk ′ ≡ J vereinfacht.
Der Widerstand lässt sich durch Untersuchung der Streuung der Leitungselektronen an den
Störstellen mit Hilfe der zweiten Bornschen Näherung bestimmen, einer Störungsentwicklung
bis zur dritten Ordnung in J. Diese ergibt einen Beitrag zum spezifischen Widerstand
ρ(T) der Form const. + const. log T. Diese Beiträge summieren sich zusammen mit dem
Widerstand des Ionengitters und dem Widerstand aufgrund des Störstellenpotentials zu
folgender phänomenologischen Formel des spezifischen Widerstandes:
ρ(T) = aT 5 + c imp ρ 0 − c imp ρ 1 log T . (1.2)
Der erste Summand ergibt sich aus der Streuung der Leitungselektronen an den Phononenanregungen
des Gitters, der zweite aus der spinunabhängigen Potentialstreuung an
den Störstellen und dem temperaturunabhängigen Anteil der spinabhängigen Streuung.
Der dritte Summand schließlich, dessen Vorfaktor ρ 1 proportional zu J ist, erklärt das
Widerstandsminimum für negative Werte von J 1 . Mit dieser Formel konnte Kondo die
gemessenen Widerstandskurven erfolgreich erklären.
Doch in Kondos Erklärung gab es immer noch Schwierigkeiten, die später als Kondo-
Problem bezeichnet wurden. Denn in der Störungsentwicklung des s-d-Modells treten sowohl
im spezifischen Widerstand als auch in allen anderen mit der Bornschen Näherung
berechneten Größen logarithmische Terme auf, die für T → 0 divergieren. Dies war insofern
nicht zufriedenstellend, als in Experimenten der Widerstand bei immer tieferen Temperaturen
gemessen werden konnte und somit klar wurde, dass er nicht divergiert, sondern
für T → 0 einen endlichen Wert erreicht. Versuche, dieses Problem durch die selektive
Berücksichtigung von Termen höherer Ordnung zu lösen, führten allerdings bei antiferromagnetischem
J lediglich zu einer Divergenz bei einer Temperatur T K > 0, der sogenannten
Kondo-Temperatur [13]. Zur Lösung des Kondo-Problems wurde infolgedessen nach nichtperturbativen
Techniken zur Berechnung dieser Größen gesucht. Eine dieser Techniken ist
die von K. G. Wilson entwickelte Numerische Renormierungsgruppenmethode (NRG) [26].
Angewendet auf das Störstellen-Anderson-Modell ist sie ein Hauptbestandteil der vorliegenden
Arbeit.
1.3 Das Störstellen-Anderson-Modell
Das Störstellen-Anderson-Modell wurde 1961 von P. W. Anderson [1] zur Beschreibung
lokalisierter magnetischer Störstellen in Metallen eingeführt. Ziel der Untersuchung dieses
1 In [17] bedeutet J < 0 antiferromagnetische und J > 0 ferromagnetische Kopplung zwischen Leitungselektronen
und Störstellenspin, in [13] ist es umgekehrt.

6 Kapitel 1: Einführung
Hamilton-Operators war es, die Bedingungen zu erforschen, die vorliegen müssen, damit
die gelösten Ionen – also die Störstellen – in der verdünnten magnetischen Legierung lokalisierte
magnetische Momente aufweisen. Da Andersons Modell später zum Beispiel im
Zusammenspiel mit der NRG die dem Kondo-Effekt zugrunde liegende Physik sehr gut
erklären konnte, war diese Forschungsarbeit ein großer Schritt vorwärts.
Der zentrale Punkt in Andersons Argumentation ist die Wechselwirkung, die letztlich zur
Ausbildung eines magnetischen Zustands in den Verunreinigungsatomen führen kann. Ausgehend
von der Annahme, dass sich die für den Magnetismus in Frage kommenden Elektronen
– d- oder f-Elektronen der gelösten Ionen – in einer inneren Elektronenschale befinden
und ihre Wellenfunktionen orthogonal zu den Wannier-Funktionen der Leitungselektronen
seien, führt er die Coulomb-Abstoßung zweier Elektronen, die eben diese Zustände besetzen,
explizit in seinen Modell-Hamilton-Operator ein. Dies ist insofern nachzuvollziehen,
als Elektronen in diesen inneren Schalen stark an der Störstelle lokalisiert sind und somit
eine weit größere elektrostatische Abstoßung erfahren als zwei frei bewegliche Elektronen
des Leitungsbandes, die sich stets ausweichen können. Der von Anderson in Hartree-Fock-
Näherung untersuchte Hamilton-Operator bildet den Ausgangspunkt dieser Arbeit:
H SIAM = H imp + H bath + H imp−bath . (1.3)
Die Abkürzung SIAM steht für den im Englischen gebräuchlichen Namen des Modells,
„Single-Impurity Anderson Model“. Die einzelnen Anteile von H SIAM sind gegeben durch:
H imp = ∑ σ
ε f f † σf σ + Uf † ↑ f ↑f † ↓ f ↓ ,
H bath = ∑ kσ
H imp−bath = ∑ kσ
ε k c † kσ c kσ ,
V k
(f † σ c kσ + c † kσ f σ
)
. (1.4)
Hierbei erzeugen beziehungsweise vernichten die Operatoren c (†)
kσ
ein Elektron im Leitungsband
mit Spin σ und Energie ε k , die Operatoren f σ
(†) hingegen erzeugen oder vernichten
ein Elektron an der Störstelle. Der Parameter U quantifiziert die Coulombwechselwirkung
zwischen zwei Teilchen entgegengesetzten Spins, die sich beide an der Störstelle befinden.
Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren gehorchen den fermionischen Standardvertauschungsrelationen.
Anderson gibt zur Erklärung der Herkunft des Abstoßungsterms
auch eine Bestimmungsgleichung für U an:
∫ ∣∣φd
U = (r 1 ) ∣ 2∣ ∣ φd (r 2 ) ∣ 2 e 2
∣
∣ r1 − r 2 d 3 r 1 d 3 r 2 . (1.5)
Die Integration erfolgt über den gesamten Raum. Die Wellenfunktion φ d ist die eines Elektrons
in einer inneren Schale der Störstelle. Damit ist die Verbindung des Wechselwirkungsterms
in H imp zur Coulomb-Wechselwirkung hergestellt. In den folgenden Kapiteln ist U
jedoch lediglich ein Parameter, der nicht an spezielle Atome angepasst ist. Der Störstellenanteil
des Hamilton-Operators besteht damit insgesamt aus einem Platz mit Energie

1.3 Das Störstellen-Anderson-Modell 7
Störstelle
U
ε f
V
Leitungsband
Abbildung 1.3: Schematische Darstellung des Störstellen-Anderson-Modells.
ε f , der mit zwei Teilchen besetzt werden kann, und der elektrostatischen Abstoßung, die
nur dann einen Beitrag zur Energie eines Zustandes liefert, wenn das Störstellenniveau
doppelt besetzt ist. Der zweite Term H bath steht für die Elektronen im Leitungsband.
Sie werden durch ein System nicht-wechselwirkender Elektronen mit Dispersionsrelation
ε k beschrieben, was sich zur Erklärung des beobachteten Magnetismus auch als vollkommen
ausreichend erweist. Der letzte Term in Andersons Modell ist die Hybridisierung von
Leitungs- und Störstellenelektronen H imp−bath . Er koppelt die Zustände der Störstelle an
die Zustände des Leitungsbandes. Die Stärke dieser Kopplung kann explizit vom Impuls k
abhängen. Häufig wird aber vereinfachend V k ≡ V angenommen. Anschaulich ermöglicht
dieser Term ein Hüpfen von Elektronen zwischen Verunreinigungsatom und Leitungsband.
Anderson rechtfertigt in [1] die Behandlung der Störstelle als lokalisierten Zustand anstatt
als einfaches Streupotential, das auf das freie Elektronensystem wirkt, damit, dass
die Korrelationseffekte des U-Terms und des Hybridisierungsterms eine wesentlich größere
Auswirkung auf das Störstellenniveau haben als auf das Leitungsband. Dieses Argument
ist anschaulich leicht einzusehen, da das Leitungsband ein sehr viel größeres System darstellt
als die Störstelle. Die schematische Darstellung des Anderson-Modells in Abbildung
1.3 macht diese Situation deutlich. Wegen der Mobilität der Leitungselektronen kann sich
die Wechselwirkung mit den lokalisierten Zuständen auf das gesamte Leitungsband und
damit auf sehr viele Freiheitsgrade verteilen, während die Verunreinigung lediglich die vier
Zustände ∣ ∣ 0
〉
,
∣ ∣ ↑
〉
,
∣ ∣ ↓
〉
und
∣ ∣ ↑↓
〉
einnehmen kann. Demnach ist die Wechselwirkung
für das Leitungsband bezogen auf ein Leitungselektron im Impulsraum klein. Im Ortsraum
ergibt sich auch für die Leitungselektronen ein großer Effekt, jedoch nur solange sie sich in
unmittelbarer Nähe zur Störstelle befinden.
Um mit dem Modell (1.3) etwas vertrauter zu werden, ist es hilfreich, einige einfache Überlegungen
anzustellen. Zunächst sollte man eine Vorstellung davon gewinnen, wie die in
H SIAM enthaltenen Wechselwirkungen die Ausbildung eines freien magnetischen Moments

8 Kapitel 1: Einführung
der Störstelle begünstigen beziehungsweise dieses zerstören. Außerdem lassen sich drei einfache
Grenzfälle des Modells intuitiv verstehen. Hier sollen nun P. W. Andersons Gedanken
kurz erläutert werden. Die Störstelle kann mit maximal zwei Elektronen besetzt werden.
Bei einfacher Besetzung trägt sie den Anteil ε f zur Gesamtenergie des Systems bei. Wegen
der Coulomb-Abstoßung U ist dieser Anteil bei Doppeltbesetzung nicht einfach 2ε f , sondern
2ε f +U. Liegt nun ε f unter der Fermikante und 2ε f +U darüber, sorgt also der U-Term
dafür, dass die Störstelle bei nicht zu hohen Temperaturen höchstens einfach besetzt ist
und damit prinzipiell ein magnetisches Moment haben könnte. Die Hybridisierung mit dem
Leitungsband wirkt dem Coulomb-Term dadurch entgegen, dass sie die Fluktutation des
Spins eines Störstellen-Elektrons ermöglicht und so ein eventuelles magnetisches Moment
unterdrückt. Diese Fluktuationen werden verständlicherweise umso stärker, je größer die
Zustandsdichte des Leitungsbandes ist. Damit ist klar, dass die Stärke der Hybridisierung
und die Zustandsdichte der Leitungselektronen entscheidenden Einfluss auf die Ausbildung
lokalisierter magnetischer Momente haben. Es ist dann das Zusammenspiel aller Modellparameter,
das das tatsächliche Verhalten des Systems bestimmt.
Nachdem nun der Einfluss der einzelnen Terme von (1.3) geklärt ist, hilft es, drei Grenzfälle
des Systems zu untersuchen. Diese sind
a) der Free-Orbital-Grenzfall (FO),
b) der Local-Moment-Grenzfall (LM) und
c) der Strong-Coupling-Grenzfall (SC).
Der FO-Grenzfall liegt vor, wenn man sowohl U = 0 als auch V = 0 wählt. Nun stellt
die Störstelle lediglich ein freies Orbital mit Energie ε f zusätzlich zum Leitungsband dar.
Eine Wechselwirkung existiert hier nicht. Den LM-Grenzfall erhält man bei sehr kleinem V
und gleichzeitig sehr großem U. Liegt ε f unter der Fermienergie ε F , dann ist die Störstelle
mit einem Elektron mit Spin σ besetzt, da die Gesamtenergie bei Doppeltbesetzung mit
2ε f +U weit über der Fermikante liegt. Die Hybridisierung ist nicht stark genug, um durch
Spinfluktuationen die Ausbildung eines magnetischen Moments des Störstellen-Elektrons
zu unterbinden. Ist hingegen V ≫ U, so sorgt die starke Hybridisierung dafür, dass die
Störstelle kein magnetisches Moment entwickeln kann.
H. R. Krishna-murthy et al. [18] und K. G. Wilson [26] fanden mit Hilfe der NRG heraus,
dass sich das Anderson-Modell abhängig von der Temperatur ähnlich wie diese Grenzfälle
verhält und schließlich für T → 0 dem Strong-Coupling-Grenzfall entspricht. Startet man
von T > 0 und dem FO-Verhalten und senkt dann die Temperatur, so beobachtet man je
nach Wahl der Modellparameter zunächst einen Übergang zum LM-Verhalten mit anschließendem
Übergang zum SC-Grenzfall bei der Kondo-Temperatur T K – in diesem Fall zeigt
das System Kondo-Verhalten – oder einen direkten Übergang vom FO- zum SC-Grenzfall.
Die obigen Überlegungen Andersons konnten skizzieren, unter welchen Bedingungen die
Störstelle in Wechselwirkung mit dem Elektronenbad magnetisch wird. Die Ergebnisse seiner
Berechnungen sind in den Abbildungen 1.4 und 1.5 illustriert. Abbildung 1.5 zeigt ein
Phasendiagramm der Störstelle. Auf der x-Achse ist das mit π multiplizierte Verhältnis
zwischen Hybridisierung ∆ – bei Anderson definiert als ∆ = π 〈 V 2〉 ρ(ε) – und Coulomb-
Abstoßung U (y = ∆ U ), auf der y-Achse ist der Parameter x = ε F −ε f
U
aufgetragen. Die

1.4 Verbindung zur realen Welt – eine Motivation 9
Abbildung 1.4: Besetzung des Störstellenniveaus
aus P. W. Andersons selbstkonsistenter
Hartree-Fock-Rechnung
(aus [1]), oben: x = ε F −ε f
U
= 1 2 , unten:
x = 1 4 , y = ∆ U .
Abbildung 1.5: Übergangskurve zwischen
magnetischem und nichtmagnetischem
Zustand in Abhängigkeit der Parameter
y und x (aus [1]).
Besetzung der Störstelle ist hingegen in Abbildung 1.4 gezeigt. Man erkennt, dass ab einem
gewissen Wert von y die Besetzungen für beide Spinrichtungen gleich sind und somit
kein Magnetismus auftreten kann. Allerdings ist hier anzumerken, dass die ungleichmäßige
Besetzung der Störstelle mit den einzelnen Spinrichtungen ein Artefakt der von Anderson
verwendeten Hartree-Fock-Näherung sind. Das tatsächliche Verhalten des Systems ist etwas
komplizierter. In Abwesenheit eines Magnetfelds sollte die Spinrichtung ja eigentlich
keine Rolle spielen.
1.4 Verbindung zur realen Welt – eine Motivation
Bisher wurde lediglich Basiswissen vermittelt, das langsam an das eigentliche Thema dieser
Diplomarbeit heranführen soll. Im folgenden wird der Kondo-Effekt in Systemen mit niedriger
Ladungsträgerkonzentration anhand des Anderson-Modells (1.3) untersucht. Dies hat
mehrere Gründe. Zum einen wurde dieser Aspekt bisher nicht ausführlich erforscht, zum
anderen wurden von Wigger et al. [25] ein Experimente vorgestellt, die genau die Frage
nach dem Einfluss der Füllung des Leitungsbandes auf das Verhalten von Verunreinigungen
aufwerfen.
Wigger et al. fanden experimentell in mit Uran dotiertem CaB 6 typisches Kondoverhalten
mit einer Kondotemperatur T K ≃ 1.9 K und einem Widerstandsminimum bei T min ≃ 17 K

10 Kapitel 1: Einführung
Abbildung 1.6: Spezifischer Widerstand von Ca 0.992 U 0.008 B 6 in Abhängigkeit von der Temperatur,
oberer Inset: Ausschnittsvergrößerung, unterer Inset: Spezifischer Widerstand gegen
T 2 (aus [25]).
[25]. Abbildung 1.6 zeigt den spezifischen Widerstand einer Probe der Zusammensetzung
Ca 0.992 U 0.008 B 6 . Dies erschien den Autoren ungewöhnlich, gingen sie doch davon aus, dass
die 5f-Valenz-Zustände von Uran sehr viel stärker mit dem Leitungsband ihres Wirtsmetalls
hybridisieren als die 4f-Zustände von Cer. Durch diese Wechselwirkung mit den
Leitungselektronen verlieren die Uranstörstellen aber ihren lokalisierten Charakter und
können keinen Kondo-Effekt induzieren. Unterstützt wird diese These durch die Beobachtung
von Kondo-Verhalten in mit Cer dotiertem LaB 6 mit T K ≃ 1.1 K und T min ≃ 20 K
(siehe [27]). Dotiert man LaB 6 hingegen mit U statt mit Ce, findet man keine Hinweise
auf Kondo-Verhalten.
Worin besteht nun der Unterschied zwischen den beiden Hexaboriden LaB 6 und CaB 6 ?
Von LaB 6 ist seit langem bekannt, dass es metallisch ist [14], wohingegen CaB 6 ein direkter
Halbleiter mit einer Bandlücke von ungefähr 1 eV ist [11]. Damit ergibt sich leicht eine
Erklärung der gemessenen Daten. Die im Vergleich zu einem Metall drastisch reduzierte
Ladungsträgerdichte im Leitungsband eines Halbleiters bewirkt, dass die eigentlich starke
Hybridisierung der Uran-5f-Orbitale mit dem Leitungsband abgeschwächt wird, so dass
die Störstellen Kondo-Verhalten induzieren können. Diese Vorstellung ist wohl von Überlegungen
Nozières geleitet [21], wonach in realen Systemen mit einer im Vergleich zu den
mobilen Ladungsträgern hohen Konzentration von Störstellen der Abschirmmechanismus,
der in der Theorie zum LM-SC-Übergang führt, ineffektiver wird. Diese Phänomen wird
als Exhaustion-Effekt bezeichnet.
Bezogen auf das Störstellen-Anderson-Modell kann man den beschriebenen Sachverhalt
wie folgt interpretieren. Die starke Hybridisierung zwischen Leitungselektronen und Uran-
Atomen übersetzt sich direkt in einen relativ großen Wert der V k in (1.3). Nach Kapitel 1.3
bedeutet das eine Unterdrückung des Kondo-Verhaltens und ein hohes T K , da der Übergang

1.5 Erläuterung der verwendeten Einheiten 11
zum SC-Verhalten früher erfolgt. In diesem Fall erkennt man in den Messgrößen keinerlei
Hinweise auf den Kondo-Effekt, da im entsprechenden Temperaturbereich andere Effekte
bestimmend sind. Dem wirkt die Verringerung der Füllung des Leitungsbandes entgegen,
die T K senkt und so die Bildung lokalisierter magnetischer Momente ermöglicht. Jedoch
kann Nozières Exhaustion-Szenario nicht direkt auf das Störstellen-Anderson-Modell angewendet
werden. Im Gegensatz zum periodischen Anderson-Modell, in dem es nicht nur
eine Störstelle gibt, sondern ein Gitter aus Störstellen, koppelt die Störstelle – so lange
das Leitungsband nicht leer ist – immer an unendlich viele besetzte Leitungsbandzustände
und diese umgekehrt an nur einen Freiheitsgrad.
In den folgenden Kapiteln wird zunächst untersucht, welche Veränderungen sich in der Anwendung
der NRG auf das Störstellen-Anderson-Modell im untersuchten Fall ergeben. Die
Ergebnisse werden anschließend auf ihre Plausibilität hin überprüft. Nach der erfolgreichen
Modifizierung der NRG folgt deren Anwendung auf verschiedene Sätze von Modellparametern.
Berechnet werden unter anderem Störstellen-Entropie, Kondo-Temperatur und
Störstellen-Spektralfunktion. Teilweise lassen sich diese mit anderen Methoden untersuchen,
die die Ergebnisse der NRG zu bestätigen scheinen. Das erhoffte Resultat all dieser
Untersuchungen ist der Nachweis, dass die Variation der Füllung des Leitungsbandes von
Halbfüllung bis hin zum beinahe leeren Band ein System, das zunächst keine lokalen Momente
zeigt, ins Kondo-Regime treibt. Ob dies tatsächlich so ist, wird sich in den folgenden
Kapiteln herausstellen. Abschließend werden alle hier gezeigten Ergebnisse noch einmal zusammenhängend
beurteilt.
1.5 Erläuterung der verwendeten Einheiten
In die Rechnungen dieser Untersuchung und deren Ergebnisse fließen einige Konventionen
ein, die zum besseren Verständnis der folgenden Kapitel nun kurz erläutert werden sollen.
Um die explizite Berücksichtigung der Fermienergie zu vermeiden, werden ab hier alle in
Gleichung (1.3) auftretenden Energien von der Fermikante aus gemessen. Dies hat zur
Folge, dass stets ε F = 0:
ε −→ ε − ε F . (1.6)
Zusätzlich werden alle Energien durch die halbe Breite des Leitungsbandes D geteilt und
das Plancksche Wirkungsquantum ħ sowie die Boltzmann-Konstante k B auf 1 skaliert. Damit
ergeben sich verständlicherweise weitreichende Änderungen für das gesamte verwendete
Einheitensystem. Zum Beispiel sind Temperatur, Frequenz und Energie einheitenlos und
damit äquivalent. Die Skalierung der Frequenz ist natürlich gleichzusetzen mit einer Skalierung
der Zeit. Dadurch müssen auch alle Geschwindigkeiten und die Masse umgerechnet
werden, und auch die elektromagnetischen Größen werden beeinflusst. Es ist daher wichtig,
den Zusammenhang zwischen den hier verwendeten Einheiten mit dem SI-System zu verstehen,
um die errechneten Zahlenwerte, insbesondere die Werte für die Kondo-Temperatur,
richtig einordnen zu können. Eine ausführliche Diskussion des Problems ist in Anhang A
zu finden. Hier sollen lediglich die dort erhaltenen Ergebnisse zusammengefasst werden.
Tabelle 1.1 zeigt die Umrechnungsfaktoren für alle in dieser Arbeit wichtigen Größen. SI-
Einheiten erhalten in den folgenden Gleichungen den Index „SI“ als Super- oder Subskript,

12 Kapitel 1: Einführung
Größe
Energie
Temperatur
Frequenz
Zeit
Geschwindigkeit
Masse
Entropie
Wärmekapazität
γ
Permeabilität
Permittivität
Elektrisches Feld
Mag. Induktion
Magnetfeld/Magnetisierung
Bohrsches Magneton
Umrechnung
E SI = D E SIAM
T SI = D k B
T SIAM
ω SI = D ħ ω SIAM
t SI = ħ D t SIAM
v SI = D ħ v SIAM
m SI = ħ2
D m SIAM
S SI = k B S SIAM
C SI = k B C SIAM
γ SI = k2 B
D
γ SIAM
µ SI
0 = ħ2
D µSIAM 0
ǫ SI
0 = 1 D ǫSIAM 0
Eel SI = D Eel
SIAM
B SI = ħB SIAM
H SI = D ħ H SIAM
µ SI
B = D ħ µSIAM B
Tabelle 1.1: Zusammenhang der in dieser Arbeit verwendeten Einheiten zum SI-System
(siehe auch Anhang A).
die skalierten Einheiten den Index „SIAM“; ħ und k B sind ohnehin nur in SI-Einheiten relevant
und erhalten daher keinen Index.

Kapitel 2
Vorbereitung der NRG
Das Hauptinstrument zur Untersuchung des Störstellen-Anderson-Modells in dieser Arbeit
ist, wie schon in der Einleitung erwähnt, die von K. G. Wilson [26] entwickelte und
von H. R. Krishna-murthy et al. [18] auf das Anderson-Modell angewendete numerische
Renormierungsgruppen-Methode (NRG). Um das Vorgehen bei der Anwendung der NRG
transparent darzustellen, wird zunächst kurz das Konzept der Renormierungsgruppen-
Transformationen erklärt und anschließend werden einige notwendige Umformungen an
H SIAM motiviert und durchgeführt.
2.1 Renormierungsgruppen-Transformationen
Einen großen Beitrag zur Anwendung von Renormierungsgruppen-Konzepten in der Festkörperphysik
leistete K. G. Wilson. Seine Arbeit [26] von 1975 beschäftigt sich ausführlich
mit den Möglichkeiten einer solchen Methode. Hewson gibt in seinem Buch [13] eine kurze
Einführung. Diese soll hier skizziert werden.
Ausgangspunkt ist die Untersuchung von Systemen nahe eines Phasenübergangs, an dem
kritische Phänomene auftreten. Elemente der Renormierungsgruppe sind im Allgemeinen
nichtlineare Abbildungen R, die ein durch einen Parametersatz {x i } beschriebenes System
forminvariant in ein anderes System mit Parametern {x ′ i } transformieren. Wird das System
durch einen Hamilton-Operator dargestellt, bedeutet das:
R : H (x) ↦−→ H ( x ′) . (2.1)
Oft hängt die Renormierungsgruppen-Transformation noch von einem zusätzlichen Parameter
α ab, also R α , der einen Skalierungsfaktor darstellt. Die Aneinanderreihung von
Transformationen R α erzeugt eine Trajektorie im Parameterraum des betrachteten Systems:
H ( x ′) = R α {H (x)} ,
H ( x ′′) = R α
{
H
(
x
′ )} ,
H ( x ′′′) = R α
{
H
(
x
′′ )} . (2.2)
13

14 Kapitel 2: Vorbereitung der NRG
Für die Hintereinanderausführung von R α und R β gilt:
R β {R α {H (x)}} = R αβ {H (x)} . (2.3)
Eine sehr wichtige Eigenschaft einer Renormierungsgruppen-Transformation ist, dass sie
Fixpunkte im Parameteraum aufweisen kann. Diese haben die Eigenschaft invariant unter
R α zu sein. Für sie gilt also R α {H (x)} = H (x). Fixpunkte heißen stabil, wenn sie in ihrer
Nähe verlaufende Parameterraum-Trajektorien anziehen, instabil, falls sie sie abstoßen,
und marginal, wenn ihr Verhalten komplizierter ist. Komplizierter heißt hier, dass sie weder
eindeutig instabil noch eindeutig stabil sind. Vielmehr werden ihre Eigenschaften von vielen
Faktoren beeinflusst, beispielsweise von anderen nahe gelegenen Fixpunkten. So findet man
auch im Rahmen der NRG Fixpunkte des Anderson-Modells (1.3). Dies sind unter anderem
die in Kapitel 1.3 diskutierten FO-, LM-, und SC-Grenzfälle.
Hinter der Renormierungsgruppen-Theorie steht die Absicht, den Hamilton-Operator eines
Systems mittels R so zu transformieren, dass er zwar noch immer das gleiche System beschreibt,
dieses jedoch auf einer anderen Längen- oder Frequenzskala oder bei einer anderen
Temperatur. Das Verhältnis der Skalen von H (x) und H (x ′ ) zueinander wird durch den
Skalierungsfaktor α bestimmt. Und gerade dies will man auch für das Anderson-Modell
erreichen. Denn rückblickend auf Kapitel 1.2 erkennt man, dass das Problem von Kondos
Erklärung des Widerstandsminimums gerade darin liegt, dass seine perturbative Näherung
des s-d-Modells (1.1) mit antiferromagnetischer Kopplung J bei einer endlichen Temperatur
T K ihre Gültigkeit verliert. Der Fall T → 0 konnte also nicht untersucht werden. Der
Vorteil von Wilsons NRG ist, dass sie ein nicht-perturbatives Lösungsverfahren darstellt,
und damit im Gegensatz zur Störungstheorie keine divergenten Terme in den physikalischen
Größen erzeugt. Krishna-murthy, Wilkins und Wilson [18] entwickelten die notwendigen
Transformationen, um letztlich Wilsons Methode auf das Störstellen-Anderson-Modell
(1.3) anwenden zu können. Das genaue Vorgehen wird im Folgenden erläutert. Natürlich
werden auch die Unterschiede herausgearbeitet, die sich für den Fall niedriger Ladungsträgerkonzentration
im Vergleich zum Standardfall mit halbgefülltem Leitungsband [6]
ergeben.
2.2 Logarithmische Diskretisierung des Leitungsbandes
Der erste Schritt auf dem Weg zur Konstruktion einer Renormierungsgruppen-Transformation
für H SIAM ist die logarithmische Diskretisierung. Da das Ziel ist, eine Abbildung
zu konstruieren, die das Anderson-Modell forminvariant auf ein bei tieferer Temperatur
gültiges Modell transformiert, müssen zunächst einmal die verschiedenen Energien ε k in
Gleichung (1.3) ihrer Größe nach geordnet werden.
Zuvor muss aber noch eine Frage geklärt werden, der bis zu diesem Punkt aus dem Weg
gegangen wurde, nämlich wie im Anderson-Modell eigentlich eine geringe Ladungsträgerdichte
simuliert wird. Um dies darzulegen, muss man den Anderson-Hamilton-Operator

2.2 Logarithmische Diskretisierung des Leitungsbandes 15
H SIAM in eine etwas veränderte Form bringen, indem man eine in der Festkörperphysik
wohlbekannte Ersetzung vornimmt, und zwar
∑
∫
... −→ dε f (ε) ... .
k
In Gleichung (1.3) gibt es zwei Summen über k, deren Umformungen folgendermaßen
definiert werden:
∑
ε k ... −→
k
∑
V k ... −→
k
∫ω u
dε g (ε) ...
ω l
∫ω u
ω l
dε h(ε)... . (2.4)
Die Integrationsgrenzen ω u und ω l werden später als die Bandkanten des Leitungsbandes
identifiziert. Zur Bestimmung der beiden Funktionen g (ε) und h(ε) steht lediglich eine
Bedingung zur Verfügung, nämlich dass die effektiven Wirkungen der Hamilton-Operatoren
H SIAM = H imp + ∑ kσ
ε k c † kσ c kσ + ∑ kσ
V k
(f † σ c kσ + c † kσ f σ
)
und (2.5)
H ′ SIAM = H imp + ∑ σ
∫
ω u
dε g (ε) a † εσa εσ + ∑ σ
∫
ω u
)
dε h(ε)
(f σa † εσ + a † εσf σ
. (2.6)
ω l
ω l
übereinstimmen müssen. Die hier gemeinte effektive Wirkung erhält man, indem man den
jeweiligen Hamilton-Operator in eine Funktionalintegraldarstellung überführt, damit die
Zustandssumme mit Hilfe der Wirkung ausdrückt und schließlich die Freiheitsgrade der
Leitungselektronen ausintegriert. Die resultierende effektive Wirkung gibt somit allein den
Einfluss der Störstelle auf das Verhalten des Gesamtsystems wieder. Da von allen Größen,
die in dieser Arbeit betrachtet werden, lediglich der Störstellenanteil berechnet werden
soll, ist klar, dass die Störstelle in beiden Modellen den gleichen Beitrag leisten muss und
somit die effektiven Wirkungen aus (2.5) und (2.6) gleich sein müssen. Der Nachweis der
Äquivalenz der beiden Formen des Anderson-Modells ist in [4] zu finden. Die hier gestellte
Forderung führt letztlich zu folgender Differentialgleichung, die in leicht veränderter
Notation für k-unabhängiges V in [6] hergeleitet wird:
∆ (ω) = π d g−1 (ω)
h [ g −1 (ω) ] 2
. (2.7)
dω
Die Funktion g – die sogenannte Dispersion – hat dabei die Aufgabe, den Zusammenhang
zwischen den beiden Energien ω und ε herzustellen. Ihre formale Definition ist
g : ε ↦−→ ω = g (ε) . (2.8)

16 Kapitel 2: Vorbereitung der NRG
Die sogenannte Hybridisierungsfunktion ∆ (ω) ist die Eingabegröße des in dieser Arbeit
beschriebenen NRG-Verfahrens. Sie ist gegeben durch
∆ (ω) = π ∑ k
V 2
k δ (ω − ε k) . (2.9)
Da lediglich die Funktion ∆ (ω) vorgegeben ist, lässt die Bedingung (2.7) einige Freiheit
bei der Verteilung der ω-Abhängigkeit auf die Funktionen g und h. Unter Annahme
einer Kopplung, die unabhängig von k ist, also V k ≡ V , reduziert sich die Hybridisierungsfunktion
im Wesentlichen auf die Zustandsdichte der Leitungselektronen, da ja
πV 2 ∑ k δ (ω − ε k) = πV 2 ρ(ω) gilt. Somit ist es einzusehen, dass sie alle notwendigen Informationen
enthält, um die verschiedensten Leitungsbandeigenschaften zu modellieren.
Man hat nun verschiedene Möglichkeiten, ∆ (ω) so zu konstruieren, dass das Modell (2.5)
einem System mit niedriger Ladungsträgerdichte im Leitungsband entspricht. Beispielsweise
könnte man den absoluten Wert von ∆ – also letztlich die Zustandsdichte ρ des
Leitungsbandes – sehr klein wählen. Dies widerspricht aber dem physikalisch vernünftigen
Bild eines Halbleiters und schließlich wurde in Kapitel 1.4 mit einer starken Hybridisierung
zwischen Störstelle und Bad argumentiert. Andererseits kann auch die Form des Leitungsbandes
und damit die Fermi-Energie beziehungsweise die Füllung variiert werden. Da sie
ja ein Band repräsentieren soll, kann die Hybridisierungsfunktion nur in einem begrenzten
Bereich ungleich null sein, das heißt, sie hat scharfe Ränder oder Cutoffs, die Bandkanten.
Da nach Kapitel 1.5 alle Energien von der Fermikante aus gemessen werden, liegt diese
immer bei ω = 0. Eine Verschiebung von ε F kommt in diesem Fall einer Verschiebung der
Bandkanten gleich. Je näher der untere Cutoff bei null liegt, desto geringer ist die Füllung
des Leitungsbandes. Liegt ε F in der Mitte zwischen beiden Bandkanten, so liegt halbe
Füllung vor.
Im Anderson-Modell (2.6) müssen also die beiden Cutoffs ω u und ω l – im Gegensatz zu −1
und +1 in [4], [7] und [18] – als Integrationsgrenzen eingefügt werden. Die Bandverschiebung
δ ist dann gegeben durch
δ ≡ ω u + ω l
2
. (2.10)
Um das Ziel dieser Aktionen nicht aus den Augen zu verlieren, sei noch einmal daran erinnert,
dass man den Anderson-Hamilton-Operator in einer Form benötigt, in der die verschiedenen
auftretenden Energieskalen separiert sind. Die Integraldarstellung (2.6) stellt
hierfür einen optimalen Ausgangspunkt dar. Das Leitungsband – also der Bereich, in dem
∆ (ω) ≠ 0 – wird in Intervalle unterteilt, so dass die beiden Integrale in Summen aus
Integralen zerfallen. Je größer ein Intervall ist, desto stärker werden die Anregungen der
entsprechenden Energieskala über die Gewichtungsfunktionen g und h gemittelt. Da später
gerade die tiefen Temperaturen von Interesse sind, wo sich Anregungen nur nahe der
Fermikante abspielen, werden die Intervalle zur Fermi-Energie hin immer schmaler, so dass
nahe ǫ F Mittelungseffekte fast keine Rolle mehr spielen. Dies ist der Grundgedanke der
logarithmischen Diskretisierung. Ihre praktische Umsetzung ist nun auf verschiedene Arten
möglich, die in Abbildung 2.1 illustriert sind.

2.2 Logarithmische Diskretisierung des Leitungsbandes 17
Abbildung 2.1 a) zeigt den Standardfall der logarithmischen Diskretisierung. Zur Festlegung
der Energieintervalle definiert man eine reelle Zahl Λ > 1 als Parameter und definiert
(
I n + = Λ −(n+1) ,Λ −n] für ε > 0 und
[
In − = −Λ −n , −Λ −(n+1)) für ε < 0, n = 0,1,2,... (2.11)
Im Fall eines symmetrischen Bandes mit ω u = −ω l = 1 ist diese Form der Diskretisierung,
wie sie unter anderem auch von Krishna-murthy et al. [18] verwendet wurde, vollkommen
ausreichend; für ein verschobenes Band reicht sie hingegen nicht mehr aus, da auch
Energien jenseits von ±1 in berücksichtigt werden müssen. Abbildung 2.1 b) zeigt eine
mögliche Abhilfe. Statt von −1 bis 1 wird der Bereich von −2 bis 2 diskretisiert, so dass
die Bandkanten um eine halbe Bandbreite verschoben werden können. Dieses Vorgehen
weist jedoch bezogen auf die Situation, die in der vorliegenden Arbeit untersucht werden
soll, einige Schwächen auf, die später deutlich sichtbar werden. Grob kann man sagen, dass
durch diese Art der Diskretisierung die Cutoffs der Hybridisierungsfunktion unscharf werden,
was nicht gewollt ist. Dieser Effekt wird in Kapitel 4.1.3 sehr ausführlich mit vielen
Beispielen untersucht.
Daher ist die natürlichste Wahl, die Diskretisierung, wie in Abbildung 2.1 c) gezeigt, zusammen
mit den Bandkanten zu verschieben. So wird sichergestellt, dass nur die Anregungen
mit Energien zwischen ω l und ω u im neuen Hamilton-Operator vorkommen. Die Definition
der Energieintervalle aus Gleichung (2.11) muss hierfür leicht modifiziert werden. Die
resultierenden Gleichungen für Intervalle und Intervalllängen sind dann die folgenden:
I + n = (ω u Λ −(n+1) ,ω u Λ −n] ,
d + n = ω u Λ −n ( 1 − Λ −1) ,
[
In − = ω l Λ −n ,ω l Λ −(n+1)) ,
d − n = ∣ ∣ ωl
∣ ∣Λ −n ( 1 − Λ −1) , n = 0,1,2,... (2.12)
Die Integrale in (2.6) sind nun leicht auszuwerten, wenn man sich durch Fourier-
Entwicklung auch noch der ε-Abhängigkeit der Leitungsbandoperatoren in (2.6) entledigt.
Hierzu definiert man einen vollständigen Satz orthonormaler Funktionen, nach denen die
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in (2.6) entwickelt werden. Analog zu [4], [6]
und [18] werden ebene Wellen verwendet.
√ 1
d + n
e i 2π
d + pε
n
⎧
⎨
Ψ + np (ε) = für ε ∈ I n
+
⎩
0 sonst
⎧
⎨
Ψ − √ 1
2π
−i
d
e − pε
np (ε) = d − n für ε ∈ In
− n
⎩
0 sonst
(2.13)
Der Index p kann alle ganzzahligen Werte zwischen −∞ und ∞ annehmen. Orthonormalität
und Vollständigkeit sind leicht nachzuweisen, wobei beachtet werden muss, dass

18 Kapitel 2: Vorbereitung der NRG
a)
∆(ω )
-1 −Λ −1 −Λ −2 ... ...Λ −2 Λ −1
1
ω
b)
∆(ω)
-2 -1 −Λ −1 −Λ −2 ... ...Λ −2 Λ −1
1 2
ω
c)
∆(ω)
δ = ω u -1
-1 ω l ω l Λ −2 ... ...ω u Λ −2 ω u Λ −1
ω l Λ −1
1
ω u
ω
Abbildung 2.1: Logarithmische Diskretisierung des Leitungsbandes:
a) Symmetrischer Fall mit halbgefülltem Band
b) Verschobenes Band bei unveränderter Diskretisierung
c) Verschobenes Band mit verschobener Diskretisierung.

2.2 Logarithmische Diskretisierung des Leitungsbandes 19
∆(ω)
(h n
± )²
Abbildung 2.2: Definition der h ± n
-1 ω l ω l Λ −2 ... ...ω u Λ −2 ω u Λ −1
ω l Λ −1
1
ω u
ω
2 .
ε ∈ [ω l ,ω u ] gilt. Zur Erinnerung sei hier noch einmal der Hamilton-Operator angegeben,
auf den die nachfolgenden Transformationen angewendet werden:
H SIAM = H imp + ∑ σ
∫
ω u
dε g (ε) a † εσa εσ + ∑ σ
∫
ω u
)
dε h(ε)
(f σa † εσ + a † εσf σ
. (2.14)
ω l
ω l
Die Entwicklung der Operatoren a (†)
εσ nach den Funktionen Ψ ± np (ε) lautet also (vergleiche
[4]):
a εσ = ∑ n,p
a † εσ = ∑ n,p
[
anpσ Ψ + np (ε) + b npσ Ψ − np (ε) ] ,
[
a † (
npσ Ψ
+
np (ε) ) ∗ (
+ b
†
npσ Ψ
−
np (ε) ) ] ∗
. (2.15)
Zur Vereinfachung der Notation werden folgende abkürzende Symbole für die Integration
über das n-te positive bzw. negative Energieintervall eingeführt:
∫+,n
dε ≡
ω uΛ ∫
−n
ω uΛ −(n+1) dε ,
∫−,n
dε ≡
ω l Λ∫
−(n+1)
ω l Λ −n dε . (2.16)
Der Vollständigkeit wegen sei noch die entsprechende Rücktransformation angegeben:
a npσ =
∫+,n
dεΨ + np (ε) a εσ , b npσ =
∫−,n
dεΨ − np (ε) a εσ . (2.17)
In den folgenden zwei Unterkapiteln sollen die Integrale ausgewertet und einige Näherungen
eingeführt werden. Vorher muss aber noch eine Wahl für die Funktionen g und h getroffen
werden. Ist die Hybridisierungsfunktion einfach eine Konstante, so gestaltet sich die Wahl
recht einfach:
g (ε) = ε = ω (2.7)
=⇒ ∆ (ω) = ∆ 0 = πh 2 (ε) . (2.18)

20 Kapitel 2: Vorbereitung der NRG
Im Falle allgemeiner, nicht konstanter Hybridisierungsfunktionen muss man deren ω-
Abhängigkeit möglichst geschickt auf die beiden zu bestimmenden Funktionen verteilen.
In [7] werden verschiedene Möglichkeiten, dies zu tun, ausführlich diskutiert. Dabei stellt
sich heraus, dass ein abschnittsweise konstantes h oft die beste Wahl ist. Nun ist es
naheliegend, die Werte von h in den Intervallen I ± n über den Mittelwert von ∆ (ω) zu
definieren (siehe [6]):
h(ε) = h ± n für ε ∈ I± n
mit h ± 2 1
n =
d ± n
∫±,n
dε 1 ∆ (ε). (2.19)
π
Die Funktion g selbst muss nicht bestimmt werden, da sich im Folgenden zeigen wird, dass
lediglich Integrale über g bekannt sein müssen.
2.2.1 Transformation von H bath
Die Transformation auf die diskretisierten Operatoren (2.15) kann nun in den Hamilton-
Operator (2.14) eingesetzt werden. Eine ausführlichere Rechnung findet sich in Anhang
B.1, hier wird lediglich das Ergebnis angegeben. Der diskretisierte Badterm H bath lautet:
∫ω u
H bath = ∑ ( ∑
dε g (ε)
σ
ω
n,p
⎛
l
a † (
npσ Ψ
+
np (ε) ) ∗ (
+ b
†
npσ Ψ
−
np (ε) ) ∗
× ⎝ ∑ a n ′ p ′ σΨ + n ′ p
(ε) + b ′ n ′ p ′ σΨ − n ′ p
(ε) ⎠
′
n ′ ,p ′
(ξ + n a † npσa npσ + ξ + n b † npσb npσ
)
⎞
)
= ∑ n,p,σ
+ ∑
n,p≠p ′ ,σ
⎛
∫
+ ⎝
−,n
⎛
∫
⎝
+,n
dε g (ε) 1
d − n
dε g (ε) 1
d + n
e −2πi
d + n
e
2πi
d + (p ′ −p)ε
n
(p ′ −p)ε
⎞
⎞
⎠ a † npσ a np ′ σ
⎠ b † npσ b np ′ σ (2.20)
Die Rechnung vereinfacht sich dadurch, dass Integrale über Funktionen Ψ ± np auf verschiedenen
Intervallen – also Terme mit n ≠ n ′ – immer null ergeben. Die Summe über p
und p ′ wird in die Anteile p = p ′ und p ≠ p ′ zerlegt. Letzterer und die Terme der ersten
Summe mit p ≠ 0 werden in der weiteren Rechnung vernachlässigt. Nach [18], wo der Fall
−ω l = ω u = 1 mit konstanter Hybridisierungsfunktion untersucht wird, ist der Fehler, der
dabei gemacht wird, vernachlässigbar. Dies wird auch im vorliegenden Fall angenommen.

2.2 Logarithmische Diskretisierung des Leitungsbandes 21
Die Integrale im zweiten Summanden wurden daher nicht ausgewertet. Die Berechnung
der ξ n ± wird in Anhang B.1 durchgeführt. Man erhält als Ergebnis
ξ ± n = 1
d ± n
∫±,n
∫ ±,n
dε ∆ (ε) ε ∆=const. 1 (
dε g (ε) = ∫ ±,n
= 1 + Λ
−1 ) Λ −n ω u,l (2.21)
dε ∆ (ε) 2
und damit verschiedene Gewichte für die a- und b-Operatoren.
2.2.2 Transformation von H imp−bath
Die Wahl einer abschnittsweise konstanten Funktion h führt dazu, dass sämtliche Terme
mit p ≠ 0 in H imp−bath aufgrund der Eigenschaften des verwendeten Orthonormalsystems
(2.13) wegfallen. Eine weitere Vereinfachung besteht darin, die Kopplung der Störstelle an
das Fermionenbad als Kopplung zwischen lediglich zwei fermionischen Freiheitsgraden zu
schreiben. Durch Einsetzen der Diskretisierung in H imp−bath erhält man zunächst:
H imp−bath = ∑ n,p,σ
+ ∑ n,p,σ
∫+,n
dε h + n
[Ψ + np (ε) f σa † npσ + ( Ψ + np (ε) ) ]
∗ a
†
npσ f σ
∫−,n
dε h − n
[Ψ − np (ε) f σb † npσ + ( Ψ − np (ε) ) ]
∗ b
†
npσ f σ
. (2.22)
Um die Notation etwas einfacher zu gestalten, wird ab jetzt der Index p unterdrückt, da
wie oben erwähnt p im Folgenden immer 0 ist. Nutzt man die Definitionen der h ± n und
Ψ ± np, Gleichungen (2.19) und (2.13), so kann man folgende Vereinfachung erreichen:
[
H imp−bath = √ 1 ∑ ∑
c † (
π
−1σ γ
+
n a nσ + γ − ) ] [ ∑ (
n b nσ + γ n + a † nσ + γn − b nσ) ]
† c −1σ .
σ n
n
(2.23)
Dies wiederum kann man noch einfacher ausdrücken:
H imp−bath = √ 1 ∑
c †
π
−1σ c 0σ + c † 0σ c −1σ . (2.24)
Um Gleichung (2.24) zu erhalten, muss man folgende Terme definieren:
σ
c −1σ ≡ f σ , (2.25)
c 0σ ≡ √ 1 ∑ (
γ
+
n a nσ + γn − b )
nσ ,
ξ0
(2.26)
γ ± n
n
ξ 0 ≡ ∑ ( ) γ n
+ 2 + γ
−2 n , (2.27)
n
∫±,n
2 ≡ dε ∆ (ε) . (2.28)

22 Kapitel 2: Vorbereitung der NRG
γ 4
-
γ 3
-
γ 2
-
γ 1
-
γ 1
+
γ 2
+
γ 3
+
γ 4
+
...
...
Abbildung 2.3: Schematische Darstellung des Störstellen-Anderson-Modells nach der logarithmischen
Diskretisierung.
Nach all diesen Umformungen ergibt sich eine neue schematische Darstellung des Anderson-
Hamilton-Operators, die zeigt, dass die Diskretisierung des Leitungsbandes tatsächlich eine
Trennung der auftretenden Energieskalen bewirkt. In Kapitel 1.3, Abbildung 1.3, war
die Störstelle noch gleichmäßig an die kontinuierlichen Leitungsbandzustände gekoppelt.
Die durchgeführten Transformationen fassen bestimmte Energiebereiche zu je einem fermionischen
Freiheitsgrad zusammen, die mit immer kleiner werdender Stärke γ n ± mit der
Störstelle verbunden sind. Die Einteilung der Energieskalen wird umso feiner, je näher man
der Fermi-Energie kommt. Diese neue Situation zeigt Abbildung 2.3.
2.3 Abbildung auf die halbunendliche Kette
Durch die bisherigen Transformationen ist es gelungen, den Anderson-Hamilton-Operator
(2.6) auf folgende einfache Form zu bringen, in der die Störstelle nur noch an einen fermionischen
Freiheitsgrad gekoppelt ist:
H SIAM = ∑ σ
ε −1 c † −1σ c −1σ + Uc † −1↑ c −1↑c † −1↓ c −1↓ +
√
ξ0
+ ∑ n,σ
√ π
∑
σ
(
)
c † −1σ c 0σ + c † 0σ c −1σ
(
)
ξ n + a† nσ a nσ + ξn − b† nσ b nσ
. (2.29)
Prinzipiell wäre es schon jetzt möglich, ausgehend von dieser Form des Modells, ein NRG-
Verfahren zu entwickeln, da man die Badfreiheitsgrade ja nach Kopplungsstärke geordnet
hat und so je nach der Temperatur, bei der man die Eigenschaften des Modells berechnen
will, bestimmte Anregungen vernachlässigen kann. Die Erfahrung zeigt jedoch, dass noch
eine weitere Umformung zweckmäßig ist: die Abbildung des Ausdrucks (2.29) auf eine
halbunendliche Kette, deren erstes Glied die Störstelle ist. Mehr zu diesem Problem ist
in [6] zu erfahren. Eine physikalisch intuitive Interpretation der Operatoren a (†)
nσ und b (†)
nσ
sowie der in Gleichung (2.30) auftretenden Operatoren c (†)
nσ folgt am Ende dieses Kapitels.
Die Abbildung auf die halbunendliche Kette erfolgt durch eine unitäre Transformation der
a (†)
nσ und b (†)
nσ, deren Transformationskoeffizienten es in diesem Kapitel zu bestimmen gilt.
Dabei wird wie in [18] und [4] vorgegangen. Eine Bedingung, die hier gestellt werden muss,
ist, dass c (†)
0σ
weiterhin durch (2.28) gegeben ist. Nun ist der Leitungsbandanteil in (2.29)

2.3 Abbildung auf die halbunendliche Kette 23
diagonal, so dass nach jeder Transformation zwangsläufig Kopplungen zwischen Operatoren
zu verschiedenem n auftreten. Daher ist diejenige Transformation die geeignetste, die diese
Wechselwirkungen möglichst einfach hält. Dies ist der Fall, wenn nur Nächste-Nachbar-
Wechselwirkungen generiert werden. Weiterhin wird im Allgemeinen jeder Platz der Kette
eine On-Site-Energie besitzen, die – wie sich leicht zeigen lässt – im Fall des halbgefüllten
Bandes mit Teilchen-Loch-Symmetrie verschwindet. Die letztlich erwünschte Form von
H SIAM ist:
H SIAM
!
= Uc † −1↑ c −1↑c † −1↓ c −1↓ +
∞∑
n=−1,σ
(
) ]
[t n c † nσc n+1σ + c † n+1σ c nσ + ε n c † nσc nσ
. (2.30)
√
ξ
Dabei wurde t −1 ≡ 0π
definiert, um eine einheitliche Darstellung zu erhalten. Dadurch
kann der Störstellen-Anteil abgesehen vom U-Term in die Summe über n gezogen werden.
Die Transformationsgleichungen sind analog zu [18].
a nσ = ∑ m
u mn c mσ ,
b nσ = ∑ m
v mn c mσ ,
a † nσ = ∑ m
u mn c † mσ ,
b† nσ = ∑ m
v mn c † mσ . (2.31)
Die entsprechende Rücktransformation lautet nach dieser Definition
c nσ = ∑ m
u nm a mσ + v nm b mσ ,
c † nσ = ∑ m
u nm a † mσ + v nm b † mσ . (2.32)
Da die Transformation unitär sein soll, ergeben sich folgende Normierungsbedingungen an
die Transformationskoeffizienten:
∑
∑
(u nm u nm ′) = δ mm ′, (u nm v nm ′) = 0 , (2.33)
n
∑
(v nm v nm ′) = δ mm ′,
n
n
∑
(u nm u n ′ m + v nm v n ′ m) = δ nn ′ . (2.34)
m
Mit Hilfe eines Koeffizientenvergleichs kann man nun Iterationsgleichungen für die Transformationskoeffizienten,
die Kopplungsenergien t n und die On-Site-Energien ε n gewinnen.
Hierzu geht man von folgender Gleichung aus:
1
2
(
1 + Λ
−1 ) ∑ ( )
Λ −n ω u a † nσ a nσ + ω l b † nσ b nσ
n,σ
!
=
∞∑
n=0,σ
(
) ]
[t n c † nσc n+1σ + c † n+1σ c nσ + ε n c † nσc nσ
(2.35)

24 Kapitel 2: Vorbereitung der NRG
ε -1 ε 0 ε 1 ε 2 ε 3 ε 4
t -1 t 0 t 1 t 2 t 3
...
Abbildung 2.4: Schematische Darstellung des Anderson-Modells in Form von Gleichung
(2.30).
Die Berechnung der Hüpf- oder Kopplungsenergien, der On-Site-Energien sowie der Transformationskoeffizienten
wird in Anhang B.2 genauer erläutert. Sie ist zwar aufwändig, aber
prinzipiell nicht schwierig und daher nicht im Hauptteil dieser Arbeit zu finden. Man erhält
schließlich die folgenden Gleichungen, die eine iterative Bestimmung der t n , ε n sowie der
u mn und v mn erlauben.
t 2 0 = ∑ (
)
ξ n
+ 2 u
2
0n + ξn
− 2 v
2
0n − ε 2 0 ,
n
ε 0 = ∑ n
(
ξ
+
n u 2 0n + ξn − v0n
2 )
,
u 1n = 1 t 0
u 0n
(
ξ
+
n − ε 0
)
,
v 1n = 1 t 0
v 0n
(
ξ
−
n − ε 0
)
. (2.36)
t 2 m = ∑ n
{ [(ξ
+
n − ε m
)
umn − t m−1 u m−1n
] 2 +
[(
ξ
−
n − ε m
)
vmn − t m−1 v m−1n
] 2
}
,
ε m = ∑ n
(
ξ
+
n u 2 mn + ξn − vmn
2 )
,
u m+1 = 1
t m
[
umn
(
ξ
+
n − ε m
)
− tm−1 u m−1n
]
,
v m+1 = 1
t m
[
vmn
(
ξ
−
n − ε m
)
− tm−1 v m−1n
]
. (2.37)
Diese sind identisch zu den in [6] angegebenen Iterationsgleichungen. Abbildung 2.4 verdeutlicht
die Wirkung der vorgenommenen Transformation auf das betrachtete Modell.
Ausgehend von der intuitiven Vorstellung des Anderson-Modells, die in Abbildung 2.3
präsentiert wurde, wurden zunächst mittels Gleichung (2.28) die Badzustände zu einem
einzigen Zustand zusammengefasst. Die Berücksichtigung der kinetischen Energie des Leitungsbandes
aus (2.29) erfolgte anschließend durch Ankopplung in Form einer Kette an den
Zustand c 0 . Insgesamt gelangt man also zu einer halbunendlichen Kette von Zuständen,
die mit der Störstelle beginnt und in der jeder Zustand nur mit seinen direkten Nachbarn
wechselwirkt. Genau diese Situation zeigt Abbildung 2.4.
Der physikalische Gedankengang, der hinter dieser Umformung steht, wird ausführlich in
[18] für ein halbgefülltes dreidimensionales Leitungsband diskutiert. Die Störstelle befindet
sich also auch im Ortsraum in einer dreidimensionalen Umgebung. Die dort vorgestellten

2.3 Abbildung auf die halbunendliche Kette 25
Ideen sind natürlich auch hier anwendbar und fördern das Verständnis der NRG. Krishnamurthy
et al. verwenden Kugelflächenfunktionen, die um die Störstelle als Ursprung zentriert
sind, als Basis für die Leitungsbandzustände im Ortsraum. Weiterhin nehmen sie
an, dass die Wechselwirkung zwischen Störstelle und Leitungselektronen V k nur von ∣ ∣ k
∣ ∣
abhängt. Das bedeutet, dass die Verunreinigung lediglich an die Leitungsbandzustände
mit s-Symmetrie koppelt. Bleibt man in diesem Bild, so kann man den Operatoren c † kσ
aus Gleichung (1.3) s-Wellenfunktionen zuordnen, die sich – da die Elektronen im Metall
Bloch-Zustände besetzen – über das gesamte Volumen des Systems erstrecken. Dies kann
man auch anhand der Orts-Impuls-Unschärfe einsehen, aus der folgt, dass ein Teilchen mit
scharf definiertem Impuls eine unendlich ausgedehnte Wellenfunktion haben muss. Das
gilt analog auch für die Operatoren a † εσ, wenn man wie Krishna-murthy et al. annimmt,
dass die Fermioberfläche des Systems vollständig innerhalb eines isotropen Leitungsbandes
liegt.
Die Transformation auf die Operatoren a † npσ und b † npσ bewirkt eine Aufteilung und Ordnung
der Leitungsbandzustände nach ihren Einteilchenenergien. So erzeugen beziehungsweise
vernichten die diskretisierten Operatoren Teilchen, deren Energie innerhalb eines
bestimmten Energieintervalls liegt. Daher sind die entsprechenden Wellenfunktionen auf
ein bestimmtes Phasenraumvolumen beschränkt und damit auch im Ortsraum mehr oder
weniger stark lokalisiert. Ein Blick auf die Transformationsgleichungen (2.17) zeigt, dass
man diesen Operatoren, den obigen Überlegungen folgend, im Ortsraum Wellenpakete
aus s-Wellen zuordnen kann, da sie sich additiv aus den Operatoren a † εσ mit bestimmten
Gewichtungen zusammensetzen. Die maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit der den
Wellenpaketen entsprechenden Teilchen liegt daher in einer Entfernung von der Störstelle,
die proportional zu ihrem „Impuls“ p ist. Ihre Ausdehnung wächst exponentiell mit
steigendem n, da ihre Energieunschärfe gleichzeitig schnell kleiner wird. Durch die Vernachlässigung
aller Operatoren mit p ≠ 0 berücksichtigt man also nur die Zustände, deren
Aufenthaltswahrscheinlichkeit an der Störstelle ein Maximum besitzt. Die Eigenschaften
von Wellenpaketen sind in Anhang B.3 kurz zusammengefasst.
Nun lässt sich schon erahnen, wie man mit dem Modell (2.29) verschiedene Temperaturen
behandeln könnte. Denn je ausgedehnter ein a † npσ und b † npσ entsprechender Zustand ist,
desto schwächer ist seine Wechselwirkung mit der Störstelle. So fallen die Energien ξ ± n
schnell mit steigendem n ab. Bei hohen Temperaturen spielen schwache Wechselwirkungen
aber keine Rolle, man muss nur die Zustände berücksichtigen, die kompakt um die Störstelle
liegen. Sinkt die Temperatur, so müssen auch weiter ausgedehnte Zustände in die
Berechnungen eingehen. Wie jedoch weiter oben erwähnt, gibt es bei einer NRG-Methode
basierend auf dem Hamilton-Operator (2.29) ein Problem (siehe hierzu die Diskussion in
[5]), das die Abbildung auf die halbunendliche Kette notwendig macht. Auf dieses wird am
Ende dieses Kapitels eingegangen.
Gemäß Gleichung (2.32) setzen sich die Operatoren c (†)
nσ aus den Operatoren a (†)
mσ und b (†)
mσ
gewichtet mit den Faktoren u nm und v nm zusammen. Ihre entsprechenden Wellenfunktionen
sind also auch an der Störstelle zentrierte Pakete aus s-Wellenfunktionen. Laut [18]
gilt damit für die Ausdehnung der entsprechenden Wellenfunktionen der gleiche Zusammenhang
mit n wie für die vorigen Wellenfunktionen.

26 Kapitel 2: Vorbereitung der NRG
unm und vnm
v nm n = 0
v nm n = 16
v nm n = 32
v nm n = 48
u nm n = 0
u nm n = 16
u nm n = 32
u nm n = 48
m + 2
Abbildung 2.5: Transformationskoeffizienten u nm und v nm als Funktion von m mit δ = 0,
∆ 0 = 0.03 und Λ = 2.5.
Eine Untersuchung der Transformationskoeffizienten unterstützt diese Aussage. Abbildung
2.5 zeigt die gemäß (2.37) bestimmten Koeffizienten u nm und v nm als Funktionen von m
im Fall symmetrischer Bandkanten, also δ = 0. Es wurde mit einer flachen Hybridisierungsfunktion
∆ 0 = 0.03 und Λ = 2.5 gearbeitet. Die durchgezogenen Linien entsprechen
den v nm , die Symbole den u nm für verschiedene Werte von n. Man erkennt, dass die Maxima
der Transformationskoeffizienten mit zunehmendem n zu immer größeren Werten von
m wandern. Das heißt, der Hauptbeitrag zu den Operatoren c nσ kommt von Anregungen
a mσ und b mσ mit immer kleineren Energien ξ m ± . Also wird die Energieunschärfe der c nσ
entsprechenden Wellenpakete immer kleiner und damit die Ortsausdehnung immer größer.
Noch eine weitere Eigenschaft der Transformation (2.32) lässt sich anhand der Untersuchung
der Transformationskoeffizienten erkennen. Abbildung 2.6 zeigt ebenfalls die Transformationskoeffizienten,
diesmal aber für ein verschobenes Leitungsband mit δ = 0.99.
Dort erkennt man, dass die Anregungen a mσ und b m ′ σ, aus denen sich die Operatoren c nσ
nun zusammensetzen, immer noch Energien ξ m + und ξ − m
entsprechen, die beinahe gleich
′
sind. Aufgrund der Verschiebung treten die Maxima der v nm früher auf als die der u nm .
Die Maxima der gelben Kurven (n = 48) beispielsweise haben ihre Maxima bei m = 22 für
die v nm beziehungsweise bei m = 28 für die u nm . Die entsprechenden Energieskalen sind
damit ω l Λ −22 ≃ 1.76 10 −11 beziehungsweise ω u Λ −28 ≃ 1.43 10 −11 . Damit ist gezeigt, dass
die Kopplungsenergien t n genau wie die Energien ξ n ± mit n exponentiell kleiner werden.
Anhand solcher Überlegungen entwickelten Krishna-murthy, Wilkins und Wilson [18] ein
sehr anschauliches Bild der Situation, das Zwiebelschalenmodell. Die Operatoren c (†)
nσ sind

2.3 Abbildung auf die halbunendliche Kette 27
v nm n = 0
v nm n = 16
v nm n = 32
v nm n = 48
u nm n = 0
u nm n = 16
u nm n = 32
u nm n = 48
unm und vnm
m + 2
Abbildung 2.6: Transformationskoeffizienten u nm und v nm als Funktion von m mit δ = 0.99,
∆ 0 = 0.03 und Λ = 2.5.
also stellvertretend für an der Störstelle zentrierte s-Wellenpakete mit einer Ausdehnung,
die mit n wächst. Im Fall des halbgefüllten Bandes, das in [18] betrachtet wird, ist ihre
mittlere Energie 0. Die Wellenpakete zu den Operatoren c (†)
nσ besitzen damit die gleichen
Eigenschaften wie die Wellenpakete zu den Operatoren a mσ (†) und b mσ. (†) Allerdings wechselwirken
sie nicht mehr direkt mit der Störstelle, sondern nur noch mit den Wellenpaketen
mit dem nächstgrößeren und nächstkleineren n. Sie umgeben demnach die Störstelle wie
die Schalen einer Zwiebel, die wie die einzelnen Kettenplätze nur mit ihren jeweils nächsten
Nachbarn verbunden sind. Nach außen wird die Bindung der Schalen aneinander exponentiell
schwächer.
Damit gilt auch weiterhin, was oben über den Einfluss der Temperatur gesagt wurde.
Bei hohen Temperaturen wirkt sich die Störstelle lediglich auf die Zustände aus, deren
Ausdehnung sehr klein ist. Diese werden durch die ersten Kettenplätze repräsentiert. Die
Wechselwirkung mit den übrigen Zuständen ist zu schwach und wird durch thermisches
Rauschen unterdrückt. Zur Berechnung der Störstelleneigenschaften bei hohen Temperaturen
genügt es also, die ersten paar Plätze in (2.30) zu berücksichtigen und die übrigen
zu verwerfen. Bei sinkender Temperatur wird auch die Wechselwirkung mit weiter ausgedehnten
Zuständen wieder wichtig und man muss eine längere Kette betrachten.
In dieser Arbeit soll der Fall eines verschobenen Leitungsbandes untersucht werden, was die
obige Situation etwas verändert. Denn sobald durch die Verschiebung der Bandkanten die
Teilchen-Loch-Symmetrie gebrochen wird, hat jeder Platz der halbunendlichen Kette auch
eine On-Site Energie ε n und das korrespondierende Wellenpaket eine von null verschiedene

28 Kapitel 2: Vorbereitung der NRG
mittlere Energie. Welche Veränderungen das hervorruft, ist an dieser Stelle natürlich schwer
zu sagen. Dennoch können die angestellten Überlegungen zu einem besseren Verständnis
der hier verwendeten Theorie verhelfen, da sie ein sehr anschauliches Bild der sonst eher
abstrakten Rechnungen vermitteln.
Rückblickend ist klar, welchen Vorteil der Hamilton-Operator (2.30) gegenüber (2.29) bei
der Aufstellung einer Renormierungsgruppen-Transformation hat. Wenn man zu einer tieferen
Temperatur übergehen will, muss man im Fall des Hamilton-Operators (2.29) immer
zwei Plätze hinzufügen, wohingegen man im Fall von (2.30) nur einen Platz an die Kette
anhängen muss. Es steht also eine Erhöhung der Dimension des Hilbert-Raums um
den Faktor 16 einer Vervierfachung gegenüber, wobei letzteres natürlich viel einfacher zu
handhaben ist.

Kapitel 3
Die Numerische
Renormierungsgruppen-Methode
In Kapitel 2 wurde die Aufstellung einer Renormierungsgruppen-Transformation für das
Störstellen-Anderson-Modell mit beliebiger Füllung des Leitungsbandes vorbereitet. In diesem
Kapitel soll diese Transformation formuliert und der daraus resultierende numerische
Lösungsalgorithmus erläutert werden. Weiterhin wird die Berechnung der in Kapitel 4
diskutierten Eigenschaften des Anderson-Modells erläutert.
3.1 Iterative Diagonalisierung
3.1.1 Renormierungsgruppen-Transformation des Störstellen-Anderson-Modells
In Kapitel 2.3 wurde die Kettenform (2.30) des Anderson-Modells hergeleitet, die sich durch
eine energetische Ordnung der auftretenden Terme auszeichnet. Insbesondere fallen die
Hüpfenergien t n wie Λ − n 2 ab. Diese Eigenschaft ist bekannt (siehe [18] und [6]). Sie ist aber
auch schon in den Abbildungen 2.5 und 2.6 zu erahnen, die die Transformationskoeffizienten
zur Berechung der t n und ε n zeigen. Das kann man sich zu Nutze machen, indem man
folgende Reihe definiert:
H N ≡ Λ N−1
2
[
Uc † −1↑ c −1↑c † −1↓ c −1↓
+
N−1
∑
n=−1,σ
t n
(c † nσc n+1σ + c † n+1σ c nσ
)
+
N∑
n=−1,σ
Der Hamilton-Operator (2.30) ergibt sich damit durch Bildung von lim N→∞ :
ε n c † nσc nσ
⎤
⎦ . (3.1)
N−1
H SIAM = lim Λ− 2 H N . (3.2)
N→∞
Durch die Skalierung mit dem Faktor Λ N−1
2 wird erreicht, dass die kleinste Hüpfenergie
in H N ungefähr 1 ist. Die gesuchte Renormierungsgruppen-Transformation ist nun schnell
29

30 Kapitel 3: Die Numerische Renormierungsgruppen-Methode
gefunden, wenn man zusätzlich vereinbart, dass von jedem H N die jeweilige Grundzustandsenergie
abgezogen wird, also H N eine Grundzustandsenergie von 0 besitzt. Denn für
zwei aufeinanderfolgende Hamilton-Operatoren der Reihe (3.1) gilt dann nach [6] und [18]:
H N+1 = Λ 1 2H N + ∑ (
)]
[ε N+1 c † N+1σ c N+1σ + t N c † Nσ c N+1σ + c † N+1σ c Nσ −E G,N+1 , (3.3)
σ
womit die Abbildung R : H N ↦→ H N+1 die in Kapitel 2.1 vorgestellten Eigenschaften
einer Renormierungsgruppen-Transformation hat. Sie bildet den Hamilton-Operator
{
H N E
N
i , ∣ } i
〉N auf den Hamilton-Operator HN+1
{Ei N+1 , ∣ }
i ab, der die gleiche
〉N+1
Form wie H N hat. Charakterisiert wird H N hier also nicht von einem bestimmten Parametersatz
x, sondern durch seine Eigenenergien und Eigenzustände. Aufgrund des Skalierungsfaktors
Λ N−1
2 sind die Bandbreiten der Eigenenergien von H N und H N+1 ungefähr
gleich groß, was bei der Untersuchung von Fixpunkten viele Vorteile mit sich bringt. Anzumerken
ist aber, dass im Gegensatz zu R 2 die Abbildung R keine Fixpunkte aufweist (siehe
[18]). Jedoch ist mit R natürlich auch R 2 eine Renormierungsgruppen-Transformation, die
}
auf einen anderen Satz von Eigenenergien
{E N+2
i
einen Satz von Eigenenergien { Ei
N
abbildet. Daher werden später auch entweder nur die H N mit geradem N oder nur diejenigen
mit ungeradem N betrachtet, denn nur so sind die Fixpunkte von R 2 klar erkennbar.
Welche Wahl man trifft, ist dabei unerheblich, beide Möglichkeiten liefern vollkommen
äquivalente Ergebnisse. Bei der Berechnung thermodynamischer Größen können mit Hilfe
einer in [6] gezeigten Mittelung alle Iterationsschritte verwertet werden.
}
3.1.2 Diagonalisierung der H N
Durch Definition der Reihe (3.1) und durch Gleichung (3.3) kann man sich nun schrittweise
an die Lösung des Gesamtproblems herantasten, indem man zunächst eine geeignete Basis
definiert, damit die Matrixelemente von H −1 berechnet und so die entsprechenden Eigenenergien
und Eigenzustände bestimmt. Um die Ergebnisse der Diagonalisierung von H −1
nutzen zu können, definiert man anschließend die Basis für H 0 als Produktraum der Basis
von H −1 und der Basis des neu hinzugefügten Platzes der Kette. In dieser ist H −1 diagonal,
so dass der zur Diagonalisierung von H 0 notwendige Aufwand reduziert wird. Hat man H 0
diagonalisiert, definiert man eine Basis für H 1 und fährt so fort. Gemäß dieses Schemas
lassen sich also theoretisch die Eigenenergien und Eigenzustände von Hamilton-Operatoren
H N zu beliebigem N bestimmen.
Um die Größe der zu diagonalisierenden Matrizen zu beschränken, charakterisiert man
die Basiszustände anhand von geeigneten Erhaltungsgrößen des Hamilton-Operators (3.1).
Diese sind analog zu [18] die Ladung ˆQ N = ˆN − N+2
2
– hier ist ˆN der Operator der
Gesamtteilchenzahl – der Gesamtspin Ŝ2 und die z-Komponente des Gesamtspins Ŝz. Es
werden also die Eigenzustände von H N so berechnet, dass sie auch gleichzeitig Eigenzustände
von ˆQ, Ŝ2 und Ŝz sind. Dass der Gesamtspin mit H N vertauscht, muss allerdings
nicht notwendigerweise genutzt werden, prinzipiell reichen die beiden anderen Erhaltungsgrößen
aus (siehe hierzu die Diskussion in [6]). Da der verwendete NRG-Code aber alle drei
Größen verwendet, wird die Diagonalisierung hier so beschrieben, wie sie auch numerisch
durchgeführt wird.

3.1 Iterative Diagonalisierung 31
Zur Konstruktion der gesuchten Basis nimmt man an, dass der Operator H N bereits diagonalisiert
und
{∣ ∣w
〉
N}
=
{∣ ∣Q,S,Sz ,r 〉 N}
, (3.4)
seine Basis ist. Hier ist w ein Index, der die Eigenzustände von 1 bis zur Dimension des
Hilbert-Raums von H N durchnummeriert; der Index r steht für weitere Freiheitsgrade
innerhalb eines {Q,S,S z }-Unterraums. Die Basis für den neu hinzugefügten Platz der
Kette ist vierdimensional:
{∣ ∣i
〉}
=
{∣ ∣0
〉
,
∣ ∣ ↑
〉
,
∣ ∣ ↓
〉
,
∣ ∣ ↑↓
〉}
i = 1,2,3,4 . (3.5)
Die neue Basis für H N+1 ist damit:
{ ∣∣w,i 〉
N+1
}
= {∣ ∣ w
〉N ⊗ ∣ ∣ i
〉}
(3.6)
In dieser Darstellung beziehen sich die dem Index w entsprechenden Quantenzahlen
{Q,S,S z ,r} auf das System H N und geben nicht die Quantenzahlen der Basiszustände
des Systems H N+1 wieder. Aus den Zuständen ∣ ∣w,i 〉 müssen zuerst die passenden Linearkombinationen
gebildet werden, so dass sie dann Eigenzustände von Ladung und Spin
N+1
von H N+1 sind. In Anhang C.1 wird das genauer diskutiert. Mit Hilfe der resultierenden
Basis und Gleichung (3.3) kann dann H N+1 diagonalisiert werden.
Weil sich die Dimension des Hilbert-Raums durch das Hinzufügen eines Platzes vervierfacht,
werden nach Diagonalisierung von H N+1 nur die typischerweise 500 bis 1000 Zustände
mit den niedrigsten Eigenenergien in den nächsten Schritt, die Diagonalisierung
von H N+2 , mitgenommen. Die übrigen werden verworfen, da ohne diese Beschneidung die
Dimension des Hilbert-Raums exponentiell wachsen und damit schnell die Grenzen des
numerisch Machbaren überschreiten würde. Voraussetzung für den Erfolg dieses Vorgehens
ist, dass die Vernachlässigung der Zustände mit hoher Energie die Zustände mit niedriger
Energie nicht signifikant beeinflusst [6]. Die Basis aus Eigenzuständen zu H N+1 hängt mit
der Basis (3.6) über eine unitäre Transformation zusammen (siehe [6]):
∣
∣w ′〉 N+1 = ∑ w,i
∣
U w ′ ,wi
∣w,i 〉 N+1 . (3.7)
Die Details der iterativen Diagonalisierung sind zwar in [18] und [4] nachzulesen, werden
aber der Vollständigkeit wegen auch in Anhang C.1 gezeigt. Wichtiger ist es an dieser
Stelle, die Bedeutung der für die NRG typischen Energiefluss-Diagramme kurz zu erläutern.
Abbildung 3.1 zeigt ein Beispiel für ein solches Diagramm, das mit den gleichen Parametern
wie Figur 4 in [6] berechnet wurde. Dort sind die Eigenenergien im N-ten Iterationsschritt
für drei verschiedene Kombinationen von Ladung Q und Gesamtspin S und ungerade N
aufgetragen. Ein Blick auf das Flussdiagramm bestätigt die oben getroffene Aussage, dass
die Eigenenergien der H N unabhängig von N immer die gleiche Größenordnung haben. Das
Auftreten von Fixpunkten erkennt man an Bereichen, in denen sich die Eigenenergien zu
konstanten Q und S kaum ändern. Das Flussdiagramm von Abbildung 3.1 weist drei solcher
Fixpunkte auf. Diese entsprechen denjenigen, die schon in Kapitel 1.3 diskutiert wurden,
und zwar insofern, als NRG-Rechnungen mit den dort angegebenen Modellparametern

32 Kapitel 3: Die Numerische Renormierungsgruppen-Methode
EN
N
Abbildung 3.1: Beispiel für ein Flussdiagramm der Eigenenergien E N mit Q = 0, S = 1 2
(blau), Q = 1, S = 0 (rot) und Q = 1, S = 1 (grün). Die verwendeten Parameter sind
ε f = − 1 2 U, U = 10−3 , ∆ (ω) = ∆ 0 = 2.5 · 10 −5 und δ = 0. Die schwarzen Kurven wurden
mit ∆ 0 = 2.5 · 10 5 , sonst aber unveränderten Parametern berechnet und entsprechen dem
SC-Grenzfall.
genau die Energien ergeben, die in der gezeigten Abbildung an den Fixpunkten auftreten.
Zum Beispiel reproduziert eine Rechnung mit ∆ 0 ≫ U, hier ∆ 0 = 2.5 · 10 5 , sonst aber
unveränderten Parametern die Energien ab N = 65 sehr gut. Diese Ergebnisse sind in
Abbildung 3.1 schwarz eingezeichnet.
Eine sehr umfangreiche Analyse der Fixpunkte des Störstellen-Anderson-Modells ist in
[18] zu finden, hier soll dieses Thema nur kurz angesprochen werden. Das Verhalten des
Hamilton-Operators (2.30) entspricht mit den hier gewählten Parametern zwischen N = 3
und N = 13 dem des FO-Grenzfalls des Anderson-Modells, zwischen N = 15 und N = 59 –
dort mit deutlichen Abweichungen – dem LM-Grenzfall und ab N = 61 dem SC-Grenzfall.
Der Übergang zwischen FO- und LM-Fixpunkt vollzieht sich im Allgemeinen innerhalb
weniger Iterationsschritte, wohingegen sich der Übergang zwischen LM- und SC-Fixpunkt
über viele Iterationsschritte erstreckt. Die ersten beiden Fixpunkte sind instabil, so dass
sich nach Erreichen des stabilen SC-Fixpunktes das Verhalten des Systems nicht mehr
verändert. Ruft man sich nun die zum Abschluss von Kapitel 2.3 angestellten Überlegungen
zur anschaulichen Bedeutung des Hamilton-Operators (2.30) wieder ins Gedächtnis,
erkennt man den Zusammenhang zwischen Fixpunkten und Temperatur. Durch die Trennung
und Ordnung der Energieskalen wurde erreicht, dass H N je nach Größe von N das
System (2.30) bei einer bestimmten Temperatur beschreibt, und damit die verschiedenen

3.2 Berechnung der untersuchten Größen mit Hilfe der NRG 33
Fixpunkte das Verhalten von H SIAM in verschiedenen Temperaturbereichen wiedergeben.
Dieses Konzept wird bei der Berechnung thermodynamischer Größen im nun folgenden
Kapitel noch klarer werden.
3.2 Berechnung der untersuchten Größen mit Hilfe der NRG
Die Numerische Renormierungsgruppen-Methode ermöglicht die Berechnung verschiedener
dynamischer und statischer Größen, beispielsweise der Störstellen-Spektralfunktion und der
Störstellenentropie. In diesem Kapitel werden daher als Vorbereitung auf Kapitel 4 alle
dort diskutierten physikalischen Eigenschaften des Anderson-Modells hergeleitet. Begonnen
wird hierbei mit den thermodynamischen Größen, dem großkanonischen Potential, der
Entropie, der Wärmekapazität und der Suszeptibilität. Von diesen ist hier hauptsächlich
der Anteil der Störstelle von Interesse, da das Ziel dieser Arbeit ist, die Abhängigkeit ihres
Beitrages zu den Eigenschaften des Gesamtsystems von der Füllung des Leitungsbandes
zu klären. Der letzte Abschnitt befasst sich mit der Bestimmung der Störstellenspektralfunktion.
3.2.1 Grundkonzept der thermodynamischen Berechnungen
Die gesamte auf dem Anderson-Modell und der NRG aufbauende Thermodynamik basiert
auf einem Grundgedanken, der in [18] ausführlich erklärt wird. Erst die dort angestellten
Überlegungen erlauben es, die Temperaturabhängigkeit der gesuchten Größen einfach
und zuverlässig zu bestimmen. Sie sollen hier kurz wiederholt werden, um das den folgenden
Abschnitten zugrunde liegende Konzept verständlich zu machen. Die in Kapitel 3.1
vorgestellte Lösungsmethode kann nur Ergebnisse für ein endliches System (3.1) liefern.
Der Zusammenhang zwischen dem unendlichen System H SIAM und dem endlichen System
H N ist aber durch Gleichung (3.2) gegeben. Daher liegt es nahe, die gesuchten Größen
zunächst für ein endliches System H M zu bestimmen und anschließend den thermodynamischen
Limes M → ∞ zu bilden. Da lediglich der Beitrag der Störstelle bestimmt werden
soll, muss noch die entsprechende Größe eines geeigneten Modellsystems HN 0 subtrahiert
werden. Dieses erhält man aus H N durch Auslassung der Störstelle und ihrer Kopplung an
das Leitungsband:
HN 0 ≡ Λ N−1
2
⎡
⎣
N−1
∑
n=0,σ
t n
(c † nσc n+1σ + c † n+1σ c nσ
)
+
N∑
n=0,σ
ε n c † nσc nσ
⎤
⎦ . (3.8)
Weiterhin muss man darauf achten, die in Gleichung (3.1) für die iterative Diagonalisierung
vorgenommene Skalierung mit Λ N−1
2 wieder rückgängig zu machen. Hat man also bereits
H M diagonalisiert, dann tritt in der Zustandssumme folgender Faktor auf:
)
exp
(−βΛ − M−1
2 H M ≡ e −¯β M H M
. (3.9)
Hier wurde folgende Definition eingesetzt:
¯β M ≡ Λ − M−1
2 β = Λ − M−1
2
1
T . (3.10)

34 Kapitel 3: Die Numerische Renormierungsgruppen-Methode
Zusammen mit der Wahl µ = 0 wird die großkanonische Zustandssumme zu:
)
Z M = Sp
(e −¯β M H M
. (3.11)
Der Störstellenbeitrag der Größe O in Iterationsschritt M ist damit gegeben durch
) ( )
〈 〉 Sp
(O M e −¯β M H M
Sp O
OM ≡
Sp ( M 0 e−¯β M HM
0
) − ( ) . (3.12)
e −¯β M H M
Sp e −¯β M HM
0
Der thermodynamische Limes ist
〈 〉 〈 〉
O = lim OM . (3.13)
M→∞
Numerisch ist dieser Limes natürlich nicht durchführbar, weshalb man auf Näherungen
angewiesen ist.
Da die kleinste Energieskala von H M ungefähr 1 ist, bedeutet der Limes M → ∞ praktisch,
dass M groß genug sein muss, damit ¯β M ≪ 1 gilt und die Faktoren e −¯β M H M
nicht vernachlässigbar
klein sind (alle Eigenenergien sind ja positiv). Um aber die Größe O schon nach
wenigen Iterationsschritten bestimmen zu können, teilt man ¯β M H M und ¯β M HM 0 in drei
Anteile auf. Der erste Anteil enthält nur Erzeuger und Vernichter mit n ≤ N (N < M),
der dritte nur Erzeuger und Vernichter mit N + 1 ≤ n ≤ M und der zweite nur die Terme,
die die beiden anderen miteinander verbinden. Auch O M und OM 0 sollen in zwei Anteile
aufgespalten werden können. Damit hat man:
¯β M H M = ¯β N H N + ¯β N H I + ¯β M R M,N+1 , (3.14)
O M = O N + O M,N+1 . (3.15)
Dabei wirkt O M,N+1 nur auf die Plätze der Kette mit N+1 ≤ n ≤ M. Der Verbindungsterm
H I ist gegeben durch
)
H I ≡ Λ N−1
2 t N
(c † N,σ c N+1,σ + c † N+1,σ c N,σ
(3.16)
und das Restglied R M,N+1 ist einfach
⎡
R M,N+1 ≡ Λ M−1
2
⎣
M−1
∑
n=N+1,σ
t n
(c † nσc n+1σ + c † n+1σ c nσ
)
+
M∑
n=N+1,σ
ε n c † nσc nσ
⎤
⎦ . (3.17)
Die genauen Ausdrücke für O M und OM 0 hängen natürlich davon ab, welcher Größe der
Operator O entspricht. Für HM 0 und O0 M
gelten die obigen Gleichungen entsprechend.
Entscheidend ist nun, dass bei Durchführung dieser Separation und Vernachlässigung des
Terms H I die resultierenden Anteile in Gleichung (3.12) vollkommen unabhängig voneinander
sind und sich alle Terme, die die Operatoren c n>N,σ enthalten, aus der Berechnung des
thermodynamischen Mittelwerts 〈 〉
O M herauskürzen. Abbildung 3.2 zeigt dieses Vorgehen
schematisch. Behandelt man also für beliebig große M > N den Term H I als Störung

3.2 Berechnung der untersuchten Größen mit Hilfe der NRG 35
ε -1 ε 0 ε 1 ε N-1 ε N ε Resultat
t t
N+1
-1 0 ...
t t ε M
N-1 N ...
Vernachlässigung von H I
H M
ε 0 t ε 1 ε N-1 ε N ε N+1
...
t t ε M
0 N-1 N ...
H M
0
Vernachlässigung von H I
0
Abbildung 3.2: Schematische Darstellung der vorgenommenen Näherung zur Berechnung
thermodynamischer Größen.
und berechnet 〈 〉
O M in Störungstheorie, dann ist die nullte Ordnung durch Gleichung
(3.12) ausgewertet für M = N gegeben. Die Korrektur erster Ordnung ist null und die
Korrektur zweiter Ordnung ist von der Größenordnung ¯β NΛ
Z −1
N
. Ist dieser Wert klein, so
erhält man aus den Daten des N-ten Iterationsschritts eine gute Näherung der Größe O
des Anderson-Modells bei der Temperatur T = 1 β .
Andererseits kann man sich diese Beobachtung auch zu Nutze machen, wenn man die Größe
O mit einer vorgegebenen Fehlertoleranz ¯β bei verschiedenen Temperaturen bestimmen
will. Statt der Temperatur β legt man also den gewünschten Fehler ¯β fest und erzeugt
dadurch gemäß Gleichung (3.10) eine Reihe von Temperaturen T N . Die obigen Überlegungen
zeigen nun, dass Gleichung (3.12) ausgewertet für M = N die Eigenschaft O des
Anderson-Modells bei der Temperatur T N bis auf Terme der Ordnung ¯β
Λ Z−1 N
korrekt wiedergibt.
Damit lassen sich nach dem N-ten Schritt der iterativen Diagonalisierung von
(2.30) die thermodynamischen Eigenschaften des Anderson-Modells bei der Temperatur
T N berechnen, wodurch die benötigte Rechen- und Speicherkapazität sehr klein gehalten
wird. Vollkommen unproblematisch ist dieses Vorgehen jedoch nicht, insbesondere muss ¯β
vernünftig gewählt werden.
Die obige Argumentation ist, wie eingangs bereits erwähnt, noch wesentlich ausführlicher
in [18] zu finden. Insbesondere wird dort in Anhang F die hier nur angedeutete störungstheoretische
Rechnung explizit durchgeführt.
3.2.2 Freie Energie, Entropie und Kondo-Temperatur
Eine der zentralen Größen der vorliegenden Untersuchung ist der Beitrag der Störstelle zur
Entropie, da dieser unter anderem die Bestimmung der Kondo-Temperatur erlaubt. Vorher
müssen aber die Zustandssumme und das großkanonische Potential berechnet werden, das
wegen µ = 0 identisch mit der Freien Energie ist.
In Abwesenheit eines äußeren Magnetfelds hängen die Eigenenergien lediglich von drei der
vier Quantenzahlen ab, mit deren Hilfe die Eigenzustände charakterisiert werden, nämlich
von der Ladung Q, dem Gesamtspin S und der Quantenzahl r, also E m = E Q,S,r . Bezüglich

36 Kapitel 3: Die Numerische Renormierungsgruppen-Methode
der vierten Quantenzahl, der z-Komponente des Gesamtspins, liegt demnach eine (2S + 1)-
fache Entartung vor, da S z = −S, −S + 1,...,S − 1,S. Damit ist die Zustandssumme
)
Z N = Sp
(e −¯βH N
= (2S + 1) ∑ (N)
−¯βE
e
Q,S,r
. (3.18)
Q,S,r
Wegen der Beschneidung des Hilbert-Raumes ist die Anzahl der Summanden in dieser
Summe überschaubar und die Berechnung kein großes Problem. Aus der Zustandssumme
erhält man sofort die Freie Energie
F (T N ) = −T N ln (Z N ) mit T N =
N−1
Λ− 2
¯β
. (3.19)
Bekanntlich ergibt die Ableitung der Freien Energie nach der Temperatur die Entropie.
Da die Ableitung aber numerisch durchgeführt werden muss und in jedem Schritt der
iterativen Diagonalisierung die Grundzustandsenergie von allen Eigenenergien abgezogen
wurde, ist etwas Vorsicht geboten. Das Abziehen der Grundzustandsenergie in jedem Iterationsschritt
ist essentiell, da das Spektrum der Eigenenergien von H N sonst auch negative
Energien enthielte, die sehr schnell zu einem Überlauf bei der numerischen Berechnung der
Zustandssumme führen würden. Der zusätzliche Faktor e¯βE G,N
in Gleichung (3.18) mit der
Grundzustandsenergie E G,N von H N trägt zu Gleichung (3.19) lediglich den zusätzlichen
Summanden ¯βT N E G,N = Λ − N−1
2 E G,N bei. Dies ist kein Problem, solange nur ein einzelner
Iterationsschritt betrachtet wird. Da aber bei der numerischen Differentiation Differenzenquotienten
aus Werten der Freien Energie gebildet werden müssen, die aus verschiedenen
Iterationsschritten stammen, müssen die Beiträge der verschiedenen Grundzustandsenergien
explizit berücksichtigt werden. Die notwendigen Korrekturterme erhält man, indem man
mittels Gleichung (3.3) den Hamilton-Operator H N auf H −1 zurückführt. Wie in Kapitel
3.1.1 gefordert, wird der Differenzenquotient entweder aus den Werten der ungeraden oder
aus den Werten der geraden Iterationsschritte bestimmt. Im verbleibenden Teil dieses Abschnitts
sei N gerade. Die Ableitung wird dann aus der Freien Energie bei T N−1 und T N+1
berechnet. Des Weiteren wird die Freie Energie, wie sie aus dem N-ten Iterationsschritt
nach Abzug der Grundzustandsenergie resultiert, mit F (N)
SIAM
bezeichnet, die korrekte Freie
Energie hingegen mit F N . Gesucht wird somit der Wert des folgenden Ausdrucks
S
( 1
2 (T N−1 + T N+1 )
)
= − ∂F
∂T ≈ −F N+1 − F N−1
T N+1 − T N−1
, (3.20)

3.2 Berechnung der untersuchten Größen mit Hilfe der NRG 37
der die Entropie des Systems bei T
N ′ ≡ 1 2 (T N−1 + T N+1 ) liefert. Nun stehen H N−1 und
H N+1 wie folgt in Verbindung mit H −1 , dem Startpunkt der Iterativen Diagonalisierung:
⎡
N+1
∑
N∑
H N+1 = Λ N+2
2 H −1 + Λ N 2 ⎣ ε n c † nσc nσ + t n
(c † nσc n+1σ + c † n+1σ nσ) ⎤
c ⎦
n=0,σ
n=−1,σ
−
(E G,N+1 + √ )
ΛE G,N + ΛE G,N−1 + · · · + Λ N+1
2 E G,0
} {{ }
H N−1 = Λ N 2 H −1 + Λ N−2
2
−
⎡
⎣
N−1
∑
n=0,σ
≡∆E N−1
ε n c † nσ c nσ +
N−2
∑
n=−1,σ
t n
(c † nσ c n+1σ + c † n+1σ c nσ) ⎤ ⎦
(E G,N−1 + √ )
ΛE G,N−2 + ΛE G,N−3 + · · · + Λ N−1
2 E G,0
} {{ }
≡∆E N−1
. (3.21)
Dementsprechend erhält man aus der Diagonalisierung dieser Hamilton-Operatoren die
Freien Energien
F (N+1)
SIAM = −T (
N+1 ln (ZN+1 ) + ¯β∆E
)
N+1
F (N−1)
SIAM = −T (
N−1 ln (ZN−1 ) + ¯β∆E
)
N−1 , (3.22)
woraus natürlich sofort folgt:
F N+1 = F (N+1)
SIAM + Λ− N 2 ∆EN+1
F N−1 = F (N−1)
SIAM
+ Λ−
N−2
2 ∆E N−1 . (3.23)
Mit Gleichung (3.23) ist es dann sehr einfach, den benötigten Differenzenquotienten (3.20)
und damit die Entropie zu bestimmen:
(
)
S ( T N
′ ) F (N+1)
SIAM − F (N−1)
SIAM
+ Λ − ( N−2
2 Λ −1 )
∆E N+1 − ∆E N−1
≈ −
= −
(
F (N+1)
SIAM − F (N−1)
SIAM
T N+1 − T
) N−1
+ Λ − N 2
(E G,N+1 + √ )
ΛE G,N
T N+1 − T N−1
(3.24)
Dieser Ausdruck stellt aber die Gesamtentropie des Anderson-Modells dar, nicht nur den
Störstellenanteil. Wie weiter oben beschrieben, müsste man die gleiche Größe noch für
das freie System HN 0 berechnen und von (3.24) abziehen. In den meisten Fällen ist dies
jedoch nicht notwendig, da dieser Beitrag kaum von der Temperatur abhängt, also in
guter Näherung konstant ist. Dies ist leicht einzusehen, wenn man daran denkt, dass HN
0
im Prinzip ein ideales Fermigas repräsentiert, dessen Zustandssumme sich leicht aus den
entsprechenden Einteilchen-Energien ε 0 i bestimmen lässt:
Z 0 N = [ N
∏
i=0
(
1 + e −βε0 i
) ] 2
. (3.25)

38 Kapitel 3: Die Numerische Renormierungsgruppen-Methode
Die kleinsten Einteilchenenergien sind von der Größenordnung ω l . Die Temperaturen T =
1
β
, die man mit der NRG typischerweise betrachten will, sind aber betragsmäßig wesentlich
kleiner als 1, was wiederum bedeutet, dass β sehr groß ist. Dadurch wird die Zustandssumme
haupsächlich von den Einteilchenenergien nahe ω l bestimmt und ist sehr
groß (ZN 0 ≫ 1). Also ist der Logarithmus der Zustandssumme in diesem Temperaturbereich
Z sehr flach. Um ihn nennenswert zu ändern, muss man die Temperatur sehr stark
erhöhen, so dass etwa βω l ≈ 1. Dies ist aber nun kein Temperaturbereich mehr, der bei Anwendung
der NRG untersucht wird. Für die Ableitung der Freien Energie folgt aus diesen
Überlegungen die folgende Abschätzung:
S 0 = − ∂F 0
∂T = − ∂
∂T
(
−T lnZ
0 ) = lnZ }{{}
0 +T ∂lnZ0
∂T
≈const. } {{ }
≈0
(3.26)
Das ist leicht einzusehen. Denn die Einteilchenzustände des Fermigases sind bei T = 0 bis
zur Fermikante voll besetzt und über der Fermikante unbesetzt. Für T > 0 wird die Fermi-
Dirac-Verteilung aber lediglich in einem Bereich T um die Fermienergie herum verändert.
Da im Allgemeinen T ≪ ω l gilt, ist dieser Bereich sehr klein verglichen mit der Bandbreite.
Daher kann man erwarten, dass weder die Entropie noch die magnetische Suszeptibilität des
Bades im untersuchten Temperaturbereich eine starke Temperaturabhängigkeit aufweisen.
In der Tat kann das auch mit Hilfe der NRG nachgewiesen werden. Insgesamt gilt also:
S imp
(
T
′
N
)
= S
(
T
′
N
)
− const. (3.27)
Zur Bestimmung des Störstellenbeitrags zur Entropie genügt es also, eine Konstante von
Ausdruck (3.24) abzuziehen. Mit Hilfe dieses Ergebnisses ist es nun möglich, die Kondo-
Temperatur zu definieren. Wie in der Einleitung bereits erklärt, markiert T K den Übergang
des Systems von LM-Verhalten hin zum SC-Verhalten. Dies zeigt sich in der Störstellenentropie
sehr deutlich. Denn im LM-Regime verhält sich die Störstelle effektiv wie ein einzelner
Spin mit S = 1 2
. Da der Rest des Systems nicht davon beeinflusst wird, ob dieser
Spin ein ↑- oder ein ↓-Spin ist, muss man die Anzahl der Mikrozustände des Systems ohne
Störstelle einfach verdoppeln, um die Anzahl der Mikrozustände des Systems mit Störstelle
zu erhalten. Die Verdoppelung der Mikrozustände entspricht einem Beitrag der Störstelle
zur Entropie von ln2.
Im SC-Regime hingegen ist das effektive Bild des Anderson-Modell das folgende: Die Störstelle
koppelt so stark an den ersten Kettenplatz, dass diese beiden Plätze quasi vom Rest
der Kette abgespalten werden. Jede Anregung, die diese Plätze mit den anderen Plätzen
verbindet, ist so hochenergetisch, dass sie bei den betrachteten tiefen Temperaturen keine
Rolle mehr spielt. Das gesonderte System aus Störstelle und erstem Kettenglied bildet
dann einen Singulett-Grundzustand aus, der keinen Beitrag zur Gesamtentropie leistet.
Demnach ist der Störstellenbeitrag zur Entropie im SC-Regime null. Ein typisches Beispiel
hierfür zeigt Abbildung 3.3 mit einer Kondo-Temperatur von 2.69 · 10 −8 . Hier kann man
auch schon eine Schwäche der in Kapitel 3.2.1 vorgestellten Näherung erkennen. Da die
Zustandssumme Z N in den ersten Schritten der iterativen Diagonalisierung noch nicht sehr
viel größer als 1 ist, sind auch die Korrekturen zweiter Ordnung noch nicht vernachlässigbar.
Da im Beispiel jedoch nur die ersten drei bis vier Datenpunkte betroffen sind, kann

3.2 Berechnung der untersuchten Größen mit Hilfe der NRG 39
ca. ln 2
S(T)
S(T)
Abbildung 3.3: Typisches Beispiel für den Verlauf der Entropie. Die verwendeten Parameter
sind U = 1, ε f = −0.5, ∆ (ω) = ∆ 0 = 0.03, δ = 0 und Λ = 2.5. Die Kondo-Temperatur
T K beträgt 2.69 · 10 −8 .
T
man diese Schwäche noch verzeihen. Bei der Betrachtung eines verschobenen Leitungsbandes
wirkt sie sich jedoch wesentlich schwerwiegender aus, wie die Ergebnisse aus Kapitel 4
zeigen werden.
Weil sich der Übergang vom LM- zum SC-Fixpunkt relativ langsam und kontinuierlich
vollzieht (siehe auch Abbildung 3.1), kann man die Kondo-Temperatur als die Mitte dieses
Übergangs definieren. Praktisch bestimmt man hierzu den Wendepunkt der Entropie S imp ,
also die Nullstelle der zweiten Ableitung nach der Temperatur. Details zur numerischen
Ableitung sind in Anhang C.2 zu finden.
∂ 2 S
∂T 2 ∣ ∣∣∣TK !
= 0 ⇒ T K (3.28)
3.2.3 Wärmekapazität und Koeffizient der spezifischen Wärme
Zur Berechnung der Wärmekapazität der Störstelle C imp muss nicht viel gesagt werden.
Sie ist durch
C imp = T ∂S imp
(3.29)
∂T
definiert. Da bei tiefen Temperaturen, genauer im SC-Regime, die Wärmekapazität linear
von der Temperatur abhängt, also C imp = γT gilt, erhält man den Koeffizienten der spezifische
Wärme γ durch einfache Ableitung von S imp . Demnach besteht das einzige Problem

40 Kapitel 3: Die Numerische Renormierungsgruppen-Methode
der Berechnung darin, einen guten numerischen Ableitungsalgorithmus zu implementieren.
Details zu diesem sind in Anhang C.2 angegeben. Der Wert von γ wird zusammen mit
der Störstellensuszeptibilität benötigt, um das dimensionslose Wilson-Verhältnis (Kapitel
3.2.5) zu bestimmen.
3.2.4 Effektives magnetisches Moment und Suszeptibilität
Die Berechnung der magnetischen Suszeptibilität geht von der Standarddefinition
⎛
∫ β
⎞
χ ≡ (gµ B ) 2 〈 〉 〈 〉
⎝
2 Sz (τ) S z dτ − β Sz ⎠ (3.30)
0
aus, die auch in [6] verwendet wird. Hier ist S z (τ) durch e τH S z e −τH gegeben. Die Erwartungswerte
〈 ... 〉 entsprechen der Definition aus Gleichung (3.12). Da [H,S z ] −
= 0,
vereinfacht sich dieser Ausdruck zu
( 〈S
χ = (gµ B ) 2 〉 〈 〉 )
2 2
β z − Sz . (3.31)
Der zweite Erwartungswert ergibt null, da kein magnetisches Feld anwesend ist und somit
die Vielteilchenenergien nicht von S z abhängen:
〈
Sz
〉
=
1
Z
∑
S∑
Q,S,r S z=−S
〈
Q,S,Sz ,r ∣ ∣e −βH S z
∣ ∣ Q,S,S z ,r 〉 = 1 Z
∑
Q,S,r
e −βE Q,S,r
S∑
S z=−S
S z
} {{ }
=0
= 0 .
(3.32)
Den ersten Erwartungswert in Gleichung (3.31) kann man zunächst auf folgende Form
bringen:
〈
S
2
z
〉
=
1
Z
∑
Q,S,r
e −βE Q,S,r
S∑
S z=−S
S 2 z . (3.33)
Die Summen über S z sind leicht auszuwerten. Für ganzzahlige Werte von S ist ein Blick
in eine Formelsammlung ausreichend:
S∑
S z=−S
S 2 z = 2 S ∑
S z=0
S 2 z
= 2S
(S + 1) (2S + 1)
6
= (2S + 1) (2S + 1)2 − 1
12
. (3.34)
Für halbzahlige Werte von S erhält man das gleiche Ergebnis, indem man die Summe über
Sz 2 folgendermaßen umschreibt:
⎡
⎤
S∑ ∑2S z
( )
Sz 2 = 2⎣
i 2 S−
∑
1 2
− i 2 ⎦
2
S z=−S
i=1 i=1
[
1 2S (2S + 1) (4S + 1)
= 2
− 2S ( S − 1 ) ( )]
2 S +
1
2
4 6
6
= 1 3 S (S + 1) (2S + 1) = (2S + 1) (2S + 1)2 − 1
12
. (3.35)

3.2 Berechnung der untersuchten Größen mit Hilfe der NRG 41
Somit ist die magnetische Suszeptibilität in Abwesenheit eines Magnetfelds gegeben durch
χ = (gµ B ) 2 β
Z
∑
Q,S,r
(2S + 1) (2S + 1)2 − 1
12
e −βE Q,S,r
, (3.36)
beziehungsweise übertragen auf die hier angewendete Näherung durch
χ(T N ) = (gµ B ) 2 1
Z N T N
∑
Q,S,r
(2S + 1) (2S + 1)2 − 1
12
(N)
−¯βE
e
Q,S,r
. (3.37)
Obwohl die Suszeptibilität mit Hilfe von Gleichung (3.37) berechenbar ist, wird nicht χ
Tχ
selbst bestimmt, sondern die Größe , die die Dimension eines Spins im Quadrat
(gµ B ) 2
hat und somit ein Maß für das effektive magnetische Moment des Systems ist (denn
m = gµ B S z ). Sie wird daher „effektives magnetisches Moment“ m eff genannt. Dies hat
praktische Gründe. Denn falls das Anderson-Modell mit den entsprechenden Parametern
in einem bestimmten Temperaturbereich LM-Verhalten aufweist, gehorcht die Suszeptibilität
dem Curie-Gesetz χ ∝ 1 T
. Die Temperaturabhängigkeit wird auf einer logarithmischen
Skala bei sehr tiefen Temperaturen untersucht, was dazu führt, dass die Suszeptibilität
im beobachteten Bereich um viele Zehnerpotenzen variiert. Indem man stattdessen
Tχ
(gµ B ) 2
berechnet, gleicht man diese Variation aus und erhält so für alle Temperaturen Werte, die
von der gleichen Größenordnung sind. Auf diesem Wege kommt den Plots dieser Größe
eine ähnliche Bedeutung zu wie den Flussdiagrammen der Eigenenergien von H N (siehe
auch [18]). Den Beitrag der Störstelle zu m eff erhält man, aus zu Abschnitt 3.2.2 analogen
Gründen, durch Abziehen einer Konstante, da m eff
imp für T → 0 asymptotisch gegen 0 gehen
muss (SC-Fixpunkt). Mit den gleichen Parametern, die für Abbildung 3.3 verwendet wurden,
erhält man den in Abbildung 3.4 dargestellten Verlauf des effektiven magnetischen
Moments der Störstelle.
3.2.5 Das Wilson-Verhältnis
Das Wilson-Verhältnis ist der Quotient aus der Störstellensuszeptibilität und dem Koeffizienten
der spezifischen Wärme und ist in den in dieser Arbeit verwendeten Einheiten
definiert als:
R ≡
3π2 χ imp
4(gµ B ) 2 . (3.38)
γ imp
Über das Wilson-Verhältnis lässt sich feststellen, ob das Anderson-Modell mit den gewählten
Parametern Kondo-Verhalten zeigt beziehungsweise wie stark dieses ausgeprägt ist.
Zeigen die Flussdiagramme der Eigenenergien des Anderson-Modells einen deutlich ausgeprägten
Local-Moment-Bereich – dies ist der Fall, wenn U im Vergleich zu V groß ist –
dann sollte bei Temperaturen, bei denen sich das System schon im SC-Regime befindet,
R 2 sein. Ist hingegen V groß im Vergleich zu U, sollte bei diesen Temperaturen R 1
gelten, bei U = 0 sogar R = 1 (siehe [13] und [26]).

42 Kapitel 3: Die Numerische Renormierungsgruppen-Methode
m eff (T)
meff(T)
meff(T)
m eff (T)
T
Abbildung 3.4: Typisches Beispiel für den Verlauf des effektiven magnetischen Moments
m eff . Die verwendeten Parameter sind U = 1, ε f = −0.5, ∆ (ω) = ∆ 0 = 0.03, δ = 0 und
Λ = 2.5. Die Kondo-Temperatur T K beträgt 2.69 10 −8 . Einsatz: Ausschnittsvergrößerung
derselben Kurve für tiefe Temperaturen.
T
Die praktische Berechnung gestaltet sich gegebenenfalls etwas aufwändiger, wenn die Temperaturen
der Wertepaare des effektiven magnetischen Moments, aus dem die Suszeptibilität
bestimmt wird, und die des Koeffizienten der spezifischen Wärme nicht übereinstimmen.
Zunächst muss also χ imp aus m eff
imp durch numerische Differentiation berechnet
werden. Anschließend werden die Datensätze von χ imp und γ imp interpoliert, um einen
Satz gemeinsamer Temperaturwerte zu erzeugen. Bei diesen Temperaturen kann dann das
Wilson-Verhältnis angegeben werden. Details zum verwendeten Interpolationsalgorithmus
und einige Probleme bezüglich der Differentiation sind in Anhang C.2 zu finden.
Hier soll nur noch begründet werden, warum die Störstellen-Suszeptibilität als Ableitung
des effektiven magnetischen Moments bestimmt wird und nicht durch Division durch die
entsprechende Temperatur, wie es Gleichung (3.37) eigentlich nahe legt. Dies hat numerische
Gründe. Im Einsatz von Abbildung 3.4 erkennt man kleine Unstetigkeiten im Tieftemperaturbereich
von m eff
imp . Geht man also von meff imp → 0 für T → 0 aus und zieht
den Wert von m eff bei der tiefsten berechneten Temperatur von den anderen Werten ab,
um den Störstellenanteil zu erhalten, übertragen sich diese Unstetigkeiten auch auf χ imp
und damit auf R. Die Auswirkungen auf die Ergebnisse sind dabei nicht unerheblich, da
die kleinen Unstetigkeiten zu sehr großen Sprüngen führen können. Zurückzuführen sind
sie wohl auf die Beschneidung des Hilbert-Raums. Denn im Lauf der NRG können sich
Energieniveaus kreuzen, so dass von einem Iterationsschritt zum nächsten ein Zustand mit

3.2 Berechnung der untersuchten Größen mit Hilfe der NRG 43
großem S verworfen wird weil seine Energie zu groß wird. Wird dieser dann durch einen
Zustand mit kleinem S ersetzt, dessen Energie klein genug geworden ist, um nicht der
Beschneidung zum Opfer zu fallen, kommt es zu den beobachteten Sprüngen. Indem man
stattdessen differenziert, verhindert man diesen unerwünschten Effekt. Dass dadurch das
Wilson-Verhältnis nicht beeinträchtigt wird, ist leicht einzusehen. Der Anteil des Bades an
χ ist ja einfach eine Konstante, die beim Differenzieren ohnehin wegfällt. Und im für das
Wilson-Verhältnis relevanten Temperaturbereich, dem SC-Regime, geht auch der Störstellenanteil
wegen der Abschirmung des magnetischen Moments durch die Leitungselektronen
gegen eine Konstante. Damit hat man
⎛ ⎞
m eff ∝ Tχ = T ⎝χ imp + χ
} bath
⎠ ⇒ dm eff
{{ } dT
= χ ∂χ imp
imp − T
. (3.39)
} ∂T {{ }
=const.
≈0 im SC-Regime
Dies zeigt, dass es für den betrachteten Temperaturbereich vollkommen ausreicht, m eff zu
differenzieren, um χ imp zu erhalten.
3.2.6 Die Störstellen-Spektralfunktion
Eine sehr aufschlussreiche Größe ist die Störstellen-Spektralfunktion A f (ω,T). Sie stellt
den Beitrag der Störstelle zur Vielteilchen-Zustandsdichte des Gesamtsystems dar. Um
diesen Zusammenhang deutlich herauszuarbeiten, wird im Folgenden zunächst die experimentelle
Bestimmung der auch f-Spektralfunktion genannten Größe A f (ω,T) dargestellt,
wobei inhaltlich die Diskussion aus [4] wiedergegeben wird.
Die Vielteilchen-Zustandsdichte eines Festkörpers kann mittels Photoemissions-Spektroskopie
(PES) und inverser Photoemissions-Spektroskopie (IPES) gemessen werden. Im Falle
der PES wird die Probe mit Photonen einer bestimmten Frequenz bestrahlt. Die Photonen
regen durch Stöße Elektronen aus den gebundenen Zuständen des Festkörpers in
ungebundene Zustände an. Die Energieverteilung der so erzeugten freien Elektronen, den
Photoelektronen, kann dann detektiert werden. Qualitativ entspricht sie dem Produkt aus
Verteilungsfunktion (Fermi-Dirac-Verteilung) und Zustandsdichte f (ω) A(ω). Der damit
zugängliche Frequenz- beziehungsweise Energie-Bereich reicht freilich nur ungefähr bis zum
chemischen Potential µ. Um die Zustandsdichte auch für Frequenzen ω > µ messen zu können,
muss man die IPES verwenden. Hier wird die Probe mit Elektronen einer bestimmten
Energie beschossen, die dann unbesetzte Zustände einnehmen und dabei Photonen ausstrahlen.
Deren Energieverteilung ist proportional zu (1 − f (ω)) A(ω). Setzt man beide
Messungen zusammen, erhält man die Vielteilchen-Zustandsdichte des untersuchten Materials.
Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt natürlich auf den Materialien, die Kondo-
Verhalten zeigen. Im vorliegenden Fall sind das der Halbleiter CaB 6 , der in einer kleinen
Konzentration mit Uran-Atomen dotiert ist. Um nun den Beitrag der Störstellen – hier
also den der f-Elektronen des Urans – zur Zustandsdichte von Ca 1−x U x B 6 zu bestimmen,
misst man zunächst dessen Zustandsdichte, anschließend die des Referenzmaterials CaB 6
und subtrahiert diese voneinander. Das Resultat gibt die durch die Störstellen induzierte
zusätzliche Zustandsdichte wieder, eben die gesuchte f-Spektralfunktion.

44 Kapitel 3: Die Numerische Renormierungsgruppen-Methode
In der Theorie ist man nicht auf ein Referenzsystem angewiesen, da man mit Hilfe von
Vielteilchen-Methoden die Störstellen-Spektralfunktion direkt berechnen kann. Als Grundlage
hierfür sollen kurz einige Ergebnisse der Lineare-Antwort-Theorie erläutert werden.
Diese werden sehr ausführlich in [20] dargestellt und hier nur verkürzt wiedergegeben.
Ausgangspunkt der Betrachtungen ist ein System, das sich zur Anfangszeit t i in einem
Eigenzustand ∣ ∣ Ψα (t i ) 〉 des Hamilton-Operators H 0 befindet. Für Zeiten t > t i wird ein
zeitabhängiges äußeres Feld U (t) eingeschaltet, das über den Operator O 1 mit dem System
wechselwirkt. Damit ist der resultierende zeitabhängige Hamilton-Operator gegeben durch
H (t) ≡ H 0 + U (t)O 1 . (3.40)
Aus der Quantenmechanik ist der Zeitentwicklungsoperator für zeitabhängige Hamilton-
Operatoren bekannt. Er lässt sich leicht herleiten, indem man die Zeitentwicklung
∣ Ψ (t)
〉
= Û (t,t 0 ) ∣ ∣ Ψ (t0 ) 〉 (3.41)
in die Schrödinger-Gleichung einsetzt. Diese liefert dann die folgende Bewegungsgleichung
(wieder mit ħ = 1)
∂
∂tÛ (t,t 0) = H (t)Û (t,t 0) , (3.42)
die man mit der Anfangsbedingung Û (t 0,t 0 ) = ˆ1 leicht integrieren kann und damit die
implizite Gleichung
∫ t
Û (t,t 0 ) = ˆ1 − i H ( t ′) Û ( t ′ )
,t 0 dt
′
t 0
(3.43)
erhält. Diese kann man immer wieder in sich selbst einsetzen und den Zeitentwicklungsoperator
schließlich mit Hilfe des Zeitordnungsoperators T in der folgenden Form schreiben
Û (t,t 0 ) = Te −i R t
t 0
H(t ′ )dt ′ . (3.44)
Die Reaktion des Anfangszustandes ∣ ∣ Ψα (t i ) 〉 auf eine infinitesimal kleine Störung U (t),
die zwischen den Zeitpunkten t i und t wirkt, erhält man dann durch eine Taylorentwicklung

3.2 Berechnung der untersuchten Größen mit Hilfe der NRG 45
von U(t,t i ) bis zur ersten Ordnung. Daher kommt auch der Name dieser Störungstheorie,
Linear-Response.
δ ∣ ∫t
〉 Ψ (t) =
dt 1 δU (t 1 ) δÛ (t,t i)
δU (t 1 )
t i
= −i
∫ t
∣ ∣Ψα (t
∣ i ) 〉
U=0
dt 1 δU (t 1 ) Te −i R t
t 1
H(t ′ )dt ′ O 1 Te −i R t 1
t i
H(t ′ )dt ′ ∣
∣∣∣U=0 ∣ ∣ Ψ α (t i ) 〉
= −i
t i
∫ t
∫ t
= −i
t i
dt 1 δU (t 1 )e −iH(t−t 1) O 1 e −iH(t 1−t i ) ∣ ∣ Ψα (t i ) 〉
t i
dt 1 δU (t 1 )e −iH(t) O H 1 (t 1 ) ∣ ∣ Ψ
H
α
〉
(3.45)
Das Superskript H zeigt hier an, dass der entsprechende Zustand beziehungsweise Operator
in der Heisenberg-Darstellung vorliegt. Bei der Messung einer Observablen O 2 zur Zeit t 2
kann nun der Einfluss der kleinen Störung U (t) bestimmt werden. Ausgedrückt in der
Sprache der Quantenmechanik ist das die Größe
δ 〈 Ψ (t 2 ) ∣ ∣ O2
∣ ∣Ψ (t2 ) 〉 = −i
= −i
∫ t 2
t i
∫ ∞
−∞
dt 1 δU (t 1 ) 〈 Ψ H ∣ [ α O2 H (t 2 ) ,O1 H (t 1 ) ] 〉
∣
− Ψ
H
α
dt 1 δU (t 1 ) Θ (t 2 − t 1 ) 〈 Ψ H ∣ [ α O2 H (t 2) ,O1 H (t 1) ] ∣
−
∣Ψ H α
〉
.
(3.46)
Bildet man hieraus den thermodynamischen Mittelwert, so erkennt man, dass die Antwort
des Systems auf die infinitesimale Störung im Rahme der Linear-Response-Theorie durch
die sogenannte Antwort-Funktion X (t 2 − t 1 ) bestimmt ist. Im eben betrachteten Fall ist
das gerade
X (t 2 − t 1 ) = −iΘ (t 2 − t 1 ) 〈[ O H 2 (t 2) ,O H 1 (t 1) ] −
〉
. (3.47)
Sinn dieser kurzen Erläuterungen ist es, aufzuzeigen, dass messbare Größen direkt mit
Funktionen der Form von Gleichung (3.47) verknüpft sind, also mit dem thermodynamischen
Mittelwert von Kommutatoren. In der Festkörpertheorie definiert man daher unter
anderem zwei Korrelationsfunktionen C > und C < sowie die Antwort-Funktion X (t 2 − t 1 )
wie folgt.
C > (t 2 − t 1 ) ≡ 〈 A(t 2 )B (t 1 ) 〉 (3.48)
C < (t 2 − t 1 ) ≡ 〈 B (t 1 ) A(t 2 ) 〉 (3.49)
X (t 2 − t 1 ) ≡ −iΘ (t 2 − t 1 ) 〈 [A(t 2 ) ,B (t 1 )] ±
〉
(3.50)

46 Kapitel 3: Die Numerische Renormierungsgruppen-Methode
Dabei sind A(t) und B (t) zwei beliebige Operatoren in Heisenberg-Darstellung. In Gleichung
(3.50) gilt das Plus-Zeichen nur dann, wenn A und B zwei fermionische Erzeugungsoder
Vernichtungsoperatoren sind. Die Fourier-Transformierten der beiden Korrelationsfunktionen
(3.48) und (3.49) werden mit C ≶ (ω) bezeichnet. Die Laplace-Transformierte
der Antwortfunktion (3.50) ist folgendermaßen für alle z aus der oberen komplexen Halbebene
definiert:
X (z) =
∫ ∞
0
dt e izt X (t) ≡ 〈〈 A,B 〉〉 z . (3.51)
Die Funktion X ist, wie Gleichung (3.46) zeigt, eine Green-Funktion, die – sofern sie
bekannt oder berechenbar ist – auf relativ einfache Weise die Berechnung verschiedener
physikalischer Größen erlaubt. Hier soll jedoch nicht die Störstellen-Greensfunktion selbst,
sondern die zugehörige Spektralfunktion A(ω) gefunden werden. Diese ist jedoch eng mit
der Antwort-Funktion verbunden, da zunächst per Definition gilt:
A(ω) ≡ − 1 π lim Im X (ω + iδ) . (3.52)
δ→0
Daraus lassen sich leicht die folgenden Beziehungen ableiten:
X (z) = 1
2π
A(ω) = 1
2π
∫ ∞
−∞
dω ′ A(ω′ )
z − ω ′ , (3.53)
[
C > (ω) + C < (ω) ] . (3.54)
Letzere hilft dabei, eine anschauliche Interpretation der Spektralfunktion zu entwickeln.
Die gesuchte Störstellenspektralfunktion erhält man, indem man A = c −1σ und B = c † −1σ
wählt, wobei die Spinrichtung in Abwesenheit eines äußeren Magnetfelds keine Rolle spielt.
Somit entspricht das Matrixelement 〈 Ψ H ∣
α c−1σ (t 2 )c † −1σ (t 1) ∣ 〉 Ψ
H
α , das in der Korrelationsfunktion
(3.48) vorkommt, der Präparation eines Zustandes mit besetzter Störstelle zur
Zeit t 1 , anschließender Entfernung des Störstellen-Elektrons bei t 2 und zuletzt der Messung,
der Wahrscheinlichkeit, dass nach diesem Prozess der ursprüngliche Zustand noch
erhalten ist. Im umgekehrten Fall 〈 Ψ H ∣
α c
†
−1σ (t 1)c −1σ (t 2 ) ∣ 〉 Ψ
H
α wird zunächst ein Zustand
mit unbesetzter Störstelle präpariert. Zur Zeit t 1 wird diese wieder besetzt und anschließend
wieder die Wahrscheinlichkeit dafür gemessen, dass der Ausgangszustand noch vorhanden
ist. Die Korrelationsfunktionen sind das thermodynamische Mittel dieser Matrixelemente
und somit ein Maß für die Lebensdauer der präparierten Zustände. Die zugehörige Spektralfunktion
ist die Fourier-Transformierte der Summe der beiden Korrelationsfunktionen.
Nach der Energie-Zeit-Unschärferelation muss die Fourier-Transformierte der Lebensdauer-
Wahrscheinlichkeitsverteilung die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Energie-Unschärfe
sein. Diese ist aber gerade die durch die beiden Prozesse c −1σ (t 2 ) beziehungsweise c † −1σ (t 1)
zusätzlich zur Energie des Ausgangszustandes Ψ H α eingebrachte Energie und deren Verteilung
damit ein Maß für den Beitrag der Störstelle zur Zustandsdichte des Systems. Somit
entspricht C > (ω) einer PES-Messung und C < (ω) einer IPES-Messung.

3.2 Berechnung der untersuchten Größen mit Hilfe der NRG 47
Da hiermit der Zusammenhang zwischen der Zustandsdichte und der Störstellen-
Spektralfunktion hergestellt ist, kann nun deren explizite Berechnung im Rahmen der
NRG beschrieben werden. Hierzu muss A(ω) auf Größen zurückgeführt werden, die
dabei ohnehin berechnet werden oder leicht zu berechnen sind. Zunächst kann man die
Korrelationsfunktionen umschreiben:
C > (t 2 − t 1 ) = 1 )
(e
Z Sp −βH e iHt 2
Ae iH(t 1−t 2 ) Be −iHt 1
= 1 Z
∑〈 ∣
i e −βH e iHt 2
Ae iH(t 1−t 2 ) ∣ ∣j 〉〈 j ∣ ∣Be −iHt ∣ 1∣i 〉
i,j
= 1 ∑
e −βE i
e i(E i−E j )(t 2 −t 1 ) 〈 i ∣ ∣ 〉〈 ∣ ∣ 〉
A∣j j∣B∣i . (3.55)
Z
} {{ }
i,j
hier ∣ 〈 ∣ 〉∣
i∣ c−1σ∣j ∣
2
Hierbei ist {∣ ∣ i
〉}
die Basis der Eigenzustände des Hamilton-Operators H und die Ei die zugehörigen
Eigenenergien. Durch Fouriertransformation erhält man schließlich die gesuchten
Ausdrücke:
C > (ω) = 1 Z
= 2π Z
C < (ω) = 2π Z
∑
i,j
e −βE i∣ 〈 i ∣ ∫
∣ 〉∣ ∞
c−1σ∣j ∣
2
−∞
d(t 1 − t 2 )e iω(t 2−t 1 ) e i(E i−E j )(t 2 −t 1 )
∑
e −βE ∣ i 〈 i ∣ ∣ 〉∣ c−1σ∣j ∣
2 δ (ω + Ei − E j ) (3.56)
i,j
∑
i,j
e −βE i∣ 〈 j ∣ ∣
∣c −1σ i 〉∣ ∣ 2 δ (ω + E j − E i ) . (3.57)
Gemäß Gleichung (3.54) lässt sich hieraus die Spektralfunktion bestimmen:
A(ω) = 1 ∑
∣ 〈 i ∣ ∣ 〉∣ ( )
c−1σ∣j ∣
2 δ (ω + Ei − E j ) e −βE i
+ e −βE j
Z
i,j
. (3.58)
Prinzipiell ist das Problem damit gelöst. Natürlich erfordert die tatsächliche Berechnung
der benötigten Matrixelemente noch etwas mehr Aufwand – genauer wird dies in Anhang
C.3 beschrieben – aber die grundsätzlich notwendigen Informationen wie Eigenenergien
und Eigenzustände werden in jedem Iterationsschritt der NRG bestimmt.

Kapitel 4
Ergebnisse der NRG
In den Kapiteln 2 und 3 wurden alle wichtigen theoretischen Grundlagen gelegt, die für das
Verständnis der in diesem Kapitel präsentierten Ergebnisse nötig sind. Als erster Schritt
werden die Resultate der in Kapitel 2 beschriebenen logarithmischen Diskretisierung und
der Abbildung auf die halbunendliche Kette auf ihre Verlässlichkeit überprüft. Anschließend
werden die in Kapitel 3.2 genannten Größen für verschiedene Parameterwerte und
Hybridisierungsfunktionen ausgewertet.
4.1 Überprüfung der Kettenparameter
Der in Kapitel 3.1 beschriebene numerische Lösungsalgorithmus ist eine Standard-Methode
der Festkörperphysik. Da ein praxiserprobter Code von Ralf Bulla als Basis verwendet
wurde, sind die Ergebnisse der iterativen Diagonalisierung also vertrauenswürdig, wenn
die Eingabedaten – also die t n und ε n aus Kapitel 2 – es auch sind. Daher besteht der erste
Arbeitsschritt in der vorliegenden Untersuchung darin, die Kettenparameter t n und ε n auf
ihre Plausibilität zu prüfen, da zu ihrer Bestimmung ein neuer Code (Code A) geschrieben
wurde, der die flexible Diskretisierung des Leitungsbandes enthält. Im Fall δ = 0 können die
exakten Bestimmungsgleichungen der t i und ε i aus [7] als Referenz herangezogen werden,
bei δ > 0 hilft die Rekonstruktion der Hybridisierungsfunktion aus der halbunendlichen
Kette mittels Green-Funktionen.
4.1.1 Vorstellung der verwendeten Hybridisierungsfunktionen
In Kapitel 2 wurde die Berechnung der Kettenparameter für beliebige Hybridisierungsfunktionen
und eine individuelle Diskretisierung entwickelt. Prinzipiell ist auch die numerische
Umsetzung kein Problem, wenn man allgemeine Integrationsalgorithmen in die Berechnung
implementiert. Dies erfolgt hier jedoch nicht, da nur bestimmte Klassen von Hybridisierungsfunktionen
untersucht werden, für deren Integrale analytische Formeln hergeleitet
werden können. Diese Hybridisierungsfunktionen werden jetzt mit ihren jeweiligen Parametern
kurz vorgestellt.
Die in dieser Arbeit hauptsächlich verwendeten Hybridisierungsfunktionen sind Potenz-
49

50 Kapitel 4: Ergebnisse der NRG
∆(ω )
(c 1 +c 2 ) ∆ 0
δ
c 2 ∆ 0
-1
1
ω
Abbildung 4.1: Beispiel für Hybridisierungsfunktionen gemäß Gleichung (4.1). Die Zeichnung
zeigt eine flache Hybridisierungsfunktion mit r = 0 und c 1 = 0 (rot) und eine parabelförmige
mit r = 2 und c 1 > 0 (grün).
funktionen, für die die auftretenden Integrale leicht zu berechnen sind. Sie haben hier
folgende allgemeine Form:
{ ( ∣ ∣
∆ 0 c1∣ω − δ r )
+ c2 für ωl ≤ ω ≤ ω u
∆ (ω) =
(4.1)
0 sonst.
Der Parameter ∆ 0 gibt die grundsätzliche Stärke der Hybridisierung an. Die beiden reellen
Koeffizienten c 1 und c 2 verändern Form und Lage von ∆ (ω). Der Faktor c 1 liegt im
Intervall [−1,1] und bestimmt die Steigung beziehungsweise Krümmung der Hybridisierungsfunktion,
c 2 hingegen bestimmt ihren Wert bei ∣ ∣ω − δ ∣ = 0 und ist normalerweise 1.
Für eine flache Hybridisierung wird einfach c 1 = 0 und c 2 = 1 gesetzt. Der Wert von δ gibt,
wie in Kapitel 2 eingeführt, die Verschiebung des Leitungsbandes an. Abbildung 4.1 zeigt
ein Beispiel dieser Wahl für verschiedene Werte von r. Allein anhand der Potenzfunktionen
kann man schon viel über den Einfluss des Wertes der Hybridisierungsfunktion an der
Fermikante lernen. Um aber auch speziell den Einfluss der Steigung der Hybridisierungsfunktion
bei ω = 0 untersuchen zu können, wurde auch ein etwas komplizierteres Modell
entworfen. Dort hat ∆ (ω = 0) stets den gleichen Wert, und auch die Bandkanten liegen
stets bei −1 und 1. Die Steigung bei ω = 0 kann jedoch variiert werden. Zusätzlich bleibt
bei der Variation der Steigung das gesamte spektrale Gewicht, das Integral ∫ 1
−1
∆ (ω), erhalten.
Abbildung 4.2 zeigt dieses Modell schematisch mit all seinen Parametern. Gemäß
dieser Zeichnung muss man ∆ (ω) abschnittsweise definieren:
⎧
⎪⎨ a = const. für − 1 < ω < b
∆ (ω) = − ∆ 0−a
2b
ω + ∆ 0+a
2
für b ω −b
(4.2)
⎪⎩
∆ 0 = const. für ω > −b

4.1 Überprüfung der Kettenparameter 51
∆(ω )
∆ 0
a + ∆ 0
2
a
-1
b -b
1
ω
Abbildung 4.2: Alternatives Modell für die Hybridisierungsfunktion. Bei b = −1 ist ∆ (ω)
trapezförmig.
Für den Parameter b gilt −1 b 0. Links von b und rechts von −b ist die Hybridisierungsfunktion
konstant, zwischen b und −b ist sie eine Gerade. Der Wert von ∆ (ω = 0) ist
so gewählt, dass er genau in der Mitte zwischen a und ∆ 0 liegt. So bleibt die Fläche unter
der Hybridisierungsfunktion auch bei Verschiebung von b konstant. Im Grenzfall a = ∆ 0
erhält man wieder ein flaches Leitungsband. Ein wenig problematisch bei diesem Modell
ist, dass nicht nur die Steigung der Hybridisierungsfunktion bei ω = 0 mit b variiert wird,
sondern auch ihre gesamte äußere Form. Diese hat sicherlich auch einen Einfluss auf das
Verhalten des Anderson-Modells. Man kann aber versuchen dies zu umgehen, indem man
die Differenz zwischen a und ∆ 0 klein wählt.
4.1.2 Nicht-verschobenes Leitungsband (δ = 0)
Die Überprüfung der Kettenparameter für eine Hybridisierungsfunktion mit symmetrisch
um 0 liegenden Cutoffs ist nicht schwierig, solange man sich auf Potenzfunktionen mit
c 2 = 0 beschränkt. Denn in diesem Fall sind die t n durch eine analytische Formel (siehe
(4.4) und (4.5)) gegeben, und alle ε n sind wegen der dann vorliegenden Symmetrie Null.
Eine Bestimmungsgleichung für die Hüpfmatrixelemente t n ist schon in [18] zu finden. Diese
gilt jedoch nur im Fall einer flachen Hybridisierungsfunktion. Bulla ∣ ∣ et al. geben in [7] eine
Gleichung für das Soft-Gap Anderson-Modell mit ∆ (ω) = ∆ 0 ∣ω r an. Diese kann also zur
Überprüfung der t n für δ = 0 verwendet werden. Die Kopplung der Störstelle an das Bad
ist gegeben durch
ξ 0 = 2∆ 0
r + 1 ⇒ t −1 =
√
2∆ 0
π (r + 1) . (4.3)

52 Kapitel 4: Ergebnisse der NRG
Für die t n mit geradem n gilt
(
t n = Λ − n r + 1 1 − Λ −(r+2) 1 − Λ
−(n+r+1) )
2
r + 2 1 − Λ −(r+1) ( ) 1 − Λ −(2n+r+1) 1 ( 2
1 − Λ −(2n+r+3))1 2
. (4.4)
Die t n mit ungeradem n sind schließlich
t n = Λ − n+r
2
r + 1 1 − Λ −(r+2) 1 − Λ −(n+1)
r + 2 1 − Λ −(r+1) (
1 − Λ
−(2n+r+1) )1 ( 2
1 − Λ −(2n+r+3)) 1 2
. (4.5)
Es wurden Vergleichswerte für ∆ 0 = 0.03, r ∈ { 0, 1 2}
und Λ ∈ {2, 2.5, 3, 3.5, 4} mit dem
numerischen Verfahren aus Kapitel 2 sowie den exakten Formeln berechnet und die relative
Abweichung der numerischen von den exakten Werten bestimmt. Die Übereinstimmung
zwischen beiden Werten ist bemerkenswert gut. Das heißt, dass die relative Abweichung
zwischen exakten und numerischen Werten bis auf neun Nachkommastellen – so genau
werden die Daten vom Computer ausgegeben – gerade null ist. In diesem Sonderfall liefert
Code A also sehr präzise Ergebnisse, was Grund zur Annahme gibt, dass er zumindest für
das Modell (4.1) generell richtige Werte produziert.
Will man jedoch die Kettenparameter eines verschobenen Leitungsbandes prüfen, ist man
auf andere Tests angewiesen. Auch das Modell (4.2) ist mit obiger Methode nicht zugänglich.
Der nächste Abschnitt befasst sich daher mit diesem Problem.
4.1.3 Verschobenes Leitungsband (δ > 0)
Arbeitet man mit beliebigen Hybridisierungsfunktionen, lässt sich Code A nicht mehr so
leicht testen wie im vorigen Abschnitt. Dennoch ist es möglich, zumindest qualitativ zu prüfen,
ob er die gewünschte physikalische Situation korrekt in die Kettenparameter übersetzt.
Denn mittels Bewegungsgleichungen für Green-Funktionen kann man die Hybridisierungsfunktion
aus den t n und ε n rekonstruieren. Vorher muss jedoch noch geklärt werden, wie
die Hybridisierungsfunktion mit der Störstellen-Greensfunktion zusammenhängt. Hierzu
geht man von einem Störstellen-Anderson-Modell nach Gleichung (1.3) mit U = 0 aus. Die
gesuchte Green-Funktion ist dann
G fσ (z) = 〈〈 f σ ,f σ
† 〉〉
z . (4.6)
Die Bewegungsgleichung für allgemeine Green-Funktionen der Form (3.51) ist
z 〈〈 A,B 〉〉 z + 〈〈 [H,A] −
,B 〉〉 z = 〈 [A,B] η
〉
. (4.7)
Der Parameter η ist hier ±, je nachdem welcher Art die Operatoren A und B sind. Bei
zwei fermionischen Erzeugungs- beziehungsweise Vernichtungsoperatoren gilt η = +. Setzt
man die Green-Funktion (4.6) in die Bewegungsgleichung (4.7) ein, erhält man
(z − ε f − ∆ (z))G fσ (z) = 1 . (4.8)

4.1 Überprüfung der Kettenparameter 53
Hierfür wurde die Funktion ∆ (z) wie folgt definiert:
∆ (z) ≡ ∑ k
V 2
k
z − ε k
. (4.9)
Die Spektraldarstellung dieser Funktion ist gerade die in Kapitel 2.2 eingeführte Hybridisierungsfunktion
(2.9), da für sie analog zu Gleichung (3.53)
∆ (z) =
∫ ∞
−∞
dω A ∆ (ω)
z − ω
(4.10)
gilt, woraus mit Gleichung (4.9) offensichtlich folgt:
∆ (ω) = ∑ k
V 2
k δ (ω − ε k) . (4.11)
Demnach erhält man die Hybridisierungsfunktion des untersuchten Systems aus der
Störstellen-Green-Funktion. Da bei der Transformation des Hamilton-Operators (2.29)
auf die halbunendliche Kette (2.30) die Störstelle nicht transformiert wird – es gilt ja
f σ (†) = c (†)
−1σ – und außerdem die beiden Hamilton-Operatoren das gleiche System beschreiben,
muss auch die Störstellen-Green-Funktion in beiden Fällen die gleiche sein. Das
heißt:
G −1σ (z) = 〈〈 c −1σ ,c † −1σ
〉〉z = 1
z − ε −1 − ∆ (z) . (4.12)
Ist also die Störstellen-Green-Funktion bekannt, so kann man zumindest für den Fall U = 0
die zugehörige Hybridisierungsfunktion berechnen. Dabei spielt für die Rekonstruktion von
∆ (ω) aus den Kettenparametern die Wahl von U – abgesehen von der Vereinfachung der
Berechnung – keine besondere Rolle. In die Bestimmung der t n und ε n geht die Coulomb-
Abstoßung U schließlich nicht ein.
Somit muss nur noch gezeigt werden, wie man die Störstellen-Green-Funktion mit Hilfe
der Kettenparameter ausdrückt. Auch dieses Problem lässt sich unter Zuhilfenahme der
Bewegungsgleichung (4.7) lösen. Zunächst setzt man A = c −1σ und B = c † −1σ . Das Ergebnis
ist
(z − ε −1 ) 〈〈 c −1σ ,c † 〉〉
−1σ z − t −1〈〈
c0σ ,c † 〉〉
−1σ z = 1 . (4.13)
Als nächstes setzt man allgemeiner A = c nσ und B = c † −1σ mit n > −1, was den folgenden
Ausdruck liefert:
(z − ε n ) 〈〈 c nσ ,c † 〉〉
−1σ z − t n−1〈〈
cn−1σ ,c † 〉〉
−1σ z − t n〈〈
cn+1σ ,c † 〉〉
−1σ z = 0 . (4.14)
Nun seien ab einem endlichen N > 0 alle t n mit n N gleich Null. Dann ist Gleichung
(4.14) ausgewertet für n = N
(z − ε N ) 〈〈 c Nσ ,c † −1σ
〉〉
z − t N−1〈〈
cN−1σ ,c † −1σ
〉〉
z = 0 . (4.15)

54 Kapitel 4: Ergebnisse der NRG
Dies lässt sich nach 〈〈 c Nσ ,c † 〉〉
−1σ auflösen und in Gleichung (4.14) für n = N−1 einsetzen.
z
Die so erhaltene Gleichung wird dann nach 〈〈 c N−1σ ,c † 〉〉
−1σ aufgelöst, in Gleichung (4.14)
z
für n = N − 2 eingesetzt, nach 〈〈 c N−2σ ,c † 〉〉
−1σ aufgelöst und so fort. Am Ende gelangt
z
man mit dieser Methode zu einer Kettenbruchdarstellung der Störstellen-Green-Funktion:
G −1σ (z) =
z − ε f −
z − ε 0 −
1
t 2 −1
z − ε 1 −
t 2 0
. (4.16)
t 2 1
. ..
t 2 N−1
Das bedeutet, dass ∆ (z) gemäß Gleichung (4.12) durch folgenden Kettenbruch gegeben
ist:
∆ (z) =
z − ε 0 −
t 2 −1
z − ε 1 −
t 2 0
. (4.17)
t 2 1
. ..
t 2 N−1
Dieser enthält allerdings nicht die volle Information über die ursprünglich eingesetzte
Hybridisierungsfunktion, da jedes Energieintervall der logarithmischen Diskretisierung in
(4.17) nur mit einem Paar t n und ε n vertreten ist. Die Struktur dieses Kettenbruchs führt
dazu, dass jedes dieser Paare in (4.17) ein Maximum bei z ≈ t 2 n erzeugt. Obwohl er eigentlich
unendlich lang sein müsste, kann man praktisch nur eine endliche Zahl von Kettenparametern
berechnen. Die Anzahl der zur Berechung von Gleichung (4.17) verwendeten
Kettenplätze bestimmt die kleinste Frequenz ω, bei der ∆ (ω) betrachtet werden kann. Um
die rekonstruierte Hybridisierungsfunktion aus (4.17) zu berechnen, muss nach Gleichung
(3.52) nur noch der Imaginärteil von ∆ (z) für z = ω + iδ im Grenzfall δ → 0 ausgewertet
werden. Numerisch ist dieser Limes nicht exakt durchführbar. Stattdessen wählt man δ
klein im Vergleich zur Frequenz, bei der man die Hybridisierungsfunktion berechnen will.
Im Allgemeinen genügt es, δ = νω mit einer kleinen reellen Zahl ν zu verwenden.
Das Ergebnis dieser Rechnung ist eine Folge lorentzförmiger Peaks, deren Höhe abgesehen
von einem Proportionalitätsfaktor dem Wert von ∆ (ω) an der Peakposition entspricht.
Die Breite der Peaks ist durch den Wert von ν bestimmt, der auch aus diesem Grund nicht
zu groß gewählt werden darf. Sonst überlappen die Peaks zu stark und verfälschen das
Ergebnis. Im Folgenden werden die verschiedenen in Kapitel 4.1.1 vorgestellten Modelle
für die Hybridisierungsfunktion auf diese Weise für verschiedene Parameterwerte getestet.
Außerdem wird die hier verwendete Form der logarithmischen Diskretisierung mit der sonst
standardmäßig verwendeten statischen Diskretisierung (siehe Abbildung 2.1 b) und Kapitel
2.2) verglichen. Als erster Test wird eine flache Hybridisierungsfunktion gemäß Modell

4.2 Physikalische Eigenschaften 55
(4.1) mit r = 0, ∆ 0 = 0.03, c 1 = 0 und c 2 = 1 betrachtet. Für die Rückrechnung wurde
Gleichung (4.17) an 10000 Punkten z = ω + iνω mit ν = 0.1, −2 ω 2 und N = 81
ausgewertet. Damit erhält man sehr klare Ergebnisse, wie die Abbildungen 4.3 und 4.4 zeigen.
Um diese zu erzeugen, wurden die notwendigen t n und ε n einmal mit der klassischen,
statischen Diskretisierung des Leitungsbandes und einmal mit der in Kapitel 2.2 vorgestellten
dynamischen Diskretisierung berechnet. Schon auf dieser Ebene der Untersuchung
offenbart letztere Methode ihre Stärken. Ein Vergleich der beiden Abbildungen zeigt, dass
die dynamische Diskretisierung die gewünschte physikalische Situation wesentlich besser
wiedergibt als die normalerweise übliche Methode. Im Fall δ = 0 ist die Diskretisierung
bei beiden Vorgehensweisen identisch. Somit erhält man auch die gleichen Ergebnisse. Betrachtet
man allerdings ein verschobenes Leitungsband, so genügt es bei der klassischen
Methode nicht mehr, den Frequenzbereich von −1 ω 1 zu diskretisieren; man muss
ihn erweitern, zum Beispiel auf −2 ω 2, wie das hier auch getan wurde. Dies verändert
aber die eigentlich vorgegebene Situation. Denn die Diskretisierung sorgt dafür, dass
die Beiträge zum Hamilton-Operator (1.3) nach ihrer Energie eingeteilt und danach über
die verschiedenen Energieintervalle gemittelt werden. Da diese Mittelung nun auch Energiebereiche
miteinbezieht, die eigentlich gemäß der Hybridisierungsfunktion nichts zum
Hamilton-Operator beitragen, entspricht die physikalische Funktion nach der Diskretisierung
nicht mehr der vor der Diskretisierung. Der Effekt dieser Mittelungen äußert sich in
Abbildung 4.4 in den verschiedenen Peakhöhen am oberen und unteren Rand der rekonstruierten
Hybridisierungsfunktion. In Abbildung 4.3 hingegen haben alle Maxima die gleiche
Höhe. Um dies zu verdeutlichen, wurden den rekonstruierten Hybridisierungsfunktionen
ihr jeweils idealisierter Verlauf in einem leichten Grau hinterlegt.
Für eine flache Funktion ∆ (ω) funktioniert die neue Diskretisierung offenbar sehr gut, so
dass nun als zweiter Test des Potenzmodells (4.1) die Kettenparameter für eine parabelförmige
Hybridisierungsfunktion überprüft werden können. Hierfür werden lediglich r und
c 1 verändert, die übrigen Parameter bleiben unverändert. Die neuen Werte sind also r = 2
und c 1 = −1. Abbildung 4.5 zeigt die Ergebnisse der entsprechend rekonstruierten Kurven
für δ = 0, δ = 0.5 und δ = 0.9. Die vorgegebene Hybridisierungsfunktion ist zum Vergleich
in grau hinterlegt. Auch für diesen Fall scheint die Berechnung der t n und ε n verlässliche
Werte zu liefern.
Zum Abschluss dieser Diskussion wird noch das Modell nach Gleichung (4.2) mit der
gleichen Methode getestet. Die zu diesem Zweck gewählten Parameter sind ∆ 0 = 0.03, a =
0.01 sowie b ∈ {−1, −0.15, −0.05}. Auch für diese Hybridisierungsfunktionen funktioniert
die Berechnung der Kettenparameter zuverlässig, wie Abbildung 4.6 zu entnehmen ist.
4.2 Physikalische Eigenschaften
Da die Berechnung der Kettenparameter t n und ε n mit der dynamischen Diskretisierung
aus Kapitel 2.2 offensichtlich zufriedenstellende und verlässliche Ergebnisse liefert, kann
nun mit dem zweiten Schritt der Untersuchung des Kondo-Effekts begonnen werden. Im
nun folgenden Kapitel werden die in Kapitel 3 vorgestellten Untersuchungsmethoden auf
den Anderson-Hamilton-Operator (2.30) angewendet. Dabei werden die Modellparameter

56 Kapitel 4: Ergebnisse der NRG
∆(ω)
ω
∆(ω)
ω
∆(ω)
ω
Abbildung 4.3: Rückrechnung einer flachen Hybridisierungsfunktion nach (4.1) mit r = 0,
∆ 0 = 0.03, c 1 = 0 und c 2 = 1 in blau. Grau hinterlegt ist die skalierte ursprüngliche Hybridisierungsfunktion.
Die Werte der Bandverschiebung δ für die gezeigten Plots sind δ = 0
(oben), δ = 0.5 (Mitte) und δ = 0.9 (unten). Hier wurde die in Kapitel 2.2 vorgestellte
dynamische Diskretisierung (Abbildung 2.1 c)) zur Berechnung der Kettenparameter
verwendet.

4.2 Physikalische Eigenschaften 57
∆(ω)
ω
∆(ω)
ω
∆(ω)
ω
Abbildung 4.4: Rückrechnung einer flachen Hybridisierungsfunktion nach (4.1) mit r = 0,
∆ 0 = 0.03, c 1 = 0 und c 2 = 1 in blau. Grau hinterlegt sind die der Rekonstruktion
entsprechenden idealisierten Kurven. Die Werte der Bandverschiebung δ für die gezeigten
Plots sind wieder δ = 0 (oben), δ = 0.5 (Mitte) und δ = 0.9 (unten). Diese Graphen
zeigen die gleiche Situation wie Abbildung 4.3, wobei die Kettenparameter aber mit der
klassischen Diskretisierung berechnet wurden.

58 Kapitel 4: Ergebnisse der NRG
∆(ω)
ω
∆(ω)
ω
∆(ω)
ω
Abbildung 4.5: Rückrechnung einer parabelförmigen Hybridisierungsfunktion nach (4.1)
mit r = 2, ∆ 0 = 0.03, c 1 = −1 und c 2 = 1 in blau. Grau hinterlegt ist die skalierte
ursprüngliche Hybridisierungsfunktion. Die Werte der Bandverschiebung δ für die gezeigten
Plots sind δ = 0 (oben), δ = 0.5 (Mitte) und δ = 0.9 (unten).

4.2 Physikalische Eigenschaften 59
∆(ω)
ω
∆(ω)
ω
∆(ω)
ω
Abbildung 4.6: Rückrechnung einer Hybridisierungsfunktion nach Gleichung (4.2) mit
∆ 0 = 0.03, a = 0.01 und b = −1 (oben), b = −0.15 (Mitte) und b = −0.05 (unten)
in blau. Grau hinterlegt ist die skalierte ursprüngliche Hybridisierungsfunktion.

60 Kapitel 4: Ergebnisse der NRG
zunächst so gewählt, dass das System ausgeprägtes LM-Verhalten zeigt und erst bei verhältnismäßig
tiefen Temperaturen in das SC-Regime übergeht. Diese Systeme werden im
Folgenden als Kondo-Systeme bezeichnet. So soll untersucht werden, wie die physikalischen
Größen – vor allem jedoch die Kondo-Temperatur T K – von der Füllung des Leitungsbandes
abhängen. Der Vorteil der hier getroffenen Parameterwahl liegt darin, dass die Ergebnisse
der Thermodynamik auch für große Bandverschiebungen (δ → 1) leicht zu deuten und
auszuwerten sind. Doch auch hier werden sich die grundlegenden Probleme der thermodynamischen
Näherung aus Kapitel 3.2.1 zeigen und an manchen Punkten die Interpretation
der Ergebnisse erschweren. Anschließend wird ein System untersucht, das mit δ = 0 kein
Kondo-Verhalten zeigt, um zu testen, ob durch die Verschiebung des Leitungsbandes LM-
Verhalten induziert werden kann.
4.2.1 Entropie und Kondo-Temperatur
Bisher ungeklärt ist seit seiner Einführung in Kapitel 3.2.1, wie der Parameter ¯β gewählt
werden muss, um mit der ebenfalls dort diskutierten Näherung gute Ergebnisse zu erhalten.
Ein Erfahrungswert, der die thermodynamischen Eigenschaften des Anderson-Modells mit
einem symmetrischen Leitungsband (δ = 0) richtig erfasst, ist ¯β = 0.46. Dieser Wert wurde
auch von Krishna-murthy et al. in [18] verwendet. Einen beispielhaften Verlauf der Entropie
eines Kondo-Systems zeigt Abbildung 3.3. Er wurde schon in Kapitel 3.2.2 erläutert. Die
dort gewählten Parameter waren U = 1, ε f = − U 2 , ∆ 0 = 0.03, Λ = 2.5, r = 0, c 1 = 0 und
c 2 = 1. Diese Werte werden noch häufiger verwendet werden. Um einen Überblick über
alle hier vorkommenden Parametersätze behalten zu können, erhält jeder von ihnen einen
eigenen Namen, der das verwendete Hybridisierungsmodell und einen Index enthält. Der
erwähnte Satz trägt daher den Namen „potenz-1“ . Alle verwendeten Namen finden sich
zusammen mit den zugehörigen Parametern in Anhang D.
Der besagte Parametersatz potenz-1 hat für δ = 0 eine Kondo-Temperatur von T K =
2.69 · 10 −8 . Sie liegt auf einer logarithmischen Skala gerade in der Mitte des bei Λ = 2.5
und ¯β = 0.46 beobachtbaren Temperaturbereichs (vergleiche den Wertebereich in Abbildung
4.7). Auf den ersten Blick sieht diese Temperatur sehr unrealistisch aus, mit den
Umrechnungsformeln aus Kapitel 1.5 lässt sie sich jedoch in SI-Einheiten umrechnen. Hierzu
wird als realistische Bandbreite D = 13.6eV, die Ionisierungsenergie von Wasserstoff,
angenommen, da auch die Ionisierungsenergien von möglichen Störstellen wie Uran in dieser
Größenordnung liegen. So entspricht die Temperatur 2.69 · 10 −8 in SI-Einheiten etwa
4.2mK, was experimentell durchaus realisierbar ist.
Beginnt man nun, das Leitungsband zu verschieben, so stellt man fest, dass die Struktur des
Entropieverlaufs zwar erhalten bleibt, die Differenz zwischen LM-Bereich und SC-Bereich
aber kleiner wird und schließlich ganz verschwindet. Dies zeigt Abbildung 4.7. Hier sei
nochmals angemerkt, dass jeweils einige Datenpunkte am oberen Rand der Temperaturskala
nicht zu verwerten sind, da die verwendete Näherung dort noch nicht gültig ist. Das gilt
so für alle auf diese Weise berechneten Größen. Dennoch werden diese Daten gezeigt, um
später ein mit der Bandverschiebung auftretendes Problem besser illustrieren zu können.
Doch woher kommt der Rückgang der Differenz zwischen LM- und SC-Entropie, obwohl
doch bisher für die Wahl von ¯β theoretisch keinerlei Einschränkung existiert? Diese Frage

4.2 Physikalische Eigenschaften 61
S imp δ = 0.0
S imp δ = 0.5
S imp δ = 0.9
S imp δ = 0.99
Simp
Abbildung 4.7: Entropie mit den Parametern potenz-1 für δ = 0, δ = 0.5, δ = 0.9 und
δ = 0.99 jeweils mit ¯β = 0.46.
T
kann eine Betrachtung der Eigenenergien von H N im Verlauf der iterativen Diagonalisierung
beantworten. Bestünde nicht der Zwang, die Dimension des Hilbert-Raums nach
jedem Iterationsschnitt zu reduzieren, so träten die oben geschilderten Probleme wohl nicht
auf. Erinnert man sich an die Diskussion aus Kapitel 2.3, sieht man leicht ein, dass aufgrund
des in den Hamilton-Operatoren H N enthaltenen Skalierungsfaktors Λ N−1
2 der Übergang
von H N zu H N+1 eine Erweiterung des Eigenenergiespektrums zu größeren Energien bewirkt.
Da die Dimension des Hilbert-Raums ohne die Beschneidung mit N exponentiell
anwachsen würde, würde das Spektrum der Eigenenergien schon nach wenigen Iterationsschritten
viele Größenordnungen umfassen.
Nun zur Bedeutung des Parameters ¯β für die Thermodynamik des Anderson-Modells. Er
(N)
sorgt dafür, dass nur die Eigenenergien mit ¯βE
Q,S,r
≈ 1 einen nicht-vernachlässigbaren Beitrag
zur Zustandssumme leisten. Es ist aber eine Eigenschaft der Renormierungsgruppen-
Transformation für das Anderson-Modell, dass sich H N und H N+1 nicht in ihrer Struktur,
sondern nur in dem von ihnen repräsentierten Energiebereich unterscheiden. Dies ist auch
der Grund dafür, dass die Strukturen des Eigenenergiespektrums unabhängig von der Energieskala,
auf der man sie betrachtet, gleich sind. Dies ist ausführlich in [26] beschrieben.
Somit hätte man eine relativ große Freiheit bei der Wahl des Werts von ¯β. Die thermodynamischen
Ergebnisse sähen unabhängig davon gleich aus. Natürlich unterschieden
sie sich, wie in Kapitel 3.2.1 diskutiert wurde, in ihrer Genauigkeit. Ist jedoch ab einem
gewissen Iterationsschritt die Zustandssumme erst einmal groß genug, würde auch das keine
nennenswerte Rolle mehr spielen. Der kritische Punkt ist also die Beschneidung des
Hilbert-Raums, bei der nur die energetisch niedrigsten Zustände für den jeweils nächsten
Iterationsschritt verwendet werden. Die Folge ist, dass das Eigenwertspektrum der H N sich

62 Kapitel 4: Ergebnisse der NRG
Abbildung 4.8: Eigenenergiespektren für die Parameter potenz-1 mit δ = 0, δ = 0.5 und
δ = 0.99.

4.2 Physikalische Eigenschaften 63
Λ n/2 tn
δ = 0
δ = 0.5
δ = 0.9
δ = 0.99
δ = 0.999
δ = 0.9999
Abbildung 4.9: Hüpfmatrixelemente t n skaliert mit Λ n 2 für den Parametersatz potenz-1.
n
nicht mit N ausdehnt, sondern immer den in etwa gleichen Energiebereich abdeckt. Damit
ist der Wert von ¯β nicht mehr frei wählbar. Man muss sicherstellen, dass mit dem gewählten
¯β auch eine repräsentative Menge der Eigenenergien von H N zur Zustandssumme
(N)
beiträgt. Es muss also überhaupt genügend Eigenenergien geben, die ¯βE
Q,S,r ≈ 1 erfüllen
können. Abbildung 4.8 zeigt die zu den Parametern potenz-1 gehörenden Eigenenergiespektren,
aufgetragen gegen die Länge N des Hamilton-Operators H N . Es wurden nur
die jeweils 800 niedrigsten Eigenenergien für die Erstellung der Plots berücksichtigt. Man
erkennt, dass der von den E (N)
Q,S,r
abgedeckte Energiebereich ab einem gewissen Wert von
N weitgehend unabhängig von N wird. Mit zunehmender Bandverschiebung δ rücken die
Eigenergien näher zueinander. In rot ist zusätzlich ein willkürlich gewählter Wert von ¯β
−1
eingezeichnet, der nicht zusammen mit δ variiert wird. Man erkennt, dass die Bandbreite
der Eigenenergien umso kleiner wird, je näher die untere Bandkante an die Fermienergie
rückt. Dies geht so weit, dass bei einem Wert von δ = 0.99 im Bereich um ¯β schon keine
Eigenenergien mehr liegen. Dieser Effekt der Bandverschiebung ist auch schon in den Hüpfmatrixelementen
t n erkennbar. Abbildung 4.9 zeigt diese skaliert mit Λ n 2 für verschiedene
Werte von δ, die übrigen Parameter sind wieder diejenigen von potenz-1. Da die t n letztlich
die Größenordnung der Eigenenergien von H N bestimmen, ist klar, dass Letztere mit der
Erhöhung von δ im gleichen Maße kleiner werden müssen.
Die praktikabelste Lösung des Problems besteht damit eindeutig in der Anpassung von ¯β.
Im Voraus ist es jedoch schwierig, eine gute Wahl zu treffen. Da ein NRG-Lauf nur wenige
Minuten in Anspruch nimmt, wird für jeden Satz von t n und ε n eines Parametersatzes
daher zunächst ein Trockendurchlauf durchgeführt, mit dem das passende ¯β gesucht wird.
Mit diesem wird dann noch ein NRG-Durchgang gestartet, in dem die thermodynamischen
Größen ausgewertet werden. Das funktioniert folgendermaßen: Wie in Abbildung 4.8 zu

64 Kapitel 4: Ergebnisse der NRG
Simp
S imp δ = 0
S imp δ = 0.5
S imp δ = 0.9
S imp δ = 0.99
S imp δ = 0.9999
Abbildung 4.10: Entropie mit einem auf die Bandverschiebung abgestimmten Wert von ¯β
(verwendete Parameter: potenz-1).
T
sehen ist, ändert sich der Wert der größten Eigenenergie ab N ≈ 20 nur noch wenig. Im
letzten Iterationsschritt des Trockendurchlaufs wird dann anhand der Differenz E max −E min
zwischen größter und kleinster Eigenenergie ¯β berechnet. Natürlich ist E min stets null, da
die Grundzustandsenergie in jedem Iterationsschritt abgezogen wird. Als Referenz werden
die Ergebnisse von Parametersatz potenz-1 mit δ = 0 verwendet. Damit ergibt sich die
empirische Formel
¯β = 8.3
E max
. (4.18)
Dieses Vorgehen ermöglicht nun die zuverlässige Berechnung der thermodynamischen Größen.
Abbildung 4.10 zeigt die verbesserten Kurven für den Störstellenbeitrag zur Entropie.
Damit kann nun auch die Kondo-Temperatur gemäß Kapitel 3.2.2 zuverlässig bestimmt
werden.
Zu Beginn wird ein einfacher Fall betrachtet, der bis hin zu 1 − δ = 10 −7 verwertbare
Entropie-Kurven liefert. Dies ist der Parametersatz potenz-1. Bei δ = 0 ergibt sich eine
Kondo-Temperatur von 2.69·10 −8 . Beginnt man nun, die Bandverschiebung zu erhöhen, so
kann man für Werte von δ zwischen 0 und etwa 0.5 kaum eine Änderung von T K beobachten.
Ist δ jedoch größer als 0.5, so beginnt T K deutlich zu sinken. Ab 1 − δ = 10 −2 wird δ in
immer kleineren Schritten erhöht, um sich langsam dem Grenzfall δ → 1 anzunähern.
Gerade in diesem Bereich, wenn die untere Bandkante der Fermienergie sehr nahe kommt,
fällt T K am schnellsten ab. Der Abfall schwächt sich jedoch mit 1 − δ → 0 wieder ab,
so dass die Vermutung naheliegt, dass sich T K für diesen Grenzfall einem endlichen Wert
annähert. Insgesamt geht T K im beobachteten Parameterbereich um ungefähr den Faktor
zehn auf 1.09 · 10 −9 zurück. Dies illustriert Abbildung 4.11.

4.2 Physikalische Eigenschaften 65
TK
TK
1 − δ
Abbildung 4.11: Kondo-Temperatur in Abhängigkeit von 1 −δ für die Parameter potenz-1.
Einsatz: Ausschnittsvergrößerung.
1 − δ
TK
Abbildung 4.12: Kondo-Temperatur in Abhängigkeit von 1 −δ für die Parameter potenz-2.
1 − δ

66 Kapitel 4: Ergebnisse der NRG
Es bleibt die Frage zu klären, warum die Ergebnisse für Werte von 1 − δ kleiner als 10 −7
nicht zu gebrauchen sind. Hierzu muss man zunächst untersuchen, wie sich die Bandverschiebung
genau auf ¯β auswirkt. Wie beabsichtigt, liefert die oben beschriebene Methode
zur Bestimmung von ¯β im Fall δ = 0 ungefähr den Erfahrungswert von 0.46, nämlich auf
zwei Dezimalstellen gerundet 0.46. Bis δ = 0.99 steigt ¯β nach und nach auf einen Wert von
3.31. Ab diesem Punkt steigt ¯β mit δ sehr stark an. So ist für 1 − δ = 10 −3 schon 10.52
und für 1 − δ = 10 −7 schließlich 1047.13. Die entsprechende Temperatur bei N = 1 ist
dann nicht mehr 2.17 wie bei δ = 0, sondern 9.55 · 10 −4 . Die Bandverschiebung verschiebt
also auch den beobachtbaren Temperaturbereich, und das gleich um mehrere Größenordnungen.
Läge die Kondo-Temperatur des hier diskutierten Parametersatzes nicht bei etwa
10 −8 , sondern beispielsweise bei 10 −4 , so würde schon dies allein ausreichen, um die Ergebnisse
unbrauchbar zu machen.
Da dies aber nicht der Fall ist, bedarf es noch einer weiteren Begründung, die im Wert der
Zustandssumme Z N im Iterationsschritt N zu suchen ist. Mit dem geringsten Aufwand
lässt sich die Zustandssumme des freien Referenzsystems HN 0 mittels Gleichung (3.25)
bestimmen, da sich HN 0 aufgrund des fehlenden U-Terms auf Einteilchen-Niveau diagonalisieren
lässt. Die Größenordnung dieser Zustandssumme ZN 0 sollte mit der des vollen
Systems H N vergleichbar sein. Da in der NRG in jedem Iterationsschritt die Grundzustandsenergie
abgezogen wird, erhält man dort nur die mit einem Boltzmann-Faktor skalierte
Zustandssumme. Führt man diese Rechnung für den Parametersatz potenz-1 durch, so
stellt man fest, dass die Zustandssumme ZN 0 bei unverschobenem Band bereits bei N = 6
von der Größenordnung 10 6 ist, also unbestreitbar viel größer als ¯β = 0.4641. Anders sieht
es dagegen im Fall 1 − δ = 10 −7 aus. Hier erreicht ZN 0 eine vergleichbare Größenordnung,
nämlich 10 7 erst bei N = 25. Gleichzeitig ist aber auch ¯β von der Größenordnung 10 3 . Da
die Korrekturterme 2. Ordnung der Störungstheorie aus Kapitel 3.2.1 gerade von ¯β
Λ Z−1 N
bestimmt werden, ist es also wichtig, dass Z N wesentlich größer als ¯β ist. Dies führt natürlich
dazu, dass die Ergebnisse im diskutierten Fall 1 − δ = 10 −7 mit den Parametern
potenz-1 erst ab N > 25 verwertbar sind. Für kleinere N sind die Korrekturen 2. Ordnung
noch nicht vernachlässigbar. Dies entspricht hier einer Temperatur von etwa 1.6 ·10 −8 , die
schon sehr nahe an der Kondo-Temperatur liegt. Somit stehen in der Nähe der Kondo-
Temperatur zu wenige Datenpunkte zur Verfügung, so dass eine zuverlässige Bestimmung
von T K nicht mehr möglich ist. Das geschilderte Problem tritt bei allen hier berechneten
thermodynamischen Größen spätestens dann auf, wenn sich 1 − δ der Kondo-Temperatur
nähert.
Der Parametersatz potenz-2 unterscheidet sich von potenz-1 lediglich durch den erhöhten
Wert von ∆ 0 . Hier findet man für δ = 0 eine Kondo-Temperatur von 1.31 · 10 −4 , was mit
dem schon vorher verwendeten Wert der Bandbreite D einem Wert von einigen Kelvin in SI-
Einheiten entspricht. Angesichts der vorhergehenden Diskussion ist also zu erwarten, dass
T K der Entropie nur bis zu einer Bandverschiebung δ = 0.999 sicher zu entnehmen ist. Dies
ist auch tatsächlich der Fall. Die Ergebnisse der Rechnungen mit den Parametern potenz-2
sind in Abbildung 4.12 gezeigt. Grundsätzlich sind die Verläufe der T K (δ)-Kurven von
potenz-1 und potenz-2 sehr ähnlich. Allerdings senkt sich T K mit δ nicht ebenso stark ab
wie im Fall der Parameter potenz-1. Mit δ = 0.999 ist T K = 6.94·10 −5 . Auch fällt auf, dass
die Datenpunkte in Abbildung 4.12 nicht mehr so glatt verlaufen wie in Abbildung 4.11, was

4.2 Physikalische Eigenschaften 67
TK
Abbildung 4.13: Kondo-Temperatur T K (1 − δ) für den Parametersatz potenz-3.
1 − δ
auf einen größeren Fehler bei der Bestimmung der Kondo-Temperatur hindeutet. Schließlich
setzt die Absenkung von T K im Fall potenz-2 erst bei etwas größeren Bandverschiebungen
ein als im Fall potenz-1. Dies zeigt die Ausschnittsvergrößerung in Abbildung 4.11.
Der Trend der mit Erhöhung der Kondo-Temperatur schlechter werdenden Ergebnisse setzt
sich fort, wie die Untersuchung des Parametersatzes potenz-3 in Abbildung 4.13 zeigt.
Hier wurde nochmals ∆ 0 auf jetzt 0.09 erhöht, was eine Kondo-Temperatur T K (δ = 0) =
6.02 · 10 −4 bedeutet. Der höchste Wert von δ, bei dem die NRG noch verwendungsfähige
Ergebnisse für die Entropie liefert, beträgt 0.97 mit T K (δ = 0.97) = 4.70·10 −4 . Der Verlauf
der Kondo-Temperatur mit steigender Bandverschiebung δ ist mit diesen Parametern schon
recht unspezifisch. Ihre dennoch erkennbare Absenkung ist klein.
In den Rechnungen zu den bisher gezeigten Ergebnissen wurden nur flache Hybridisierungsfunktionen
verwendet, die einfachst mögliche Wahl. Die folgenden Abbildungen zeigen die
Kondo-Temperaturen für einige Hybridisierungsfunktionen gemäß dem Potenzmodell (4.1)
mit r > 0. Abbildung 4.14 zeigt die Kondo-Temperaturen für nach oben geöffnete Potenzfunktionen
mit r = 1, 2, 3, 4, 10 und c 1 = 0.5. Darunter sind in Abbildung 4.15 die nach
unten geöffneten Pendants mit den gleichen Werten von r, jedoch mit c 1 = −0.5, zu sehen.
Als Vergleich ist jeweils auch T K (δ) für die flache Hybridisierungsfunktion von potenz-1
eingezeichnet. Alle jetzt betrachteten Funktionen ∆ (ω) haben im Fall δ = 0 bei ω = 0
den gleichen Wert. In Abbildung 4.14 erkennt man, dass dann auch die entsprechenden
Kondo-Temperaturen fast gleich sind.
Die vorhandenen Unterschiede scheinen jedoch systematisch zu sein. So sind bei δ = 0
die Kondo-Temperaturen für die Parameter mit c 1 = 0.5 stets etwas größer und mit c 1 =
−0.5 stets etwas kleiner als im Fall des Parametersatzes potenz-1. Am größten ist die
Abweichung für r = 1, am kleinsten für r = 10. Die entsprechenden Kondo-Temperaturen

68 Kapitel 4: Ergebnisse der NRG
sind T K (δ = 0) = 3.22 ·10 −8 (potenz-5), T K (δ = 0) = 2.27 ·10 −8 (potenz-4), T K (δ = 0) =
2.73 · 10 −8 (potenz-13) und T K (δ = 0) = 2.68 · 10 −8 (potenz-12).
Erhöht man jetzt δ, so folgt die T K -Kurve umso länger dem Verlauf der Kurve von potenz-
1, je größer der Wert von r ist. Letztlich nähern sich die Kurven mit r > 0 aber einander
wieder an. Für Werte von δ nahe 1 stimmen sie fast überein. Die Kurven mit größerem r
liegen aber weiterhin näher an der Referenzkurve von potenz-1. Die nach unten geöffneten
Hybridisierungsfunktionen führen bei Bandverschiebung zu einem sehr starken Abfall der
Kondo-Temperatur um mehrere Größenordnungen, der sich für δ → 1 wieder abschwächt.
Hat 1 − δ den Wert 10 −5 erreicht, ergeben sich Kondo-Temperaturen zwischen 4.13 · 10 −16
(potenz-4) und 1.07 · 10 −15 (potenz-12).
Umgekehrt bewirken die nach oben geöffneten Hybridisierungsfunktionen mit c 1 = 0.5 bei
für δ > 0 zunächst ein starkes Anwachsen von T K . Dieses wird mit der Annäherung von
δ an 1 jedoch teilweise kompensiert und es kommt wieder zu einem leichten Rückgang.
Dennoch sind die berechneten Werte von T K um ungefähr zwei Größenordnungen größer
als die entsprechenden Werte für potenz-1. Sie liegen beispielsweise bei δ = 0.999 zwischen
4.75 · 10 −7 (potenz-13) und 7.10 · 10 −7 (potenz-5). Anders als bei den nach oben
geöffneten Hybridisierungsfunktionen erkennt man im gezeigten Temperaturbereich noch
keine Sättigung der nach unten geöffneten Funktionen. Doch auch bei diesen scheint die
Kondo-Temperatur im Grenzfall δ → 1 gegen einen endlichen Wert zu tendieren. Im Fall
von potenz-6 geht T K zwischen 1 − δ = 10 −8 und 1 − δ = 10 −12 nur noch von 7.67 · 10 −17
auf 1.92 · 10 −17 zurück. Dies ist im Einsatz von Abbildung 4.15 zu sehen.
Hewson gibt in seinem Buch [13] eine Formel an, die die Abhängigkeit der Kondo-
Temperatur von der Coulomb-Abstoßung U, der Störstellen-Energie ε f und dem Wert der
Hybridisierungsfunktion ∆ (ω) bei ω = 0 beschreibt, sofern sich das System mit diesen
Parametern im Kondo-Regime befindet. Da sich ∆ (ω = 0) im Falle der gerade diskutierten
Potenzfunktionen mit der Bandverschiebung δ ändert, lohnt es, die Übereinstimmung der
gefundenen Werte von T K mit dieser Formel zu überprüfen. Sie lautet:
T K ∝ exp
(
− π∣ ∣ εf
∣ ∣
∣ ∣εf + U ∣ ∣
2U∆ (0)
)
. (4.19)
1
Die Übereinstimmung lässt sich leicht testen, indem man ln (T K ) gegen
∆(0, δ)
aufträgt, da
die Datenpunkte gemäß Gleichung (4.19) eine Gerade ergeben sollten. Dies wird beispielhaft
für die Parametersätze potenz-6 und potenz-7 in Abbildung 4.16 gezeigt. Zusätzlich ist
eine Referenzgerade eingezeichnet, die aus den Kondo-Temperaturen der Parametersätze
potenz-1, potenz-2 und potenz-3 ) jeweils im Fall δ = 0 gewonnen wurde. Sie ist durch die
Gleichung ln (T K )(
1
∆(0 δ)
= − 0.448379
∆(0,δ)
− 2.49193 gegeben. Die beiden betrachteten Hybridisierungsfunktionen
potenz-6 und potenz-7 sind nach unten beziehungsweise nach oben
geöffnete Parabeln. Bei δ = 0 haben beide an der Fermikante ω = 0 den gleichen Wert,
nämlich 0.03. Das bedeutet, beide Kurven ln (T K )(
1
∆(0, δ)
)
beginnen bei
1
0.03 = 331 3 . Die
Parabel für potenz-6 hat bei δ = 1 den Wert ∆ (0, 1) = 0.015, die für potenz-7 erreicht
hingegen den Wert ∆ (0, 1) = 0.045. Damit reicht der Wertebereich, in dem die Übereinstimmung
der berechneten Kondo-Temperaturen mit Gleichung (4.19) untersucht wird,
ungefähr von 1
∆(0) = 22 bis 1
∆(0) = 66.

4.2 Physikalische Eigenschaften 69
TK
T K potenz-5
T K potenz-7
T K potenz-9
T K potenz-11
T K potenz-13
T K potenz-1
Abbildung 4.14: Kondo-Temperatur T K (δ) für die Parametersätze potenz-1, potenz-5,
potenz-7, potenz-9, potenz-11 und potenz-13.
1-δ
T K potenz-6
TK
T K
1 − δ
T K potenz-4
T K potenz-6
T K potenz-8
T K potenz-10
T K potenz-12
T K potenz-1
Abbildung 4.15: Kondo-Temperatur T K (δ) für die Parametersätze potenz-1, potenz-4,
potenz-6, potenz-8, potenz-10 und potenz-12. Einsatz: T K für die Parameter potenz-6.
Hier ist zu erkennen, dass sich der Abfall der Kondo-Temperatur für 1 − T K → 0 wieder
abschwächt.
1-δ

70 Kapitel 4: Ergebnisse der NRG
ln(T K ) potenz-6
ln(T K ) potenz-7
ln(T ref K )
ln(TK)
Abbildung 4.16: Logarithmus der Kondo-Temperatur ln (T K ) in Abhängigkeit von 1
∆(0) .
1
∆(0)
Bei kleinen Bandverschiebungen ergibt sich eine recht gute Übereinstimmung mit Gleichung
(4.19) beziehungsweise mit der Referenzgerade. Für ∆ (0) < 25 und ∆ (0) > 64
erkennt man jedoch, dass die gefundenen T K jeweils deutlich kleiner sind als die Referenzwerte.
Für die Parametersätze potenz-4 bis einschließlich potenz-13 findet man dabei
ähnliche Abweichungen.
Es ist also klar, dass beide Größen, Bandverschiebung und Hybridisierungsfunktion, Einfluss
auf die Kondo-Temperatur des Anderson-Modells haben. Daher wird der Versuch
unternommen, die Anteile der beiden voneinander zu trennen. Hierzu wird zu einem Parametersatz
potenz-x mit r > 0 eine Referenzrechnung mit einer flachen Hybridisierungsfunktion
durchgeführt. Der Parameter ∆ 0 dieser Rechnung wird so gewählt, dass er jeweils
gleich dem Wert der Hybridisierungsfunktion der Rechnung potenz-x bei ω = 0 für jeden
untersuchten Wert von δ ist. Es wird also immer mit δ = 0 gearbeitet, jedoch mit
verschiedenen Werten von ∆ 0 . Die Kondo-Temperaturen für die Parametersätze potenz-6
und potenz-7 sind in den Abbildungen 4.17 und 4.18 den entsprechenden Referenzwerten
gegenübergestellt. Wie weiter oben bereits diskutiert, stimmen die Werte von T K für
potenz-6 und -7 bei δ = 0 nahezu überein. Erhöht man nun δ, verlaufen die Kurven zunächst
noch weitgehend gleich, weichen dann aber nach unten von den Referenzwerten ab.
Diese Abweichung tritt im Fall von potenz-7 schon bei δ ≈ 0.8 auf, im Fall von potenz-6
hingegen erst etwas später bei δ ≈ 0.95. Die Referenzkurven erreichen auf der logarithmischen
Skala recht schnell ihren jeweiligen Grenzwert. Der Grund hierfür ist, dass δ ab dem
Wert von 0.99 in immer kleineren Schritten erhöht wird, so dass auch die Änderungen von
∆ 0 in den Referenzrechnungen immer kleiner werden und nahe an ihrem Grenzwert liegen.
Gerade in diesem Bereich setzt sich der Einfluss der Bandverschiebung durch, die für alle

4.2 Physikalische Eigenschaften 71
T K potenz-6
T K
ref
potenz-6
TK
Abbildung 4.17: Kondo-Temperatur T K in Abhängigkeit von 1 − δ für den Parametersatz
potenz-6 und die zugehörige Referenzrechnung.
1 − δ
TK
T K potenz-7
T K
ref
potenz-7
Abbildung 4.18: Kondo-Temperatur T K in Abhängigkeit von 1 − δ für den Parametersatz
potenz-7 und die zugehörige Referenzrechnung.
1 − δ

72 Kapitel 4: Ergebnisse der NRG
untersuchten Potenz-Modelle nach Gleichung (4.1) zu einer zusätzlichen Absenkung der
Kondo-Temperatur führt.
Der Einfachheit wegen wird nun angenommen, dass die Abhängigkeit der Kondo-
Temperatur von der Bandverschiebung als zusätzlicher Faktor in Gleichung (4.19)
eingeht:
(
T K ∝ exp − π∣ ∣ ∣
∣ εf ∣εf + U ∣ )
+ f (δ) . (4.20)
2U∆ (0)
Dass diese Annahme zumindest eine vertretbare Näherung darstellt, lässt sich leicht zeigen,
indem man die Differenz aus den Werten ln (T K ) der Parametersätze potenz-4 bis potenz-
13 und den entsprechenden Werten ln ( TK
ref )
der Referenzrechnungen bildet und gegen
1 − δ aufträgt. Am Beispiel der Parameter potenz-6 und potenz-7 ist dies in Abbildung
4.19 gezeigt. Dort ist damit zum einen die vom Wert ∆ (ω = 0, δ) verursachte Veränderung
der Kondo-Temperatur ( ) ( )
ln TK ref (δ) − ln TK ref (δ = 0) (4.21)
zu sehen und zum anderen die von der Bandverschiebung δ alleine verantwortete Veränderung
( )
ln(T K (δ)) − ln TK ref (δ) . (4.22)
Um die Werte besser einordnen zu können, ist zum Vergleich ln (T K (δ)) − ln (T K (δ = 0))
aus der Rechnung mit den Parametern potenz-1 eingezeichnet. Die so bereinigten Kurven
zeigen eine klare Ähnlichkeit mit der Vergleichskurve. Generell fällt bei dieser Untersuchung
auf, dass die Absenkung der Kondo-Temperatur aufgrund der Bandverschiebung für
Potenzfunktionen mit positivem Koeffizienten c 1 stets etwas geringer ist als für negatives
c 1 . Die Absenkung für eine flache Hybridisierungsfunktion liegt dazwischen. Auch setzt sich
der Abfall von T K bei negativen c 1 bis zu um einige Größenordnungen kleineren Werten
von 1 − δ fort, als dies bei positivem c 1 der Fall ist.
Nun sollen die Rechnungen für Hybridisierungsfunktionen der Form (4.2) diskutiert werden.
Da dieses Modell weniger Freiheiten bietet als das Potenzmodell, werden lediglich die
zwei Parametersätze stufe-1 und stufe-2 untersucht, die wie die Potenzmodelle mit allen
Parametern in Anhang D zusammengefasst sind. Da im Fall von stufe-1 die Koeffizienten
a und ∆ 0 nahezu gleich sind, zeigt sich bei Variation von b kein Effekt auf T K , da die Temperaturabhängigkeit
der Hybridisierungsfunktion vernachlässigbar klein ist. Etwas anders
sieht es aus, wenn man a = 0.01 wählt. Die Kondo-Temperatur für den Parametersatz
stufe-2 steigt marginal an, wenn b erhöht wird. Diese Ergebnisse sind in Abbildung 4.20
zu sehen. So scheint es, als könne man mit den Hybridisierungsfunktionen (4.2) nichts sonderlich
Interessantes beobachten. Bezogen auf die Kondo-Temperatur mag dies stimmen.
Jedoch treten in den Rechnungen mit den Parametern stufe-2 einige Besonderheiten auf,
die es zu betrachten lohnt. Denn hier handelt es sich um einen Fall, in dem die Temperaturabhängigkeit
des Leitungsbandbeitrags zu den thermodynamischen Größen nicht immer
vernachlässigbar ist. Wie in Kapitel 3.2 erörtert wurde, kann diese dann vernachlässigt
werden, wenn die Hybridisierungsfunktion auf kleinen Energieskalen strukturlos ist. Dies
ist natürlich mit den Parametern stufe-2 nicht der Fall, wenn ∣ ∣ b
∣ ∣ genügend klein wird. Denn
dann hat das Bad auf der Energieskala ∣ ∣ b
∣ ∣ eine sehr ausgeprägte Struktur, die im Grenzfall

4.2 Physikalische Eigenschaften 73
ln(T K 7 )-ln(T K ref7 )
ln(T K ref7 (δ))-ln(T K ref7 (δ=0))
ln(T K 1 (δ))-ln(T K 1 (δ=0))
ln(T K 6 )-ln(T K ref6 )
ln(T K ref6 (δ))-ln(T K ref6 (δ=0))
1 − δ
Abbildung 4.19: Veränderung der Kondo-Temperatur bei verschobenem Leitungsband im
Vergleich zum unverschobenem Band für die Parametersätze potenz-6 und potenz-7.
TK
T K stufe-1
T K stufe-2
Abbildung 4.20: Kondo-Temperaturen für die Parametersätze stufe-1 und stufe-2.
- b

74 Kapitel 4: Ergebnisse der NRG
S(T)
S b = -10 -5
S 0
b = -10 -5
S imp
b = -10 -5
S b = -10 -8
S 0
b = -10 -8
S imp
b = -10 -8
S b = -10 -10
S 0
b = -10 -10
S imp
b = -10 -10
S imp
b = -1.0
T
Abbildung 4.21: Gesamtentropie S, Referenz-Entropie S 0 und Störstellen-Entropie S imp
für die Parameter stufe-2 und verschiedene Werte von b.
b → 0 zu einer Unstetigkeit wird. Dies äußert sich darin, dass sich in den thermodynamischen
Größen des freien Referenzsystems HN 0 etwa bei der Temperatur ∣ ∣ b zusätzliche
markante Strukturen ausbilden. Insgesamt weisen sie bis unterhalb von ∣ ∣ b eine Temperaturabhängigkeit
auf. Dies ist verständlich, da man die Struktur der Hybridisierungsfunktion
erst bei Temperaturen kleiner als ∣ ∣ b außer Acht lassen kann. Dies bedeutet also, dass man
ab einem bestimmten Wert von b, hier etwa ∣ ∣ b 10 −5 , die Referenzgrößen von HN 0 , beispielsweise
S 0 oder m eff
0 , explizit berechnen und von den entsprechenden Größen des vollen
Systems H N abziehen muss, um den Störstellenbeitrag zu erhalten. Die daraus folgenden
Ergebnisse für die Entropie sind in Abbildung 4.21 zusammengefasst. Nähert sich der Wert
von ∣ ∣b ∣ der Skala der Kondo-Temperatur, so überlagern sich die durch die spezielle Form
des Bades eingebrachte temperaturabhängige Struktur und der LM-SC-Übergang. In diesem
Fall können über den Kondo-Effekt keine sicheren Aussagen mehr getroffen werden.
4.2.2 Koeffizient der spezifischen Wärme, magnetisches Moment und
Wilson-Verhältnis
Nach der ausführlichen Diskussion der Entropie und der Kondo-Temperatur sollen nun
auch die anderen in Kapitel 3.2 genannten thermodynamischen Größen untersucht werden.
Dies sind der Koeffizient der spezifischen Wärme, das effektive magnetische Moment, die
magnetische Störstellen-Suszeptibilität und das Wilson-Verhältnis.
Die Temperaturabhängigkeit der genannten Größen ist in allen untersuchten Fällen qualitativ
gleich und hier weniger wichtig als ihre Abhängigkeit von der Bandverschiebung

4.2 Physikalische Eigenschaften 75
γ (T)
δ = 0
δ = 0.5
δ = 0.90
δ = 0.99
Abbildung 4.22: Koeffizient der spezifischen Wärme γ imp für den Parametersatz potenz-1
und verschiedene Werte von δ.
T
δ. Daher wird nur der prinzipielle Verlauf von γ imp , m eff
imp , χ imp und R bei variierender
Temperatur am Beispiel der Ergebnisse der Parameter potenz-1 erläutert.
In Abbildung 4.22 ist der Koeffizient der spezifischen Wärme, berechnet mit den Parametern
potenz-1, für einige Werte von δ gegen die Temperatur aufgetragen. Auch hier erkennt
man – es handelt sich schließlich um die erste Temperaturableitung der Entropie – deutlich
den Übergang vom LM- zum stabilen SC-Fixpunkt. Da sich das Anderson-Modell im
SC-Regime wie eine Fermi-Flüssigkeit verhält [13], sollte sich im entsprechenden Temperaturbereich
ein konstanter Wert von γ imp ergeben. Wie erwartet zeigt sich diese Eigenschaft
in Abbildung 4.22. Der Übergang zwischen dem mit sinkender Temperatur steilen Anstieg
von γ imp und dem konstanten Abschnitt bei tiefen Temperaturen liegt natürlich im Bereich
der Kondo-Temperatur. In Übereinstimmung mit den Ergebnissen von Kapitel 4.2.1
verschiebt sich die gesamte Kurve bei wachsender Bandverschiebung zu tieferen Temperaturen.
Weiterhin erkennt man, dass der Tieftemperaturwert von γ imp mit zunehmendem
δ ebenfalls zunimmt. Bei δ = 0.99 ist die γ imp -Kurve nicht mehr so glatt wie bei δ = 0.
Dies ist wieder ein Anzeichen dafür, dass die thermodynamischen Größen für δ → 1 immer
unzuverlässiger werden. Die hier beobachteten Schwankungen übertragen sich auch auf das
Wilson-Verhältnis.
Die Abbildungen 4.23 und 4.24 zeigen das effektive magnetische Moment m eff
imp der Störstelle
beziehungsweise den daraus bestimmten Anteil der Störstelle an der magnetischen
Suszeptibilität χ imp . Das effektive magnetische Moment hat im LM-Regime einen Wert
von ungefähr 1 4
, ein Anzeichen dafür, dass sich die Störstelle in diesem Temperaturbereich
wie ein Spin- 1 2
verhält. Bei sinkender Temperatur geht meff imp schließlich langsam auf
null zurück. Dies zeigt den Übergang zum SC-Verhalten an, das sich dadurch auszeichnet,

76 Kapitel 4: Ergebnisse der NRG
dass die Leitungselektronen das magnetische Moment der Störstelle abschirmen. Auch hier
beobachtet man mit zunehmendem Wert von δ eine Verschiebung der Kurve zu tieferen
Temperaturen. Die Kurven der Störstellen-Suszeptibilität ähneln stark denen des Koeffizienten
der spezifischen Wärme. Dabei muss allerdings, wie schon in Kapitel 3.2.5 erwähnt,
beachtet werden, dass die gezeigten Kurven χ imp nur im SC-Regime korrekt wiedergeben,
da die Suszeptibilität nur in diesem Temperaturbereich vom Fermi-Flüssigkeitsverhalten
bestimmt wird und damit χ = const. gilt. Nur dann ergibt die Ableitung von m eff
imp nach
der Temperatur auch tatsächlich χ imp . Abgesehen von dieser Besonderheit findet man, dass
sich γ imp und χ imp bezüglich der Variation von δ analog verhalten.
Beispielhaft zeigt Abbildung 4.25 das Wilson-Verhältnis R in Abhängigkeit von der Temperatur.
Es berechnet sich gemäß Gleichung (3.38) aus dem Quotienten von χ imp und γ imp .
Da die Störstellen-Suszeptibilität lediglich im SC-Regime korrekt berechnet wird, sind auch
nur die Werte von R im entsprechenden Temperaturbereich korrekt. Letztlich macht die
Betrachtung dieser Größe auch nur im SC-Grenzfall Sinn, da man nur dann Werte zwischen
1 und 2 erhält, die anzeigen, ob das Anderson-Modell bei den gewählten Parametern
Kondo-Verhalten zeigt, und wenn ja, wie stark dieses ausgeprägt ist (siehe 3.2.5, [13] und
[26]). Dennoch wird das Wilson-Verhältnis in Abbildung 4.25 auch für höhere Temperaturen
gezeigt, um besser erläutern zu können, wie die Ergebnisse ausgewertet werden.
Auch die Probleme der Thermodynamik werden in den Kurven für R sichtbar. Schon im
SC-Regime der Suszeptibilität und des Koeffizienten der spezifischen Wärme tauchten bei
zunehmendem δ immer größere Schwankungen auf (siehe Abbildungen 4.22 und 4.24). Diese
übertragen sich natürlich direkt auf das Wilson Verhältnis, wie in Abbildung 4.25 zu
erkennen ist. Abgesehen von diesen Schwankungen ergeben sich im SC-Regime, hier also
unterhalb der Kondo-Temperatur T K von etwa 2.69 · 10 −8 , unabhängig von δ Werte von
R nahe 2.
Wie jetzt schon mehrmals angesprochen, sind in dieser Arbeit hauptsächlich die Werte von
γ imp , χ imp und R im SC-Regime und ihre Abhängigkeit von der Füllung des Leitungsbandes
von Interesse. Alle drei genannten Größen tendieren im entsprechenden Temperaturbereich
gegen einen endlichen Wert. Dieser wird als arithmetisches Mittel aller in Frage kommenden
Tieftemperaturwerte der jeweiligen Größe berechnet und im Folgenden mit dem Index sc
gekennzeichnet. Somit werden die bei größeren Werten von δ auftretenden Schwankungen
größtenteils ausgeglichen. Abbildung 4.26 zeigt die so bestimmten Werte von γ sc und χ sc
für einige der in Tabelle D.2 aufgeführten Parametersätze in Abhängigkeit von δ. Dort kann
man erkennen, dass γ sc und χ sc umso größer sind, je kleiner die Kondo-Temperatur T K
ist. Im Fall der Parameter potenz-1 kann ein Absinken von T K um ungefähr den Faktor
10 bei der Erhöhung von δ beobachtet werden (siehe Abbildung 4.11). Parallel steigen
γ sc und χ sc von δ = 0 bis 1 − δ = 10 −5 ungefähr um den Faktor 20 an. Beträgt die
Störstellensuszeptibilität ohne Bandverschiebung noch 2.66 ·10 6 , so erhöht sie sich bis zum
größten hier untersuchten Wert von δ auf 4.84 · 10 7 . Das Verhältnis von γ sc zu χ sc , das
bei der in Abbildung 4.26 verwendeten doppelt-logarithmischen Auftragung gerade dem
Abstand zwischen beiden Kurven entspricht, verändert sich hingegen nicht sichtbar.
Die Werte von γ sc und χ sc für die beiden Parametersätze potenz-6 und potenz-7 variieren
bei Steigerung der Bandverschiebung wesentlich stärker als die für die Parameter potenz-1.
Die Ursache hierfür ist die Energieabhängigkeit der verwendeten Hybridisierungsfunktio-

4.2 Physikalische Eigenschaften 77
δ = 0
δ = 0.5
δ = 0.90
δ = 0.99
meff (T)
T
Abbildung 4.23: Effektives magnetisches Moment m eff
verschiedene Werte von δ.
imp
für die Parameter potenz-1 und
χ (T)
δ = 0
δ = 0.5
δ = 0.90
δ = 0.99
Abbildung 4.24: Beitrag der Störstelle zur magnetischen Suszeptibilität χ imp für die Parameter
potenz-1 und verschiedene Werte von δ.
T

78 Kapitel 4: Ergebnisse der NRG
δ = 0
δ = 0.9
δ = 0.99
R(T)
Abbildung 4.25: Wilson-Verhältnis R für den Parametersatz potenz-1 und verschiedene
Werte von δ.
T
γsc und χsc
γ sc potenz-1
χ sc potenz-1
γ sc potenz-6
χ sc potenz-6
γ sc potenz-7
χ sc potenz-7
γ sc potenz-14
χ sc potenz-14
γ sc potenz-15
χ sc potenz-15
Abbildung 4.26: γ sc und χ sc in Abhängigkeit von δ für verschiedene Parametersätze.
1 − δ

4.2 Physikalische Eigenschaften 79
R
R potenz-1
R potenz-6
R potenz-7
R potenz-14
R potenz-15
Abbildung 4.27: Wilson-Verhältnis R in Abhängigkeit von δ für die Parametersätze potenz-
1, potenz-6, potenz-7, potenz-14 und potenz-15.
1 − δ
nen, die schon zu einer wesentlich stärkeren Variation der Kondo-Temperatur führten. Dies
wurde ausführlich in Kapitel 4.2.1 diskutiert. Das starke Absinken von T K von 2.53 · 10 −8
bei δ = 0 auf 5.22 · 10 −16 bei 1 − δ = 10 −5 im Fall potenz-6 spiegelt sich in einem ähnlich
starken Anstieg der Werte von γ sc und χ sc von etwa 10 7 auf etwa 10 14 wider. Auch hier
scheint das Verhältnis beider Größen unverändert zu bleiben. Im Fall von potenz-7 stieg
die Kondo-Temperatur mit zunehmender Bandverschiebung um bis zu eine Größenordnung
(siehe Abbildung 4.18). In Abbildung 4.26 äußert sich das in einem ebenso starken
Absinken der Störstellensuszeptibilität und des Koeffizienten der spezifischen Wärme.
Den Abbildungen 4.11, 4.12 und 4.13, die die Kondo-Temperaturen für die Parameter
potenz-1 , potenz-2 und potenz-3 zeigen, kann man entnehmen, dass der Einfluss der Bandverschiebung
auf T K abnimmt, je kleiner das Verhältnis von Coulomb-Abstoßung U zur
Hybridisierungsstärke ∆ 0 ist. Dies erkennt man auch in den Werten von γ sc und χ sc für
U
die Parameter potenz-14 mit
π∆ 0
= 3. Diese zeigen bei Steigerung von δ praktisch keine
Veränderung.
Abbildung 4.26 gibt weiterhin die Ergebnisse für den Parametersatz potenz-15 wieder,
bei dem das Verhältnis von U zu ∆ 0 so gewählt wurde, dass das System bei δ = 0 kein
Kondo-System ist. Diese sind hier aufgeführt, um noch einmal die Probleme der thermodynamischen
Berechnungen aufzuzeigen, die sich gerade in solchen Fällen ergeben. Diese
Probleme sind auch der Grund, warum die Werte von γ sc und χ sc nur bis δ = 0.7 in der
Abbildung enthalten sind. Hier scheint es so, als ob sich das Verhältnis von χ sc zu γ sc
verkleinert, da der Abstand beider Größen in Abbildung 4.26 leicht zunimmt.
In Abbildung 4.27 sind die Werte des Wilson-Verhältnisses für die in Abbildung 4.26 untersuchten
Parametersätze zusammengefasst. Wie schon anhand von Abbildung 4.26 vermutet
wurde, variiert das Verhältnis von χ sc zu γ sc , aus dem sich das Wilson-Verhältnis ergibt,
für die Parameter potenz-1, potenz-6, potenz-7 und potenz-14 kaum. Für alle untersuchten

80 Kapitel 4: Ergebnisse der NRG
Werte von δ liegen die Werte von R nahe an 2. Die erkennbaren Schwankungen sind auf die
Bildung des arithmetischen Mittels aller zur Verfügung stehenden Tieftemperaturwerte zurückzuführen.
Die in den Abbildungen 4.22 und 4.24 zu sehenden Schwankungen von γ imp
und χ imp – ihr Ursprung liegt wohl wie in Kapitel 3.2.4 diskutiert in der Beschneidung
des Hilbert-Raums – übertragen sich direkt auf R. Da nun nicht so viele Datenpunkte
zur Berechnung des Mittelwerts vorhanden sind, dass sich diese Schwankungen im Mittel
vollständig aufheben, konnten aus den Daten keine glatten Kurven R (δ) erstellt werden.
Dennoch kann man relativ sicher sagen, dass das Wilson-Verhältnis in diesen Fällen zumindest
keine auffällige Abhängigkeit von der Bandverschiebung aufweist. Die Werte nahe
2 zeigen ausgeprägtes Kondo-Verhalten an [26].
Das Wilson-Verhältnis für die Parameter potenz-15 sinkt im Gegensatz dazu von seinem
Wert von 1.68 bei δ = 0 recht schnell ab. Im Vorfeld wurde jedoch schon gesagt, dass diese
Ergebnisse problematisch sind. In Abbildung 3.4 wurde gezeigt, dass das magnetische
Moment unterhalb der Kondo-Temperatur kleine Sprünge aufweisen kann, deren Ursprung
in der Begrenzung der Dimension des Hilbert-Raums zu suchen ist. Ähnliches kann auch
bei der Entropie beobachtet werden. Diese sehr kleinen Sprünge in S und m eff führen zu
teilweise sehr großen Unstetigkeiten in γ imp und χ imp und somit auch in R. Unterhalb der
Temperatur, bei der diese Sprünge auftreten, findet man beispielsweise auch bei den Parametern
potenz-1 ein Wilson-Verhältnis, das unterhalb von 1.5 liegt. Die Schlussfolgerung
daraus ist, dass die Beschneidung des Hilbert-Raums ab einem gewissen Iterationsschritt
doch das Verhalten des gesamten Systems beeinflusst und die Ergebnisse der folgenden
Iterationsschritte nicht mehr vertrauenswürdig sind. Der fragliche Temperaturbereich ist
daher in den Abbildungen 4.22, 4.24 und 4.25 nicht eingezeichnet. Im Fall des Parametersatzes
potenz-15 ist bei δ = 0.7 ein solcher Sprung in m eff schon bei einer Temperatur von
etwa 10 −5 erkennbar, ein Temperaturbereich, der nicht eindeutig dem SC-Regime zuzuordnen
ist. Daher besteht der Verdacht, dass die Schwächen der Thermodynamik in diesem
Fall dazu führen, dass die Ergebnisse nicht mehr zuverlässig sind, bevor das System den
SC-Fixpunkt erreicht hat. Somit kann auch nur der Wert von R bei δ = 0 als vertrauenswürdig
angesehen werden. Die Untersuchung der Störstellen-Spektralfunktion im folgenden
Kapitel kann Hinweise darauf geben, ob diese Annahmen gerechtfertigt sind.
4.2.3 Ergebnisse für die Störstellen-Spektralfunktion
Die Störstellen-Spektralfunktion ist neben den thermodynamischen Größen eine weitere
wichtige Eigenschaft des Anderson-Modells. Sie erlaubt Rückschlüsse auf sein physikalisches
Verhalten, insbesondere auch darauf, ob es Kondo-Verhalten zeigt. Dazu kommt noch,
dass sie nicht den gleichen Einschränkungen unterworfen ist wie die thermodynamischen
Größen, die im vorhergenenden Kapitel ausführlich diskutiert wurden. In diesem Kapitel
wird der Einfluss der Bandverschiebung δ auf die Spektralfunktionen der Parametersätze
potenz-1, potenz-6, potenz-7, potenz-14 und potenz-15 unter hauptsächlich qualitativen
Gesichtspunkten untersucht.
Die Richtlinien, an denen sich die Interpretation der hier gezeigten Spektralfunktionen orientiert,
sind in [4] nachzulesen. Sie sollen im Folgenden nur bei Bedarf kurz wiederholt
werden. Abbildung 4.28 zeigt einen Überblick über die Ergebnisse für den Parametersatz

4.2 Physikalische Eigenschaften 81
potenz-1. Eingezeichnet sind die Kurven für δ = 0, 0.5, 0.9 und 0.99. In diesem Ausschnitt
erkennt man zwischen den einzelnen Kurven kaum Unterschiede. Abbildung 4.28
ist zunächst auch nur dazu gedacht, die Struktur der Spektralfunktion eines typischen
Kondo-Systems zu erklären. Man erkennt zwei relativ breite Maxima, die symmetrisch um
ω = 0 liegen. Bei ω = 0 sieht man eine sehr schmale und hohe Resonanz, die sogenannte
Abrikosov-Suhl-Resonanz, die nur bei Kondo-Systemen auftritt. Die beiden äußeren Maxima
sind direkt den beiden Energieniveaus der Störstelle zuzurechnen. Würde sie nicht mit
dem Leitungsband hybridisieren, wäre die Struktur ihrer Zustandsdichte klar. Sie bestünde
lediglich aus zwei δ-Funktionen bei ε f und ε f +U. Durch das Einschalten der Hybridisierung
werden sie verbreitert, da nun Elektronen zwischen Leitungsband und Störstelle hin- und
herspringen können. Dies entspricht einer endlichen Lebensdauer des Störstellen-Niveaus.
Daher liegen die beiden breiten Maxima im Teilchen-Loch-symmetrischen Fall auch bei
±0.5, was bei den gewählten Parametern gerade ε f und ε f + U entspricht. Die Abrikosov-
Suhl-Resonanz ist ein durch die Anwesenheit der Störstelle verursachter Vielteilcheneffekt,
der auf Streuprozesse der Leitungselektronen mit einer Energieskala in der Größenordnung
der Kondo-Temperatur zurückzuführen ist. Die genauen Ursachen dieser Resonanz
sind jedoch nicht Thema dieser Arbeit. Sie liegt prinzipiell nur im Fall von Teilchen-Lochsymmetrischen
Systemen bei ω = 0, und ihre Breite ist ein Maß für die Kondo-Temperatur.
Damit ist auch erklärt, warum die Abrikosov-Suhl-Resonanzen in Abbildung 4.28 so schmal
sind. Die Rechnungen mit den Parametern potenz-1 ergaben Kondo-Temperaturen von der
Größenordnung 10 −8 .
Abbildung 4.29 zeigt einen Ausschnitt aus Abbildung 4.28, um den Einfluss der Bandverschiebung
δ besser untersuchen zu können. Die Kurve für das unverschobene Band ist noch
symmetrisch, mit Brechung der Teilchen-Loch-Symmetrie durch δ ≠ 0 werden auch die
Spektralfunktionen zunehmend asymmetrischer. In Abbildung 4.29 fallen zwei markante
Veränderungen sofort auf. Zum einen werden die äußeren beiden Maxima mit steigendem
δ immer höher und verschieben sich leicht nach links, zum anderen sinkt die spektrale
Dichte zwischen dem linken Maximum und der Abrikosov-Suhl-Resonanz immer weiter ab,
so dass bei δ = 0.99 ein breiter Bereich entsteht, in dem die Spektralfunktion vernachlässigbar
klein wird. Im Bereich zwischen der Abrikosov-Suhl-Resonanz und dem rechten
Maximum verändert sich die Spektralfunktion zumindest bei Verwendung einer flachen
Hybridisierungsfunktion nur marginal. Der Einsatz in Abbildung 4.28 zeigt eine Vergrößerung
der Abrikosov-Suhl-Resonanz der im Hauptteil gezeigten Kurven. Hier kann man
die Ergebnisse für die Kondo-Temperatur aus Kapitel 4.2.1 nachvollziehen. Mit zunehmendem
δ wird die Resonanz immer schmaler. Ihre Höhe sollte eigentlich mit zunehmendem δ
wachsen, da γ sc und χ sc proportional zu ihr sind und in Kapitel 4.2.2 ein leichter Zuwachs
gefunden wurde. Hierzu reicht aber die Auflösung der Rechnung wegen der sehr kleinen
Halbwertsbreite nicht aus.
Der Parametersatz potenz-1 arbeitet mit einer flachen Hybridisierungsfunktion. Die Unterschiede,
die sich bei Verwendung nicht-konstanter Hybridisierungsfunktionen ergeben,
sind am Beispiel der Parametersätze potenz-6 und potenz-7 in Abbildung 4.30 für δ = 0.99
zu sehen, da für δ = 0 kein Unterschied zu erkennen ist. Die Hybridisierungsfunktion der
Parameter potenz-6 hat die Form einer nach unten geöffneten Parabel. Sie führt dazu,
dass die spektrale Dichte bei kleinen positiven ω zwischen dem rechten Maximum und der

82 Kapitel 4: Ergebnisse der NRG
A(ω)
δ = 0
δ = 0.5
δ = 0.90
δ = 0.99
A(ω)
ω
Abbildung 4.28: Störstellen-Spektralfunktion für den Parametersatz potenz-1 und verschiedene
Werte von δ. Einsatz: Vergrößerung der Abrikosov-Suhl-Resonanzen der gleichen Kurven.
ω
A(ω)
δ = 0
δ = 0.5
δ = 0.90
δ = 0.99
Abbildung 4.29: Störstellen-Spektralfunktion für den Parametersatz potenz-1 und verschiedene
Werte von δ.
ω

4.2 Physikalische Eigenschaften 83
A(ω)
potenz-1
potenz-6
potenz-7
Abbildung 4.30: Störstellen-Spektralfunktionen für die Parametersätze potenz-1, potenz-6
und potenz-7 und δ = 0.99.
ω
Abrikosov-Suhl-Resonanz im Vergleich zur flachen Hybridisierungsfunktion der Parameter
potenz-1 leicht zurückgeht. Im Gegensatz dazu bewirkt die Hybridisierungsfunktion des
Parametersatzes potenz-7 eine leichte Erhöhung der Spektralfunktion in diesem Bereich.
Dies kann man insofern einsehen, als die Verschiebung dieser Funktionen zu einer Abschwächung
beziehungsweise Verstärkung der Hybridisierung mit den Leitungsbandzuständen im
entsprechenden Energiebereich führt. Im Gegenzug fällt die Erhöhung der äußeren Maxima
etwas stärker beziehungsweise schwächer aus.
Die Spektralfunktionen für einen Parametersatz, der höhere Kondo-Temperaturen der Größenordnung
10 −3 liefert, sind in Abbildung 4.31 gezeigt. Es handelt sich um die Ergebnisse
der Parameter potenz-14, die schon in Kapitel 4.2.2 untersucht wurden. Qualitativ bietet
sich bei der Betrachtung dieser Spektralfunktionen das gleiche Bild wie in Abbildung 4.28.
Quantitativ finden sich jedoch einige kleinere Unterschiede. So ist die Erhöhung der äußeren
Maxima bezogen auf ihre Höhe bei δ = 0 größer. Auch verschieben sie sich wesentlich
deutlicher nach links, als dies bei den Spektralfunktionen für den Parametersatz potenz-1
der Fall ist. Die Breite der Abrikosov-Suhl-Resonanz ändert sich nicht wesentlich, allerdings
ist sie im Fall δ = 0.99 deutlich in den negativen Frequenzbereich verschoben, wie im
Einsatz von Abbildung 4.31 zu sehen ist. Insgesamt wirken die durch die Bandverschiebung
verursachten Änderungen der Störstellen-Spektralfunktion in diesem Beispiel, in dem die
Hybridisierung im Vergleich zur Coulomb-Abstoßung wesentlich stärker ist als im Fall der
Parameter potenz-1, auffälliger.
Der letzte Parametersatz, dessen Spektralfunktionen hier untersucht werden, ist potenz-15.
In Kapitel 4.2.2 wurde festgestellt, dass alle dort bestimmten thermodynamischen Größen
keine Aussage über die durch die Bandverschiebung verursachten Veränderungen zulie-

84 Kapitel 4: Ergebnisse der NRG
A(ω)
δ = 0
δ = 0.5
δ = 0.90
δ = 0.99
A(ω)
ω
Abbildung 4.31: Störstellen-Spektralfunktion für den Parametersatz potenz-14. Einsatz:
Vergrößerung des Bereichs um die Abrikosov-Suhl-Resonanzen der gleichen Kurven
ω
ßen. Die Ergebnisse für die Störstellen-Spektralfunktion sind dagegen aussagekräftiger.
Für δ = 0 zeigt das System, wie in Abbildung 4.32 zu sehen ist, gemischt-valentes Verhalten.
Das Verhältnis von Coulomb-Abstoßung zu Hybridisierung ist
U
π∆ 0
= 1, was schon
andeutet, dass bei diesen Parametern und δ = 0 kein Kondo-Effekt zu erwarten ist. Die
Energieniveaus der Störstelle sind ε f = −0.5 und ε f + U = 0.5 und damit vergleichbar
mit der Hybridisierung ∆ 0 = 1 π
≈ 0.32. Das bedeutet, dass hier sehr starke Ladungsfluktuationen
auftreten, die auch bei niedrigen Temperaturen thermisch angeregt werden
können [13]. Damit zeigt das System kein LM-Verhalten mehr und man kann auch keinen
Übergang zwischen LM- und SC-Regime beobachten, wie das bei einem Kondo-System der
Fall wäre. An der Spektralfunktion erkennt man das daran, dass sie lediglich ein breites
Maximum aufweist, das hier wegen ε f = − U 2
bei ω = 0 liegt. Erhöht man δ auf 0.5, verschiebt
sich das Maximum leicht nach links. Weitere Veränderungen sind hier noch nicht
zu erkennen. Bei δ = 0.7 erkennt man jedoch, dass sich bei ω = −1 und ω = −0.2 leichte
Knie ausbilden. In Abbildung 4.33 sind die Störstellen-Spektralfunktionen für δ = 0.9 und
δ = 0.99 dargestellt. Bei δ = 0.9 hat sich das Knie bei ω = −1 aus Abbildung 4.32 schon
zu einem breiten Maximum bei ω ≈ −0.8 weiterentwickelt. Das ursprünglich bei ω = 0
gelegene Maximum ist nun deutlich nach links verschoben, wesentlich schmaler und auch
höher. Bei ω = 0 beginnt sich eine weitere Struktur zu formen. Die Spektralfunktion für
δ = 0.99 wirkt schon wie die eines Kondo-Systems. Die kleine Struktur bei ω = 0 der Kurve
für δ = 0.9 hat sich zu einem eigenständigen Maximum entwickelt. Auch das linke Maximum
ist nun ausgeprägter. Das zentrale Maximum, das an eine Abrikosov-Suhl Resonanz
erinnert, ist doppelt so hoch wie in der Kurve für δ = 0.9 und noch etwas schmaler. Der
Einsatz in Abbildung 4.33 zeigt eine Vergrößerung des Frequenzbereichs um dieses Maxi-

4.2 Physikalische Eigenschaften 85
mum. Falls es tatsächlich eine Abrikosov-Suhl-Resonanz sein sollte, würde das bedeuten,
dass das System eine Kondo-Temperatur von der Größenordnung 10 −2 besäße. Diese liegt
in einem Temperaturbereich, in der mit den thermodynamischen Größen aus Kapitel 4.2.2
nicht mehr untersucht werden kann. Die Spektralfunktionen sind also der einzige Hinweis
auf das Verhalten des Systems mit den Parametern potenz-15.
Ob die hier gezeigten Ergebnisse den Rückschluss zulassen, dass das System bei zunehmender
Bandverschiebung tatsächlich wieder Kondo-Verhalten zeigt, muss also sorgfältig
abgewägt werden. Dies wird in der abschließenden Bewertung aller in dieser Arbeit vorgestellten
Ergebnisse in Kapitel 6 getan.

86 Kapitel 4: Ergebnisse der NRG
A(ω)
δ = 0
δ = 0.5
δ = 0.7
Abbildung 4.32: Störstellen-Spektralfunktion für den Parametersatz potenz-15 und δ =
0, 0.5, 0.7.
ω
A(ω)
δ = 0.90
δ = 0.99
A(ω)
ω
Abbildung 4.33: Störstellen-Spektralfunktion für den Parametersatz potenz-15 und δ =
0.90, 0.99. Einsatz: Vergrößerung des Frequenzbereichs um das zentrale Maximum der
Kurve für δ = 0.99.
ω

Kapitel 5
Alternative Methoden
Das Ziel dieses Kapitels ist hauptsächlich, die in Kapitel 3.2.2 vorgestellten Ergebnisse für
die Kondo-Temperatur und ihre Abhängigkeit von der Bandverschiebung mit alternativen
Methoden zu überprüfen. Diese sind zum einen das von P. W. Anderson [2] für das s-d-
Modell entwickelte sogenannte Poor Man’s Scaling und die renormierte Störungstheorie
von A. C. Hewson (siehe [12] und [13]).
5.1 Poor Man’s Scaling
5.1.1 Theoretische Grundlagen
Eine Überprüfung der Ergebnisse für T K (δ) ist mit Hilfe des sogenannten Poor Man’s
Scaling Ansatzes möglich, der zuerst von P. W. Anderson auf das s-d-Modell (1.1) angewendet
wurde [2]. Anderson betrachtet ein Modell mit einem Leitungsband, dessen Kanten
symmetrisch um die Fermi-Energie liegen. Eine Erweiterung dieser Methode auf asymmetrische
Bandkanten, die in dieser Arbeit untersucht werden, nehmen Ujsaghy et al. in
[24] vor. Die theoretischen Grundlagen dieses Verfahrens werden hier nur auf einer relativ
anschaulichen Basis erläutert, da es nicht Hauptbestandteil dieser Arbeit ist. Genauere
Erläuterungen sind in [2] und [13] zu finden.
Den Ausgangspunkt bildet das s-d-Modell (1.1), das hier der Einfachheit wegen als isotrop
mit J kk ′ ≡ J angenommen wird. Es beschreibt einen einzelnen Spin S, der mit einem Bad
unabhängiger Elektronen über den J-Term wechselwirkt. Ist man an den physikalischen
Eigenschaften des Modells bei hohen Temperaturen beziehungsweise deren Beschreibung
auf einer großen Energieskala, beispielsweise der Bandbreite D des Leitungsbandes, interessiert,
muss man alle möglichen Zustände und Anregungen des Systems berücksichtigen.
Will man diese hingegen auf kleinen Energieskalen ε ≪ D beziehungsweise niedrigen Temperaturen
beschreiben, ist es hinderlich, auch Anregungen des Systems explizit berücksichtigen
zu müssen, deren Energien wesentlich größer sind als die untersuchte Energieskala.
Die Idee des Poor Man’s Scaling ist es nun, diese hochenergetischen Wechselwirkungen
aus dem Hamilton-Operator zu eliminieren und sie in eine effektive Wechselwirkung umzuschreiben,
die nur auf kleineren Energieskalen gültig ist. Letztlich sucht man wie im Fall
der Renormierungsgruppen-Transformation des Anderson-Hamilton-Operators nach einer
87

88 Kapitel 5: Alternative Methoden
E
D
T~D
T

5.1 Poor Man’s Scaling 89
1 schließlich enthält alle übrigen Zustände ∣ ∣ψ 〉 ∣
. Stellt man die Schrödinger-Gleichung
〉 ∣ 〉 1
H s−d ∣Ψ = E∣Ψ in dieser Basis dar, erhält man folgendes Gleichungssystem:
⎛
⎝
⎞
H 00 H 01 H 02
H 10 H 11 H 12
⎠
H 20 H 21 H 22
⎛
⎝
⎞ ⎛
ψ 0
ψ 1
⎠ = E ⎝
ψ 2
⎞
ψ 0
ψ 1
⎠ (5.1)
ψ 2
Die Matrixelemente H ij mit i ≠ j enthalten alle Anregungen, die die Unterräume i und
j miteinander verbinden. Um den gesuchten Hamilton-Operator zu erhalten, der die unerwünschten
Anregungen nur noch in Form einer effektiven Wechselwirkung enthält, muss
man mit Hilfe des Gleichungssystems (5.1) nur noch die Schrödinger-Gleichung für ψ 1
aufstellen und daraus die Zustände ψ 0 und ψ 2 eliminieren. Die gesuchte Gleichung lautet
also:
˜H s−d ψ 1 = Eψ 1 (5.2)
mit
]
˜H s−d =
[H 11 + H 12 (E − H 22 ) −1 H 21 + H 10 (E − H 00 ) −1 H 01
. (5.3)
Die Berechnung der einzelnen Terme ist in [13] zu finden und wird hier nicht gezeigt.
Wichtig ist das Resultat dieser Rechnung. Der neue Hamilton-Operator ˜H s−d hat wieder
die Form eines isotropen s-d-Modells, jedoch mit renormierten Parametern ˜J und ˜D. Berücksichtigt
man in der Berechnung von Gleichung (5.3) nur Terme bis zur Ordnung J 2 ,
erhält man folgende Differentialgleichung, die die Abhängigkeit der Kopplung J von der
Bandbreite D beschreibt:
dJ
d ln D = −2ρ 0J 2 . (5.4)
Die Größe ρ 0 ist hier die Zustandsdichte des Leitungsbandes an der Fermikante. Damit
kann zu gegebenen Anfangsparametern J und D die renormierte Kopplung ˜J zu jedem
D > ˜D > 0 bestimmt werden. Weiterhin erhält man (siehe [13]) folgende Gleichung für die
Kondo-Temperatur:
(
T K ∝ D exp − 1 )
. (5.5)
2Jρ 0
Berücksichtigt man bei der Berechnung von (5.3) auch Terme der Ordnung J 3 erhält man
stattdessen
√ ( ∣∣2Jρ0 ∣
T K ∝ D ∣exp − 1 )
+ O (Jρ 0 ) . (5.6)
2Jρ 0
Diese Gleichung wird später bei der Anwendung des Poor Man’s Scaling auf den Fall eines
verschobenen Leitungsbandes benötigt.
5.1.2 Anwendung auf ein verschobenes Leitungsband
Die im vorigen Abschnitt beschriebene Methode kann noch nicht direkt auf das in dieser
Arbeit untersuchte Störstellen-Anderson-Modell angewendet werden. Zunächst muss
noch die von Ujsaghy et al. [24] entwickelte Erweiterung des Poor Man’s Scaling auf ein
Leitungsband mit asymmetrischen Cutoffs bei ω l und ω u eingeführt werden. Anschließend

90 Kapitel 5: Alternative Methoden
E
∆D
ω u
1
−ω l
ε F
2
ω l
Abbildung 5.2: Leitungsband mit asymmetrischen Bandkanten bei ω l und ω u für zweistufiges
Poor Man’s Scaling. Im ersten Schritt wird durch einseitiges Skalieren die Asymmetrie
beseitigt. Im zweiten Schritt erfolgt eine herkömmliche Skalierung.
muss noch geklärt werden, welche Verbindung zwischen dem Anderson- und dem s-d-Modell
besteht.
Die veränderte Situation ist in Abbildung 5.2 dargestellt. Die dort gezeigte Verschiebung
des Leitungsbandes führt dazu, dass zunächst bei Absenkung der Temperatur nur Zustände
mit Energien nahe der oberen Leitungsbandkante nicht mehr angeregt werden können. Die
Zustände an der unteren Leitungsbandkante liegen näher an der Fermi-Kante und bleiben
davon vorerst unberührt. Dies führt zur Idee, ein Poor Man’s Scaling wie in Kapitel 5.1.1
beschrieben in zwei Stufen durchzuführen. In einem ersten Schritt werden die Zustände
zwischen ω u und −ω l durch einseitiges Skalieren in renormierte Parameter übersetzt, die
anschließend als Eingangsgrößen für ein herkömmliches Poor Man’s Scaling im zweiten
Schritt verwendet werden können. Ujsaghy et al. geben für den ersten Schritt die folgenden
Skalierungsgleichungen an
⎛
d
⎜
dD u
⎝
J x
J y
J z
2K
⎞
⎟
⎠ = − ρ 0
2D
⎛
⎜
⎝
2K −J z −J y J x
−J z 2K −J x J y
−J y −J x 2K J z
J x J y J z 2K
⎞ ⎛
⎟
⎠
⎜
⎝
J x
J y
J z
2K
⎞
⎟
⎠ . (5.7)
Dabei wurde D u als Variable verwendet. Die Größe K gibt die Stärke eines eventuell
vorhandenen Potentialstreuungsterms der Form ∑ kk ′ ,σ Kc† k,σ c k ′ ,σ an. Der Startwert von
D u bei der Lösung des Differentialgleichungssystems (5.7) ist natürlich ω u . Da hier ein s-d-
Modell mit isotroper Kopplung betrachtet werden soll gilt weiterhin J x = J y = J z ≡ J. Die
Lösung von (5.7) mit den Anfangsbedingungen J = J in und K = K in ergibt die folgende
Gleichung für die renormierte Kopplung J (D u ):
⎡
⎤
J (D u ) = 1 ⎣
4
J in + 2K in
(J in + 2K in ) ρ 0
2
ln
(
ωu
D u
)
+ 1
+
3J in − 2K in
( ) ⎦ . (5.8)
(2K in − 3J in ) ρ 0
2
ln ωu
D u
+ 1

5.1 Poor Man’s Scaling 91
Mit K in = 0 erhält man daraus analog zu [24] als Eingangsgröße für den zweiten Schritt
des Poor Man’s Scaling folgende renormierte Kopplung:
⎡
⎤
˜J ≡ J (−ω l ) = 1 ⎣
4
J in
ρ 0
2
ln
J in
(
ωu
−ω l
)
+ 1
+
3J in
( ) ⎦ . (5.9)
ρ
1 − 3J 0 in 2
ln ωu
−ω l
Diese kann dann in Gleichung (5.6) eingesetzt werden, um die entsprechende Kondo-
Temperatur zu bestimmen.
Bevor diese Methode jedoch auf das Störstellen-Anderson-Modell angewendet werden
kann, muss noch auf dessen Zusammenhang mit dem s-d-Modell eingegangen werden. Das
Anderson-Modell kann, falls die Wahl der Parameter ein Kondo-System repräsentiert, mit
einer Schrieffer-Wolff-Transformation (siehe [13] und [22]) auf ein s-d-Modell abgebildet
werden. Die entsprechende Transformationsgleichung, mit der sich die Kopplungsstärke
bestimmen lässt, ist in [13] angegeben. Sie lautet:
J kk ′ = V k V ′
k
[
1
U + ε f − ε k ′
+
]
1
ε k − ε f
. (5.10)
Diese Gleichung ermöglicht es nun mit gewissen Einschränkungen, die in dieser Arbeit
verwendeten Parameter des Anderson-Modells in eine Kopplung J für das s-d-Modell umzurechnen.
Dieses J wird dann in Gleichung (5.9) eingesetzt, mit der für verschiedene
Bandverschiebungen δ die passenden renormierten Kopplungen ˜J bestimmt werden. Aus
diesen wiederum ergibt sich die zugehörige Kondo-Temperatur mit Gleichung (5.6).
Die oben erwähnten Einschränkungen bestehen, da die Einteilchenenergien des Leitungsbandes
hier nicht explizit definiert wurden, da für die Anwendung der NRG vom Anderson-
Hamilton-Operator in der Form von Gleichung (2.6) ausgegangen wurde. Somit musste
statt der Einteilchenenergien die Hybridisierungsfunktion festgelegt werden. Dennoch kann
mit Hilfe der Schrieffer-Wolff-Transformation zumindest die Größenordnung der Kopplung
J ermittelt werden. Um die folgende Abschätzung einfach zu halten, wird V k ≡ V gewählt
und von einer flachen Hybridisierungsfunktion ∆ (ω) = ∆ 0 = const. ausgegangen. Aus der
Definition (2.9) folgt damit
∆ 0
πV 2 = ρ 0 . (5.11)
Als Abschätzung wird angenommen, dass V ≈ t −1 . Aus den Gleichungen (2.27) , (2.28)
und (B.12) geht hervor, dass t −1 bei Verwendung einer flachen Hybridisierungsfunktion
gerade durch
t 2 −1 = 2D 0∆ 0
, (5.12)
π
gegeben ist. Die Konstante 2D 0 entspricht dabei dem Wert von ω u −ω l . Aus den Gleichungen
(5.11) und (5.12) erhält man also folgende Abschätzung für V :
V 2 ≈ 2D 0∆ 0
π
. (5.13)
Weiterhin folgt daraus, dass ρ 0 = 1 2
gilt. Da mit einem isotropen s-d-Modell gearbeitet
werden soll und die Einteilchenenergien ε k nicht definiert wurden, wird Gleichung (5.10)

92 Kapitel 5: Alternative Methoden
als Abschätzung für ε k = ε k ′ = 0 ausgewertet, um J zu berechnen. Zusammen mit ε f = − U 2
erhält man so für die Kopplung J in :
J in ≈ 8D 0∆ 0
(5.14)
πU
Die Potentialstreuung wird vernachlässigt, da analog zu [2] angenommen wird, dass sie keinen
Einfluss auf den Kondo-Effekt hat. In den Abbildungen 5.3 und 5.4 sind die Ergebnisse
des hier beschriebenen Verfahrens für D 0 = 1, U = 1 und ∆ 0 = 0.03, 0.05 zu sehen. Die
Kurven zeigen eine große Ähnlichkeit zu Abbildung 4.11. Die Kurve für ∆ 0 = 0.03 liegt
jedoch bei etwas größeren Temperaturen als ihr mit der NRG berechnetes Pendant. Dies
liegt aber voraussichtlich an den während der Schrieffer-Wolff-Transformation vorgenommenen
Abschätzungen. Dennoch ist deutlich zu erkennen, dass sowohl NRG als auch das in
diesem Kapitel angewendete Poor Man’s Scaling zumindest qualitativ übereinstimmende
Ergebnisse liefern. Beide Methoden ergeben eine Absenkung der Kondo-Temperatur, wenn
die Füllung des Leitungsbandes reduziert wird, ohne dabei den Wert der Hybridisierungsfunktion
an der Fermikante zu ändern.
Abschließend muss in diesem Kapitel noch angemerkt werden, dass auch das Poor Man’s
Scaling in der hier verwendeten Form nicht für beliebig kleine Werte von 1 − δ geeignet
ist. Ähnlich wie im Fall der NRG kommt es zu Problemen, sobald die untere Bandkante
1 − δ = ω l mit der Kondo-Temperatur vergleichbar wird. Dann beginnt T K wieder stark
anzusteigen und durchläuft ein sehr schmales, hohes Maximum. Zurückzuführen ist dies
vermutlich auf die vollständige Vernachlässigung der Potentialstreuung, die dann auch bei
Temperaturen im Bereich der Kondo-Temperatur wichtig wird. Um dies zu berücksichtigen,
müssten die Skalierungsgleichungen des zweiten Schritts des hier verwendeten Verfahrens
angepasst werden, was aber den Rahmen dieser Arbeit sprengen würde.
5.2 Renormierte Störungstheorie
5.2.1 Idee der renormierten Störungstheorie
Die renormierte Störungstheorie (englisch: „renormalized perturbation theory“ , kurz RPT)
ist ein Konzept, das ursprünglich zur Anwendung in der Quantenelektrodynamik entwickelt
wurde. Sie dient dort dazu, divergente Terme in Störungsentwicklungen zu umgehen, die
mit dem Fehlen eines Cutoffs bei hohen Energien in den auftretenden Integralen einhergehen.
Die RPT ist eine Störungsentwicklung des untersuchten Modells mit renormierten
Parametern, in der die erwähnten Divergenzen nicht mehr auftreten.
A. C. Hewson wendet dieses Konzept auf Störstellen-Modelle in der Festkörperphysik an.
Für ihn ist die Hauptidee des Ansatzes, ein Modell mit Parametern zu untersuchen, die
der Energieskala entsprechen, für die man sich interessiert. Eine allgemeine Herleitung der
renormierten Störungstheorie für das Anderson-Modell ist in [13] zu finden. Diese Details
sind aber für die Anwendung in der vorliegenden Arbeit nicht nötig, und so werden hier
nur die übergeordneten Ideen und die später benötigten Ergebnisse wiedergegeben.
Bereits in Kapitel 3.1 wurde gesagt, dass sich das Anderson-Modell bei tiefen Temperaturen
wie im SC-Grenzfall verhält. Weiterhin ist bekannt, dass dieses Verhalten dem einer Fermi-
Flüssigkeit entspricht und mit einem effektiven Hamilton-Operator ˜H beschrieben werden

5.2 Renormierte Störungstheorie 93
T K
Abbildung 5.3: Ergebnisse des Poor Man’s Scaling für die Kondo-Temperatur mit den
Parametern D 0 = 1, U = 1 und ∆ 0 = 0.03.
1 - δ
T K
Abbildung 5.4: Ergebnisse des Poor Man’s Scaling für die Kondo-Temperatur mit den
Parametern D 0 = 1, U = 1 und ∆ 0 = 0.05.
1 - δ

94 Kapitel 5: Alternative Methoden
kann [13]. Dieser hat die gleiche Form wie H SIAM aus Gleichung (1.3), enthält jedoch
angepasste Modellparameter Ṽ , ˜ε f und Ũ. Eine normale Störungstheorie würde H SIAM um
U = 0 entwickeln. Zur Betrachtung des Tieftemperaturverhaltens ist jedoch der Ansatz
der RPT zielgerichteter. Dabei wird der Anderson-Hamilton-Operator so umgeschrieben,
dass er die Form H SIAM = ˜H + ˜H c erhält. Der Operator ˜H ist dabei der bereits erwähnte
effektive Hamilton-Operator mit den renormierten Parametern. Der Ausgleichsterm ˜H c
ergänzt den renormierten Hamilton-Operator wieder zum ursprünglichen Anderson-Modell.
Nun werden die renormierten Parameter für das SC-Regime bestimmt, anschließend wird
eine Störungstheorie in Ũ entwickelt. Der Vorteil dieser Methode ist, dass man jetzt nach
Parametern entwickelt, die an niedrige Energien beziehungsweise Temperaturen angepasst
sind, aber letztlich immer noch mit dem vollen Hamilton-Operator arbeitet.
In [12] wendet Hewson die RPT auf das Anderson-Modell mit einer flachen Hybridisierungsfunktion
und V k ≡ V an. Damit gilt ∆ 0 = πV 2 ρ 0 . Für die Störungsentwicklung in
Ũ gibt er die folgenden Gleichungen für die Tieftemperaturwerte einiger Größen an. Die
renormierte Zustandsdichte der Störstelle an der Fermikante ist
˜ρ imp,0 = 1 π
˜∆ 0
˜ε 2 f + ˜∆ 2 0
(5.15)
mit der renormierten Hybridisierung ˜∆ 0 . Damit lässt sich die Spin-Suszeptibilität der Störstelle
berechnen:
χ imp = 1 ( )
2 ˜ρ imp,0 1 + Ũ ˜ρ imp,0 . (5.16)
Der Koeffizient der spezifischen Wärme ergibt sich direkt aus der renormierten Zustandsdichte:
γ imp = 2π2
3 ˜ρ imp,0 . (5.17)
Die Störstellen-Besetzung ist durch die Friedel-Summenregel gegeben. Sie lautet ausgedrückt
durch die renormierten Parameter:
n imp,σ = 1 2 − 1 π arctan ( ˜εf
˜∆ 0
)
Das Wilson-Verhältnis ist in diesem Zusammenhang
. (5.18)
R = 1 + Ũ ˜ρ imp,0 . (5.19)
Aus der Bedingung, dass im Kondo-Regime die hier nicht aufgeführte Ladungssuszeptibilität
der Störstelle verschwindet, erhält man den Zusammenhang zwischen der Kondo-
Temperatur und den renormierten Parametern:
4T K = Ũ = π ˜∆ 0 . (5.20)

5.2 Renormierte Störungstheorie 95
5.2.2 Berechnung der renormierten Parameter für das Störstellen-
Anderson-Modell
In diesem Kapitel wird beschrieben, wie die renormierten Parameter für den in [12] untersuchten
Fall berechnet werden. Da die RPT angewendet auf das Anderson-Modell eine
Störungsentwicklung nach Ũ ist, ist es hilfreich, sich zunächst das ungestörte System ˜H
0
mit Ũ = 0 anzusehen. Dieses kann durch eine unitäre Transformation auf Einteilchen-
Niveau diagonalisiert werden und hat dann folgende Form:
˜H 0 = ∑ i,σ
ε i c † iσ c iσ . (5.21)
Da ˜H 0 eine nicht-wechselwirkende Fermi-Flüssigkeit beschreibt, ist klar, welche Bedeutung
die hier auftretenden Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren haben. Sie repräsentieren
Anregungen über den Grundzustand, also Quasiteilchen, falls ε i > 0, beziehungsweise
Quasilöcher, falls ε i < 0. Mit einer kleinen Umbenennung kann man Gleichung (5.21)
umschreiben in
[
]
E p,i p † iσ p iσ + E h,i h † iσ h iσ . (5.22)
˜H 0 = ∑ i,σ
Hierzu wurden die Einteilchen-Energien ε i lediglich in positive (E p,i ) und negative (E h,i )
Energien separiert. Die entsprechenden Operatoren werden mit einem p für Quasiteilchen
beziehungsweise einem h für Quasilöcher bezeichnet. Die hilfreiche Eigenschaft einer Fermi-
Flüssigkeit ist nun, dass eine Wechselwirkung Ũ zwischen den Quasiteilchen nur dann
wirksam wird, wenn mehr als eine Anregung relativ zum Grundzustand im System vorhanden
ist. Da ja auch der Hamilton-Operator ˜H mit Ũ eine Fermi-Flüssigkeit beschreibt,
heißt das, dass die Einteilchen-Anregungsenergien von ˜H und ˜H 0 übereinstimmen. Erst
wenn im System ˜H mehr als ein Quasiteilchen oder Quasiloch angeregt ist, macht sich
die Wechselwirkung im Energiespektrum bemerkbar. Daher können die Operatoren p (†)
iσ
und h (†)
iσ als Basis für die Darstellung von ˜H verwendet werden. Dieser besteht dann aus
(5.22) und einem durch die Operatoren p (†)
iσ
und h(†)
iσ
ausgedrückten Wechselwirkungsterm.
Dieser Gedanke bildet den Ansatzpunkt zur Berechnung der renormierten Parameter für
das Anderson-Modell.
Denn bei der Anwendung der NRG auf das Anderson-Modell werden die Anregungsenergien
der Hamilton-Operatoren H N relativ zum Grundzustand in jedem Iterationsschritt
berechnet, darunter auch die Ein- und Zweiteilchenanregungen. Welche dies bezogen auf
die Notation der Eigenenergien E (N)
Q,S,r
sind, wird im Folgenden noch erklärt. In Kapitel
3.1 wurde festgestellt, dass die Eigenenergien von H N ab einem gewissen N gerade den
SC-Grenzfall des Anderson-Modells beschreiben. Damit sind sie also die Eigenenergien
einer wechselwirkenden Fermi-Flüssigkeit. Dieser Zusammenhang zusammen mit den obigen
Überlegungen ermöglicht es schließlich, die renormierten Parameter iterativ aus den
Informationen der NRG zu berechnen.
Für die renormierte Hybridisierung und das renormierte Störstellen-Niveau kann man die
Wechselwirkung Ũ zunächst vernachlässigen, da sie aus den Einteilchenanregungen alleine
berechnet werden können, die für die wechselwirkende und die nicht-wechselwirkende

96 Kapitel 5: Alternative Methoden
Fermi-Flüssigkeit gleich sind. Weil die Einteilchenanregungen durch die Pole der
Störstellen-Greenfunktion gegeben sind, muss diese für das System ˜H N 0 bestimmt werden,
das die gleiche Form wie der Hamilton-Operator H N mit U = 0 hat, abgesehen von der
renormierten Kopplung ˜t −1 und dem renormierten Störstellen-Niveau ˜ε f . Dies wurde in
Kapitel 4.1.3 bereits für die diskretisierte Form von H SIAM getan. Die Anpassung auf die
hier vorliegende Situation ist daher sehr einfach. Mit der gleichen Vorgehensweise wie in
Kapitel 4.1.3 erhält man den folgenden Kettenbruch für die Störstellen-Greenfunktion:
G (N)
−1σ (z) = 1
z − Λ N−1
2 ˜ε f − Λ N−1 ˜t 2 −1
z − Λ N−1
2 ε 0 − Λ N−1 t 2 0
. ..
=
Λ N−1 t 2 N−1
z − Λ N−1
2 ε N
1
z − Λ N−1
2 ˜ε f − Λ N−1˜t 2 −1 g 00 (z) . (5.23)
Dabei wurde analog zu [12] die abkürzende Schreibweise g 00 eingeführt. Die Pole auf der
reellen Achse sind also gegeben durch
ω − Λ N−1
2 ˜ε f − Λ N−1˜t 2 −1 g 00 . (5.24)
Die mit der NRG berechneten Einteilchenanregungen müssen zumindest im SC-Grenzfall
diese Gleichung erfüllen. Daher kann man für jeden Iterationsschritt N der NRG mit Hilfe
der niedrigsten Teilchenanregung E p
(N) und der niedrigsten Lochanregung E (N)
h
relativ
zum Grundzustand aus Gleichung (5.24) die renormierten Parameter ˜ε (N)
f
und ˜t (N)
−1 bestimmen.
Mit dem zusätzlichen Zusammenhang ˜∆ 0 = 2D˜t π 2 −1 erhält man analog zu [12] die
Gleichungen
πΛ − N−1
2 E (N)
p
2D
˜∆
(N)
0
πΛ − N−1
2 E (N)
h
2D
˜∆
(N)
0
−
2D
−
2D
π˜ε(N) f
˜∆
(N)
0
π˜ε(N) f
˜∆
(N)
0
)
= Λ N−1
2 g 00
(E (N)
)
= Λ N−1
2 g 00
(E (N)
p
h
. (5.25)
Hat man die renormierte Hybridisierung und das renormierte Störstellen-Niveau bestimmt,
kann man den Hamilton-Operator ˜H N 0 aufstellen und in die Einteilchen-Form
Λ N−1
2
(N+2)/2
∑
i=1,σ
[
]
E p,i p † iσ p iσ + E h,i h † iσ h iσ
(5.26)

5.2 Renormierte Störungstheorie 97
bringen. Dies ist notwendig, um die renormierte Wechselwirkung Ũ berechnen zu können,
wie oben schon angedeutet wurde. In Matrix-Schreibweise hat ˜H N 0 noch folgende Form:
˜H 0 N =
Λ N−1
2
∑(
σ
f † σ, c † 0σ , ..., c† Nσ
⎛
)
⎜
⎝
⎞
˜ε (N)
f
˜t (N)
⎛
−1
˜t (N)
−1
ε 0 t 0
. .. . .. . ..
. .. . .. ⎟ ⎜
tN−1 ⎠ ⎝
t N−1 ε N
⎞
f σ
c 0σ
.
⎟
. ⎠
c Nσ
.
(5.27)
Die Diagonalisierung der Hamilton-Matrix in Gleichung (5.27) liefert alle Einteilchenenergien
für (5.26) sowie eine unitäre Transformation auf die entsprechenden Quasiteilchenund
Quasiloch-Operatoren. Der renormierte Wechselwirkungsterm ist gegeben durch
Ũ N Λ N−1
2 : f † ↑ f ↑f † ↓ f ↓ : (5.28)
Er muss normalgeordnet sein, damit er nur wirkt, wenn zwei und mehr Quasiteilchen im
System angeregt sind. Mit Hilfe der soeben gewonnenen Transformation kann er durch die
Quasiteilchen-Operatoren aus Gleichung (5.26) ausgedrückt werden. Um die renormierte
Wechselwirkung bestimmen zu können, benötigt man aus der NRG-Rechnung noch die
Energien der niedrigsten Zweiteilchenanregung E pp (N) . Die Wechselwirkung ist nach [12]
dann im wesentlichen durch die Energiedifferenz zwischen der kleinsten Einteilchen- und
der kleinsten Zweiteilchenanregung gegeben:
E (N)
pp
− 2E (N)
p
=
N−1
ŨNΛ 2
∣
∣ψ f p,1
∣ 4 . (5.29)
Die Zahl ψ f p,1 ist dabei das Matrixelement der obigen Transformation, die die renormierte
Störstelle f σ mit der kleinsten Quasiteilchenanregung p 1σ verbindet.
Jetzt muss noch geklärt werden, welches genau die Energien E p
(N) , E (N)
h
und E pp
(N) sind.
Hat der Grundzustand im Iterationschritt N der NRG die Quantenzahlen Q g und S g , dann
ist E p
(N) die kleinste Energie eines Zustandes mit Q p = Q g + 1 und S p = S g + 1 2 , E(N) h
die
kleinste Energie eines Zustandes mit Q p = Q g − 1 und S p = S g + 1 2
und E(N) pp die kleinste
Energie eines Zustandes mit Q pp = Q g + 2 und S pp = S g . All diese Energien werden mit
der NRG berechnet. Aus den schon in Kapitel 3.1.1 diskutierten Gründen kann die hier
beschriebene Methode zur Berechnung der renormierten Parameter immer nur für gerade
oder nur für ungerade N durchgeführt werden.
Abbildung 5.5 zeigt anhand einer NRG-Rechnung mit den Parametern potenz-1 und δ =
0.2, wie die renormierten Parameter aus den Werten von ŨN, ˜∆(N) 0 und ˜ε (N)
f
bestimmt
werden. Da das Anderson-Modell den SC-Fixpunkt in der NRG erst nach einer gewissen
Anzahl von Iterationsschritten erreicht, können die hier berechneten Werte auch erst
ab einem gewissen Wert von N den gesuchten renormierten Parametern entsprechen. Sobald
der SC-Fixpunkt aber erreicht ist, wird sich aufgrund seiner Stabilität keine weitere

98 Kapitel 5: Alternative Methoden
renormierte Parameter
~
∆ 0
~
|ε f |
~
U
N
(N)
Abbildung 5.5: Renormierte Parameter ŨN, ˜∆ 0 und ∣ (N)
∣˜ε ∣
f für eine NRG-Rechnung mit
den Parametern potenz-1 und δ = 0.2.
Renormierung mehr ergeben. Die Kurven von ŨN, ˜∆(N) 0 und ˜ε (N)
f
werden also ab einem
bestimmten Wert von N unabhängig von N sein. Dies kann man auch in Abbildung 5.5
erkennen, wo ŨN, ˜∆(N) 0 und ∣ (N)
∣˜ε ∣
f auf einer logarithmischen Skala gegen N aufgetragen
sind. Ab N ≈ 45 hat das System den SC-Fixpunkt erreicht, so dass sich die renormierten
Parameter nicht mehr ändern. Aus diesen Grenzwerten können anschließend die in 5.2.1
angegebenen Größen berechnet werden. Lediglich in den letzten Iterationsschritten ändern
sich die renormierten Parameter noch einmal. Dies ist aber auf die mit zunehmendem N
größer werdenden numerischen Fehler in ihrer Berechnung und auf die Bandverschiebung
zurückzuführen.
5.2.3 Ergebnisse der renormierten Störungstheorie
Bevor in diesem Abschnitt die Ergebnisse der renormierten Störungstheorie diskutiert werden,
muss angemerkt werden, dass Hewson seiner Rechnung den Grenzfall eines unendlich
breiten – und natürlich symmetrischen – Bandes zugrunde legte. Praktisch heißt das, dass
die Bandkanten −D und D wesentlich größer sein sollen als alle anderen Energien von
Bedeutung. Unter anderem muss etwa D ≫ T gelten. Das stellt im Fall eines unverschobenen
Leitungsbandes kein Problem dar. Verschiebt man das Band aber, rückt die untere
Bandkante ω l immer näher an die Energien heran, die man mit der RPT untersuchen will.
Spätestens wenn ω l vergleichbar mit dieser Energieskala wird, kommt es also zu Problemen,
weil der vorausgesetzte Grenzfall nicht mehr vorliegt. Im Voraus kann jedoch nicht gesagt
werden, ob und wie gut diese Methode mit δ > 0 funktionieren wird. Tatsächlich sind die
Einsatzmöglichkeiten der renormierten Störungstheorie in der Form von Kapitel 5.2.2 bei

5.2 Renormierte Störungstheorie 99
~
∆ 0 t/∆ 0
~
U/(π∆ 0 )
~
ε f /(π∆ 0 )
n imp,σ
R
U/π∆
˜∆ 0
π∆ 0
,
Ũ
Abbildung 5.6: Renormierte Parameter und
π∆ 0
, Wilson-Verhältnis R und
Störstellen-Besetzungszahl n imp,σ für das Anderson-Modell mit ∆ 0 = 1
2π , ε f = −π∆ 0
und Λ = 1.8 und verschiedene Werte von U
π∆ 0
.
˜ε f
π∆ 0
der in dieser Arbeit untersuchten Situation begrenzt, wie die folgenden Ergebnisse zeigen
werden.
Um den neu geschriebenen RPT-Code zu testen, wurde zunächst eine in [12] gezeigte Abbildung
reproduziert. Zu diesem Zweck wurde eine Reihe von NRG-Rechnungen mit verschiedenen
Verhältnissen von U
π∆
durchgeführt und anschließend mit der renormierten Störungstheorie
analysiert. Die Ergebnisse der renormierten Parameter, des Wilson-Verhältnisses
und der Störstellen-Besetzungszahl sind in Abbildung 5.6 gegen U
π∆ 0
aufgetragen. Untersucht
wurde eine flache Hybridisierungsfunktion mit den Parametern ε f = −π∆ 0 , ∆ 0 = 1
2π
und Λ = 1.8. Anhand der Störstellen-Besetzungszahl und dem Wilson-Verhältnis kann man
erkennen, dass das System mit steigendem Wert von U
π∆ 0
von einem Nicht-Kondo-System
in ein Kondo-System übergeht. Das Wilson-Verhältnis steigt von einem Wert nahe 1 auf
einen Wert nahe 2. Parallel dazu sinkt die Störstellen-Besetzungszahl n imp,σ von ungefähr 1
auf etwa 0.5, zählt man beide Spinrichtungen zusammen, ist die Störstelle dann also einfach
besetzt. Da sich in diesem Fall eine sehr gute Übereinstimmung zwischen den von Hewson
angegebenen Daten und den hier berechneten Werten ergibt, kann man davon ausgehen,
dass der RPT-Code im Fall des unverschobenen Bandes zuverlässig funktioniert.
Im Folgenden werden die NRG-Rechnungen zu den Parametersätzen potenz-1 und potenz-3
mit der RPT analysiert. Das Hauptaugenmerk liegt hier auf der Bestimmung der Kondo-
Temperatur. Diese erhält man aus der Bedingung, dass im Kondo-Regime Gleichung (5.20)
gilt. Es wird also zunächst geprüft, ob die renormierten Parameter Ũ ≈ π ˜∆ 0 erfüllen.
Wenn ja, wird aus dem Wert von π ˜∆ 0 die zugehörige Kondo-Temperatur bestimmt. Die

100 Kapitel 5: Alternative Methoden
T K aus RPT
T K aus NRG
T K
Abbildung 5.7: Kondo-Temperatur für den Parametersatz potenz-1 aus den Rechnungen
mit der NRG sowie der RPT.
1 - δ
Abbildungen 5.7 und 5.8 zeigen die Kurven von T K in Abhängigkeit von 1 − δ für den
Fall potenz-1 beziehungsweise potenz-3. Zum Vergleich sind die entsprechenden Kurven
aus Kapitel 4.2.1 eingezeichnet. In Abbildung 5.7 ist die qualitative Übereinstimmung der
beiden Kurven deutlich zu erkennen. Um hervorzuheben, dass sie sich lediglich um einen
Proportionalitätsfaktor unterscheiden, ist die Temperatur logarithmisch aufgetragen. Der
vertikale Abstand zwischen den Kurven ist ein Maß für diesen Faktor, der vermutlich auf
die beiden verschiedenen Definitionen von T K zurückzuführen ist. Denn in Kapitel 4.2.1
wurde T K als Wendepunkt der Störstellen-Entropie definiert, während in diesem Kapitel
T K proportional zu π ˜∆ 0 ist. Das gleiche Bild bietet sich in Abbildung 5.8, obwohl hier
die Kondo-Temperatur mit der NRG nicht mehr so sauber wie im vorigen Fall bestimmt
werden konnte. Dennoch unterscheiden sich auch im Fall der Parameter potenz-3 die beiden
Kurven für T K lediglich um einen Proportionalitätsfaktor.
Doch wie vertrauenswürdig diese Ergebnisse sind, muss genau abgewägt werden. Denn
neben der beobachteten Gemeinsamkeiten, bezogen auf die Kondo-Temperatur, gibt es aus
den am Anfang dieses Abschnitts genannten Gründen auch Probleme. Es ist nicht klar,
ob die Annahme eines unendlich breiten Bandes mit einer Bandverschiebung vereinbar ist.
Betrachtet man andere mit der renormierten Störungstheorie berechnete Größen, treten
einige Widersprüche auf. Dies wird am Beispiel von Abbildung 5.9 erläutert. Sie zeigt das
Wilson-Verhältnis R und die Störstellen-Besetzungszahl für den Parametersatz potenz-1 in
Abhängigkeit von 1−δ. Im Widerspruch zu den NRG-Ergebnissen aus Kapitel 4.2.2 geht das
Wilson-Verhältnis von 2 bei δ = 0 auf etwa 1 bei 1−δ = 10 −5 zurück, wohingegen es in den
NRG-Rechnungen fast unverändert blieb. Die Störstellen-Besetzungszahl geht von 0.5 auf
etwa 0.1 zurück. Dies erscheint unphysikalisch, da das Störstellen-Niveau ε f unverändert
bei −0.5 liegt und somit bei δ > 0.5 unterhalb der unteren Bandkante. Die Erwartung wäre,

5.2 Renormierte Störungstheorie 101
T K aus RPT
T K aus NRG
T K
Abbildung 5.8: Kondo-Temperatur für den Parametersatz potenz-3 aus den Rechnungen
mit der NRG sowie der RPT.
1 - δ
dass sich die Störstellen-Besetzungszahl mit wachsendem δ kaum verändert. So legen es
auch die zugehörigen Störstellen-Spektralfunktionen aus Kapitel 4.2.3 nahe. Bei negativen
Frequenzen geht die spektrale Dichte nicht in einem Maße zurück, der den hier beobachteten
Rückgang der Besetzungszahl rechtfertigen würde.
Damit sind auch die RPT-Rechnungen zum Parametersatz potenz-15 mit Vorsicht zu
betrachten. Da diese Parameter ein Modell mit gemischt-valentem Verhalten repräsentieren,
gilt bei δ = 0 nicht der Zusammenhang (5.20), es gibt in diesem System keine
Kondo-Temperatur. Auch mit diesen Parametern beobachtet man ein Absinken des
Wilson-Verhältnisses von 1.76 bei δ = 0 auf 1.46 bei δ = 0.99. Allerdings ist es angesichts
der vorher erwähnten Widersprüche höchst fraglich, ob diese Werte vertrauenswürdig sind.

102 Kapitel 5: Alternative Methoden
R
n imp,σ
1 - δ
Abbildung 5.9: Wilson-Verhältnis R und Störstellen-Besetzungszahl n imp,σ aus der RPT-
Rechnung mit den Parametern potenz-1.

Kapitel 6
Zusammenfassung und Bewertung
der Ergebnisse
Zum Abschluss dieser Arbeit sollen die in den vorangegangenen Kapiteln vorgestellten Ergebnisse
noch einmal kurz zusammengefasst werden. Angeregt durch die Messungen des
spezifischen Widerstandes von Ca 1−x U x B 6 von Wigger et al. [25] sollte der Kondo-Effekt
für Systeme mit niedriger Ladungsträgerkonzentration untersucht werden. Hierzu wurde in
Kapitel 2 das Störstellen-Anderson-Modell durch Verwendung einer Hybridisierungsfunktion
mit beliebigen oberen und unteren Cutoffs ω u und ω l an die gewünschte physikalische
Situation angepasst. Um mit Hilfe der NRG bestmögliche Ergebnisse zu erhalten, wurde
zur Abbildung des Anderson-Hamilton-Operators (1.3) auf die halbunendliche Kette eine
neue Form der logarithmischen Diskretisierung eingeführt, die die Lage von ω u und ω l
berücksichtigt.
Die Kettenparameter t n und ε n , die unter Verwendung der neuen Diskretisierung berechnet
wurden, konnten anschließend in Kapitel 4.1 gründlich auf ihre Verlässlichkeit geprüft werden.
Im Fall des symmetrischen Bandes zeigte sich eine hervorragende Übereinstimmung
mit den entsprechenden Werten der analytischen Formeln von Bulla et al. [7]. Der Test
der Kettenparameter für ein verschobenes Leitungsband mit ∣ ∣ ωl
∣ ∣ ≠ ωu in Kapitel 4.1.3
war etwas aufwändiger. Mit Hilfe von Bewegungsgleichungen für Green-Funktionen konnte
eine Rekonstruktion der Hybridisierungsfunktion aus den t n und ε n erzeugt werden. Dort
zeigten sich die Vorteile der angepassten logarithmischen Diskretisierung (Abbildung 2.1
c)) gegenüber der sonst standardmäßig verwendeten Variante (Abbildung 2.1 b)), die die
gewünschte physikalische Situation nicht so gut widerzuspiegeln schien.
In Kapitel 4.2 wurden mit der neuen Diskretisierung für verschiedene Hybridisierungsfunktionen
NRG-Rechnungen durchgeführt. Hauptsächlich wurden dabei Kondo-Systeme
untersucht. An diesen konnte der Einfluss der Füllung des Leitungsbandes auf die Kondo-
Temperatur teilweise sehr gut beobachtet werden. Bei Verwendung einer flachen Hybridisierungsfunktion
führte die Verschiebung des Leitungsbandes zu einer Absenkung der
Kondo-Temperatur. Die gezeigten Ergebnisse legten nahe, dass T K für δ → 1 nicht gegen
Null strebt, sondern gegen einen endlichen Wert größer als Null. Die Absenkung fiel umso
geringer aus, je größer der Wert der Hybridisierungsfunktion war.
103

104 Kapitel 6: Zusammenfassung und Bewertung der Ergebnisse
Bei Verwendung nicht-konstanter Hybridisierungsfunktionen wurde die Absenkung der
Kondo-Temperatur von einem zweiten Effekt überlagert. Denn nach [13] gilt der Zusammenhang
ln (T K ) ∝
1
∆(ω=0) zwischen Hybridisierung und T K. Näherte sich der Parameter
der Bandverschiebung δ jedoch dem Wert 1, traten deutliche Abweichungen von diesem
Gesetz auf. Mit Hilfe von Referenzrechnungen ließ sich dieser Anteil an der Veränderung
der Kondo-Temperatur jedoch abtrennen und es zeigte sich, dass der verbleibende Effekt
in jedem Fall eine Absenkung der Kondo-Temperatur war. Diese Absenkung fiel größer
aus, wenn der Wert der Hybridisierungsfunktion an der Fermi-Kante ∆ (ω = 0) mit zunehmendem
δ abnahm. Sie fiel hingegen kleiner aus, wenn er mit zunehmendem δ zunahm.
Weiterhin zeigte sich, dass T K (δ → 1) in den untersuchten Fällen stets gegen einen konstanten
Wert größer als Null tendierte.
Neben der Kondo-Temperatur wurden auch der Koeffizient der spezifischen Wärme, die
Störstellen-Suszeptibilität und das Wilson-Verhältnis R untersucht. Die Werte von γ und
χ verhielten sich der Veränderung der Kondo-Temperatur entsprechend. Mit sinkendem T K
wird der Temperaturbereich größer, in dem das Anderson-Modell Local-Moment-Verhalten
zeigt. Daher stiegen γ und χ mit kleiner werdender Kondo-Temperatur beziehungsweise
nahmen mit zunehmender Kondo-Temperatur ab. Das Wilson-Verhältnis veränderte sich
dabei jedoch kaum. Es hatte unabhängig von der Bandverschiebung Werte nahe 2.
Ein generelles Problem stellte jedoch die mit steigendem Wert von δ immer größer werdende
Unzuverlässigkeit der NRG-Ergebnisse für T K , γ, χ und R, die in Kapitel 4 häufig diskutiert
wurde. Dadurch war es auch nicht möglich, anhand dieser Größen Aussagen über den
Einfluss der Bandverschiebung auf Systeme zu treffen, die bei δ = 0 kein Kondo-Verhalten
zeigten. Als Beispiel seien die Rechnungen zum Parametersatz potenz-15 angeführt.
Mit Hilfe der Störstellen-Spektralfunktion konnten aber auch diese Systeme untersucht
werden. Die Spektralfunktionen bestätigten die aus der Analyse der Störstellen-Entropie
gewonnenen Ergebnisse für die Kondo-Temperatur qualitativ durch die abnehmende Breite
der Abrikosov-Suhl-Resonanz. Zusätzlich wurden bei den Kondo-Systemen weitere charakteristische
Veränderungen der spektralen Dichte festgestellt. Bei negativen Frequenzen
kurz unterhalb der Abrikosov-Suhl-Resonanz bildete sich mit wachsendem δ ein Bereich
aus, in dem die spektrale Dichte stark reduziert war. Die Maxima rechts und links der
Resonanz wurden etwas höher und verschoben sich leicht zu kleineren Frequenzen. Diese
Veränderungen erschienen bei Systemen mit höheren Kondo-Temperaturen etwas stärker
ausgeprägt. Die Spektralfunktion eines Systems, das bei δ = 0 gemischt-valentes Verhalten
zeigte, veränderte sich bei zunehmendem δ sehr deutlich. Bei δ = 0.99 hatte sie eine
deutliche 3-Peak-Struktur, die typisch für Kondo-Systeme ist. Das zentrale Maximum lag
deutlich im negativen Frequenzbereich. Allerdings kann dies noch nicht als Beweis gelten,
dass das untersuchte System in ein Kondo-System übergeht. Vorher muss geklärt werden,
ob das Maximum im positiven Frequenzbereich durch das numerische Berechnungsverfahren
der Spektralfunktion erzeugt wird oder nicht. Andererseits wurde bei den untersuchten
Kondo-Systemen ein starker Rückgang der spektralen Dichte bei Frequenzen knapp unterhalb
von ω = 0 beobachtet, die das prinzipielle Verhalten des Systems nicht beeinflussten.
Es ist also nicht klar, ob die festgestellte Veränderung der Form der Spektralfunktion
des Nicht-Kondo-Systems auch tatsächlich Kondo-Verhalten induziert. Hierzu muss das
Anderson-Modell auch mit anderen Methoden als der NRG untersucht werden.

105
Erste Versuche, auch alternative Untersuchungsmethoden anzuwenden, wurden in Kapitel
5 unternommen. Ein zweistufiger Poor Man’s Scaling Ansatz konnte zumindest die mit der
NRG beobachtete Absenkung der Kondo-Temperatur qualitativ bestätigen. Mehr konnte
mit dieser Methode jedoch nicht erreicht werden. Vielversprechender erscheint die Anwendung
der renormierten Störungstheorie von Hewson. Auch sie konnte die Ergebnisse für
die Kondo-Temperatur bei Verwendung einer flachen Hybridisierungsfunktion qualitativ
bestätigen. Andere Größen, die mit der RPT berechnet werden können, erschienen hingegen
weniger zuverlässig. Die Schwachstelle der RPT-Berechnungen in dieser Arbeit ist,
dass mit der Störungstheorie für ein unendlich breites Leitungsband gearbeitet wurde. Diese
Annahme ist für Werte von δ nahe 1 natürlich nicht mehr zutreffend. Daher wäre es
hilfreich, die RPT für das Anderson-Modell ohne diese Näherung anzupassen. So können
womöglich die Spektralfunktionen aus Kapitel 4 leichter interpretiert werden.
Um eine größere Klarheit über die hier noch strittigen Punkte zu erlangen ist es also
zunächst notwendig, die in Kapitel 4.2.3 gezeigten Spektralfunktionen genauer zu untersuchen.
Insbesondere ist zu klären, ob die in Abbildung 4.33 beobachtete Struktur nur aus
der numerischen Berechnung resultiert oder nicht. So kann der Verdacht, dass die Bandverschiebung
Kondo-Verhalten induziert erhärtet werden. Weiterhin muss die in Kapitel
5 vorgestellte renormierte Störungstheorie verallgemeinert werden, so dass sie für alle untersuchten
Parametersätze vertrauenswürdige Ergebnisse liefert. Mit diesen Maßnahmen
sollten die noch offenen Fragen beantwortet werden können.

Anhang A
Erläuterung der verwendeten
Einheiten
Die in dieser Arbeit verwendeten Einheiten unterscheiden sich teilweise recht stark von den
entsprechenden SI-Einheiten. Der in Kapitel 1.5 lediglich tabellarisch angegebene Zusammenhang
der beiden Einheitensysteme soll hier ausführlich hergeleitet werden. Die erste
Modifizierung erfolgt dadurch, dass alle in Gleichung (1.3) auftretenden Energien von der
Fermikante aus gemessen werden. Damit gilt stets ε F = 0:
ε −→ ε − ε F .
(A.1)
Weiterhin werden alle Energien durch die halbe Breite des Leitungsbandes D geteilt und ħ
sowie k B auf 1 skaliert. Größen in SI-Einheiten erhalten in den folgenden Gleichungen den
Index „SI“ als Super- oder Subskript, Größen in den skalierten Einheiten den Index „SIAM“.
Die beiden Konstanten ħ und k B tauchen ohnehin meist nur in SI-Einheiten auf und werden
daher nicht indiziert. Sollte es dennoch einmal notwendig sein, eine Unterscheidung zu
treffen, wird der Index „SIAM“ verwendet.
Die drei grundlegenden Einheiten, die hier skaliert werden und sich auf viele weitere Einheiten
auswirken, sind Energie, Zeit beziehungsweise Frequenz und Masse. Für die Energie
gilt:
E SI = D E SIAM .
(A.2)
Damit folgt für Frequenz und Zeit
E SI = ħω SI ⇔ D E SIAM = ħ ħ
} SIAM
{{ }
=1
ω SI
=⇒ ω SI = D ħ ω SIAM (A.3)
t SI = ħ D t SIAM .
(A.4)
Durch die Skalierung von k B ist die Temperatur äquivalent zur Energie. Der entsprechende
Umrechnungsfaktor ins SI-System ist von besonderer Wichtigkeit, da später tem-
107

108 Anhang A: Erläuterung der verwendeten Einheiten
peraturabhängige Größen des Anderson-Modells berechnet werden. Er ergibt sich wegen
E SI = k B T SI zu:
T SI = D k B
T SIAM .
(A.5)
Da die Einheit der Zeit skaliert wurde, müssen auch die Lichtgeschwindigkeit und damit
wegen der Masse-Energie-Äquivalenz auch die Einheit der Masse korrekt umgerechnet werden.
[c SI ] = m s ⇒ c SI = D ħ c SIAM
E SI = m SI c 2 SI ⇒ m SI = ħ2
D m SIAM
(A.6)
Das großkanonische Potential Ω hat die Einheit Energie, die Entropie ist ihre Ableitung
nach der Temperatur. Demnach erhält man als Umrechnungsfaktoren für diese Größen:
Ω SI = DΩ SIAM
S SI = k B S SIAM .
(A.7)
Die spezifische Wärme und ihr Tieftemperaturkoeffizient γ werden zur Berechnung des
Wilson-Verhältnisses R benötigt. Die Wärmekapazität des Systems ist gegeben durch die
Ableitung der Entropie nach der Temperatur multipliziert mit der Temperatur. γ ist dann
die Ableitung der Wärmekapazität nach der Temperatur. Damit ist ihr Verhältnis zu den
entsprechenden Größen im SI-System:
C SI = k B C SIAM
γ SI = k2 B
D γ SIAM .
(A.8)
Auch die Störstellensuszeptibilität wird in Kapitel 4 berechnet. Daher muss man auch die
Umrechnungsfaktoren der elektromagnetischen Größen kennen. Wegen ǫ SI
0 µSI 0 = c SI
− 2
ergibt sich ein gemeinsamer Faktor für die dielektrische Konstante ǫ 0 und die Permeabilität
µ 0 , der auf die beiden Größen verteilt werden kann. Hier wird folgende Wahl getroffen:
ǫ SI
0 = 1 D ǫSIAM 0
µ SI
0 = ħ2
D µSIAM 0 . (A.9)
Da für die Kraft F SI = D F SIAM gilt, folgt für das elektrische Feld
E SI
el = D E SIAM
el . (A.10)
Die Einheit der Ladung hingegen bleibt unverändert. Aus der Maxwell-Gleichung −→ ▽ ×
E el + ∂B
∂t
= 0 erhält man für die magnetische Induktion
B SI = ħB SIAM .

109
Daraus folgt mit B = µ 0 (H + M) sofort für das Magnetfeld und die Magnetisierung
H SI = D ħ H SIAM
M SI = D ħ M SIAM .
(A.11)
Die Suszeptibilität muss nicht umgerechnet werden, da sie einheitenlos ist. Zuletzt sollen
die Umrechnungen noch auf ihre Konsistenz geprüft werden. Hierzu werden alle Transformationen
auf die Definition des Wilson- beziehungsweise Sommerfeld-Verhältnisses R
aus Suszeptibilität χ und γ angewendet. Da R ebenfalls einheitenlos ist müssen sich alle
Umrechnungsfaktoren gegenseitig aufheben. Da in der Definition von R auch das Bohrsche
Magneton µ B = ħe
2m e
auftritt, wird der entsprechende Umrechnungsfaktor bestimmt.
µ SI
B = D ħ µSIAM B
(A.12)
In [13] ist R wie folgt definiert – jedoch nicht in SI-Einheiten –
R := 4π2 k 2 B
3(gµ B ) 2 χ imp
γ imp
.
(A.13)
In SI-Einheiten findet man in [16] folgende Definition:
R :=
π2 k 2 B
µ 0 (µ eff ) 2 χ imp
γ imp
.
(A.14)
Dabei ist µ eff = const. µ B . Der letztlich einzige qualitative Unterschied zwischen beiden
Definitionen ist der zusätzliche Faktor µ 0 , da Hewson in [13] im cgs-Einheitensystem arbeitet.
Damit ergibt die Umrechnung
R =
3µ SI
B
= 4π2
3
4π 2 kB
2 (
gµ
SI
B
µ SIAM
B
) 2
χ SI
γ SI
1 χ SIAM kB 2 ( ) D2 ħ 2
gµ
SIAM 2
γ SIAM k 2 B
B D2 ħ 2
} {{ }
=1
. (A.15)
Damit ist gezeigt, dass die berechneten Umrechnungsfaktoren konsistent sind. Mit ihrer
Hilfe ist es später möglich, die in dieser Arbeit berechneten Werte in SI-Einheiten umzurechnen.

Anhang B
Nebenrechnungen zu Kapitel 2
B.1 Berechnung der Dispersion g (ε)
In Kapitel 2.2.1 kam das Problem der Bestimmung der Dispersionsrelation g (ε) auf, die
den Zusammenhang zwischen ε und ω herstellt. Es galt, die Energien ξ ± n zu bestimmen.
Sie sind durch Integrale über g gegeben:
ξ ± n = 1
d ± n
∫±,n
dεg (ε) .
(B.1)
Die Funktion h(ε) wurde abschnittsweise konstant als Mittelwert der Hybridisierungsfunktion
gewählt:
∫±,n
h ± 2 1
n =
d ± dε 1
n π ∆ (ε)
(B.2)
Anhand der Differentialgleichung
∆ (ω) = π d g−1 (ω)
h [ g −1 (ω) ] 2
dω
(B.3)
ist nun die passende Funktion g zu bestimmen. Die folgende Argumentation folgt der
Herleitung der ξ n ± aus [7]. Gleichung (B.3) kann zunächst durch Trennung der Variablen
für ω ∈ I n ± integriert werden:
∫ω n
±
1
h ± n 2 dω ′ ∆ ( ω ′) = π
ω
g −1 (ω ± n )
∫
g −1 (ω)
dg −1 ( ω ′) = π ( g −1 (ω) − g −1 ( ω ± n
))
. (B.4)
Hier wurde ω ± n ≡ ω u,l Λ −n verwendet. Als Randbedingung wählt man g −1 (ω ± n ) = ω ± n ,
was gleichbedeutend damit ist, dass ε und ω auf den Intervallgrenzen der logarithmischen
Diskretisierung identisch sind. Weiterhin hat diese Wahl zur Folge, dass die in Kapitel 2.3
111

112 Anhang B: Nebenrechnungen zu Kapitel 2
ε
ε = ω
ω n
ω n+1
g(ε)
A
ω n+1
B
ω n
ω
Abbildung B.1: Skizze zur Herleitung der Beziehung zwischen den Integralen ∫ dωg −1 (ω)
und ∫ dεg (ε).
eingeführten Hüpfenergien t n wie Λ −n abfallen [7], was für die Aufstellung der gesuchten
Renormierungsgruppen-Transformation sehr praktisch ist. Damit erhält man folgende
Gleichung für g −1 :
g −1 (ω) = 1 ∫ω n
±
πh ± n 2 dω ′ ∆ ( ω ′) − ω n ± .
(B.5)
ω
Nun muss noch der Zusammenhang zwischen ∫ dωg −1 (ω) und ∫ dεg (ε) hergestellt werden.
Hierzu hilft ein Blick auf Abbildung B.1. Demnach gilt – zunächst nur für Intervalle I + n –
ω 2 n+1 + A + B = ω 2 n .
Die Flächen A und B aus Abbildung B.1 sind hierbei gegeben durch die Integrale
Partielle Integration von B liefert
A =
B =
∫ω n
ω n+1
dεg (ε)
∫
ω n
ω n+1
dωg −1 (ω) .
B = [ ωg −1 (ω) ] ∫+,n
ω n
ω n+1
− dω
( dg −1 (ω)
dω
)
ω .
(B.6)
(B.7)
(B.8)
Für die Ableitung von g −1 kann man wieder Gleichung (B.3) einsetzen. Damit erhält man
schließlich die gesuchte Gleichung für die ξ ± n :
1
d ± n
∫±,n
dεg (ε) = 1
∫ ±,n
dω∆ (ω)ω
d ± n πh ± n 2 , (B.9)

B.2 Abbildung auf die halbunendliche Kette 113
die allgemein gültig ist, da die obige Argumentation für die Intervalle In − vollkommen
analog ist. Setzt man nun noch die Definition der h ± 2 n ein, erhält man Gleichung (2.21)
aus Kapitel 2.2.1. Neben der oben gezeigten Herleitung ist es natürlich auch möglich, das
Integral B direkt aus Gleichung (B.5) zu berechnen. Hierzu muss man die Identität
∫ω n
+
ω + n+1
⎛
∫
⎜
dω ⎝
ω + n
ω
dω ′ ∆ ( ω ′) ⎞
⎟
⎠ = −
∫ω n
+
ω + n+1
⎛
∫
⎜
dω∆ (ω) ω − ⎝
einsetzen. Auch so erhält man das korrekte Ergebnis (2.21).
B.2 Abbildung auf die halbunendliche Kette
ω + n
ω
dω ′ ∆ ( ω ′) ⎞
⎟
⎠ ω + n+1
(B.10)
Die Transformationskoeffizienten, die Hüpfenergien und die On-Site-Energien der Abbildung
auf die halbunendliche Kette (Kapitel 2.3) erhält man aus einem Koeffizientenvergleich,
indem man die Gleichheit der beiden Formen des Anderson-Modells (2.29) und
(2.30) fordert und die Transformationen (2.31) ausnutzt:
1
2
(
1 + Λ
−1 ) ∑ ( )
Λ −n ω u a † nσ a nσ + ω l b † nσ b nσ
n,σ
!
=
∞∑
n=0,σ
Die Startwerte der Iteration sind natürlich (siehe z.B. [4])
(
) ]
[t n c † nσc n+1σ + c † n+1σ c nσ + ε n c † nσc nσ
u 0n = 1 √
ξ0
k + n , v 0n = 1 √
ξ0
k − n ,
(B.11)
t −1 =
√
ξ0
π , ε −1 ≡ ε f . (B.12)
Als nächstes setzt man die Transformation (2.31) für die Vernichtungsoperatoren auf der
linken Seite von (B.11) ein. Ein Koeffizientenvergleich bezüglich der Operatoren c nσ führt
schließlich auf Gleichungen, die die Berechnung der benötigten Größen ermöglichen.
m > 0:
m = 1:
m = 0:
∞∑
n=0,σ
∞∑
n=0,σ
∞∑
n=0,σ
(
)
ξ n + u 0n a † nσ + ξn − v 0n b † !
nσ = ∑ σ
(
)
ξ n + u 1na † nσ + ξ− n v 1nb † !
nσ = ∑ σ
(
)
ξ n + u mna † nσ + ξ− n v mnb † !
nσ = ∑ σ
( )
ε 0 c † 0σ + t 0c † 1σ
(
)
ε 1 c † 1σ + t 0c † 0σ + t 1c † 2σ
(
)
ε m c † mσ + t m−1c † m−1σ + t mc † m+1σ
(B.13)

114 Anhang B: Nebenrechnungen zu Kapitel 2
Bildet man nun für m = 0 den Antikommutator mit c 0σ , so erhält man ε 0 . Der Antikommutator
mit c 1σ hingegen ergibt t 0 . Auflösen der Gleichung für m = 0 nach c † 1σ und
Einsetzen der Transformationsgleichung (2.32) für c † 1σ und c† 0σ liefert letztlich u 1n und
v 1n durch einen erneuten Koeffizientenvergleich. Analoges Vorgehen für m > 0 ergibt die
allgemeinen Iterationsgleichungen, die nun vollständig angegeben werden.
t 2 0 = ∑ (
)
ξ n
+ 2 u
2
0n + ξn
− 2 v
2
0n − ε 2 0
n
ε 0 = ∑ (
ξ
+
n u 2 0n + ξn − v0n)
2
n
u 1n = 1 t 0
u 0n
(
ξ
+
n − ε 0
)
v 1n = 1 t 0
v 0n
(
ξ
−
n − ε 0
)
(B.14)
t 2 m = ∑ n
= ∑ n
[(
)
ξ n
+ 2 u
2
0n + ξn
− 2 (
v
2
0n − t m−1 ξ
+
n u m−1n u mn + ξn − v ) ]
m−1nv mn − ε 2 m
{ [(ξ
+
n − ε m
)
umn − t m−1 u m−1n
] 2 +
[(
ξ
−
n − ε m
)
vmn − t m−1 v m−1n
] 2
}
(
ξ
+
n u 2 mn + ξ− n v2 mn)
ε m = ∑ n
u m+1 = 1
t m
[
umn
(
ξ
+
n − ε m
)
− tm−1 u m−1n
]
v m+1 = 1
t m
[
vmn
(
ξ
−
n − ε m
)
− tm−1 v m−1n
]
(B.15)
Hier sei angemerkt, dass die zweite Gleichung für t 2 m in (B.15) numerisch unproblematischer
ist als die erste, da sie immer einen positiven Wert liefert. Man erhält sie, wenn
man den Antikommutator von (B.13) und c † m+1σ
nicht direkt auswertet, sondern für alle
auftretenden c-Operatoren (2.32) einsetzt und dann den Antikommutator bestimmt.
Die erste Gleichung führt zum Zusammenbruch der Iteration, wenn sie durch die endliche
Genauigkeit einen negativen Wert für t 2 m ergibt.
B.3 Wellenpakete
Krishna-murthy et al. [18] orientieren sich bei der Diskussion in Kapitel 2.3 an folgenden
Grundvorstellungen. Zunächst vereinfachen sie das Anderson-Modell dadurch, dass
sie es als isotrop annehmen, genauer, dass die Fermioberfläche vollständig innerhalb eines
einzelnen isotropen Leitungsbandes mit Bandkanten −D und D liegt, und dass die Hybridisierung
nur von ∣ ∣ k
∣ ∣ nicht aber von der Richtung von
−→ k abhängen soll. Diese Forderungen
führen dazu, dass unter Verwendung von sphärischen Wellen, zentriert an der Störstelle,
als Basissatz für die Leitungsbandzustände die Störstelle nur an s-Wellen koppelt. Damit
konnten sie auf Basis der Erkenntnisse über eindimensionale ebene Wellenpakete einige

B.3 Wellenpakete 115
Eigenschaften der Wellenfunktionen des Leitungsbandes herleiten. Die nun folgende Diskussion
orientiert sich an der Darstellung in [8], ähnliche Darstellungen finden sich aber
sicherlich in jedem ausführlichen Buch über Quantenmechanik.
Ein Wellenpaket aus ebenen Wellen ist folgendermaßen definiert:
∫
Ψ (r,t = 0) = d 3 k g (k) e ikr .
(B.16)
Da das gesamte Problem isotrop sein soll und nur s-Wellen von Interesse sind, kann man
folgende Vereinfachungen vornehmen:
kr = kr und
g (k) = g (k) .
Man kann das Wellenpaket also auf ein eindimensionales Problem vereinfachen:
∫
Ψ (r,t = 0) = dk g (k) e ikr .
(B.17)
(B.18)
Wichtig bei der Bestimmung des Maximums der Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist nun die
Form der Gewichtungsfunktion g (k). Man schreibt sie in der Polardarstellung
g (k) = ∣ ∣ g (k)
∣ ∣e iα(k) .
(B.19)
Ist das Intervall, in dem g (k) ungleich null ist, klein genug und g hinreichend regulär, kann
man g mittels Taylor-Entwicklung um den Schwerpunkt k 0 der Gewichtungsfunktion g (k)
linearisieren und erhält für das Argument
[ ] dα
α (k) = α(k 0 ) + (k − k 0 ) .
(B.20)
dk
k=k 0
Eingesetzt in Gleichung (B.18) findet man die Lage des Schwerpunkts des Wellenpakets
bei
[ ] dα
r m (t = 0) =
(B.21)
dk
k=k 0
.
Ob das Maximum des Wellenpakets im Ursprung, also bei der Störstelle, liegt, hängt zunächst
einmal davon ab, ob die Gewichtungsfunktion g einen Imaginärteil hat. Bei der
Transformation des Anderson-Modells (1.3) auf die Sternform (2.29) ist das sicherlich für
alle Terme mit p ≠ 0 der Fall, da es sich ja um eine Fourier-Entwicklung handelt. Dies
beweist die Aussage, dass nur die Zustände mit p = 0 an der Störstelle lokalisiert sind. Bei
der Abbildung auf die halbunendliche Kette hingegen wurden reelle Transformationskoeffizienten
verwendet und somit ist der Imaginärteil von g (k) null und alle resultierenden
Wellenpakete sind an der Störstelle lokalisiert.

Anhang C
Nebenrechnungen zu Kapitel 3
C.1 Details der iterativen Diagonalisierung
In diesem Anhang soll die iterative Diagonalisierung detaillierter als im Haupttext besprochen
werden, um die Darstellung der Numerischen Renormierungsgruppen-Methode
in dieser Arbeit zu vervollständigen. Die im Folgenden gezeigte Vorgehensweise ist abgesehen
von einigen Formulierungen und Erläuterungen analog zu [4] und [18].
Bevor man mit der Diagonalisierung beginnen kann, benötigt man eine geeignete Konstruktionsvorschrift
für die Basis des jeweiligen Hilbertraums. Um die später zu diagonalisierenden
Matrizen klein zu halten, charakterisiert man die Basiszustände anhand von
geeigneten Erhaltungsgrößen des Hamilton-Operators (3.1). Diese sind analog zu [18] die
Ladung ˆQ N = ˆN − N+2
2
– hier ist ˆN der Operator der Gesamtteilchenzahl – der Gesamtspin
Ŝ2 und die z-Komponente des Gesamtspins Ŝz. Es werden also die Eigenzustände von
H N so berechnet, dass sie auch gleichzeitig Eigenzustände von ˆQ, Ŝ2 und Ŝz sind.
Ausgangspunkt der iterativen Diagonalisierung ist der Störstellenanteil des Anderson-
Hamilton-Operators H SIAM , der gleich H −1 ist.
]
H −1 = Λ −1 H imp = Λ −1 [ ∑
σ
ε −1 c † −1σ c −1σ + Uc † −1↑ c −1↑c † −1↓ c −1↓
(C.1)
Eine Basis, die H −1 diagonalisiert, ist leicht gefunden, die Störstelle kann unbesetzt oder
mit einem beziehungsweise zwei Fermionen besetzt sein. Daher sind die entsprechenden
Basiszustände:
〉 ∣
∣ 0 = ∣Q = −1,S = 0,Sz = 0 〉 −1
c † 〉 ∣
∣
−1σ 0 = ∣0,
1
2 ,σ〉 −1
〉 ∣
∣ 0 = ∣1,0,0
〉−1 . (C.2)
c † −1↑ c† −1↓
Die Indizes ∣ ∣ ...
〉N der Eigenzustände geben an, auf welchen Hamilton-Operator H N beziehungsweise
Iterationsschritt N der NRG sich ihre Quantenzahlen beziehen. Bei der Berechnung
von Matrixelementen wird nur ein solcher Index angegeben, da keine Matrixelemente
zwischen Zuständen aus verschiedenen Iterationsschritten auftreten. Die entsprechende
117

118 Anhang C: Nebenrechnungen zu Kapitel 3
Schreibweise ist also 〈 ... ∣ ∣O ∣ ∣... 〉 N . Die Eigenenergien von H −1 sind mit den Zuständen
(C.2) ganz offensichtlich:
E −1 (−1,0,0) = 0
E −1
(
0, 1 2 ,σ )
= Λ −1 ε −1
E −1 (1,0,0) = Λ −1 (2ε −1 + U)
(C.3)
Nun wird ein Platz zur Kette hinzugefügt, so dass folgender Hamilton-Operator diagonalisiert
werden muss:
H 0 = √ ΛH −1 + ∑ (
)]
[ε 0 c † 0σ c 0σ + t −1 c † −1σ c 0σ + c † 0σ c −1σ . (C.4)
σ
Als Basis des zugehörigen Hilbertraums kann man folgenden Satz von Zuständen aus der
Basis von H −1 konstruieren:
{ ∣∣
Q,S,S z
〉
−1
}
⊗ {∣ ∣0 〉 , ∣ ∣ ↑ 〉 , ∣ ∣ ↓ 〉 , ∣ ∣ ↑↓ 〉} 0 .
(C.5)
Daraus müssen nun orthonormierte Basiszustände mit den Quantenzahlen Q, S und S z
von H 0 konstruiert werden, bevor mit der Diagonalisierung fortgefahren werden kann.
Dies wird nun für den allgemeinen Fall diskutiert. Sei also der Operator H N bereits diagonalisiert
und seine Basis sei
{∣ ∣ w 〉 } {∣
N = ∣ Q,S,S z ,r 〉 N
}
, (C.6)
wobei w ein Index ist, der die Eigenzustände von 1 bis zur Dimension des Hilbert-Raums
von H N durchnummeriert; der Index r steht für weitere Dimensionen innerhalb eines
{Q,S,S z }-Unterraums. Die Basis für den neu hinzugefügten Platz der Kette ist vierdimensional:
{∣ ∣i
〉}
=
{∣ ∣0
〉
,
∣ ∣ ↑
〉
,
∣ ∣ ↓
〉
,
∣ ∣ ↑↓
〉}
, i = 1,2,3,4 . (C.7)
Die neue Basis für H N+1 ist damit:
{ ∣∣
w,i 〉 N+1}
= {∣ ∣w 〉 N ⊗ ∣ ∣i 〉} =
{ ∣∣Q,S,Sz
= ,r;0 〉 N+1 ,∣ ∣ Q,S,Sz ,r; ↑ 〉 N+1 ,∣ ∣ Q,S,Sz ,r; ↓ 〉 N+1 ,∣ ∣ Q,S,Sz ,r; ↑↓ 〉 }
.
N+1
(C.8)
In dieser Darstellung beziehen sich die dem Index w entsprechenden Quantenzahlen
{Q,S,S z ,r} auf das System H N und geben nicht die Quantenzahlen der Basiszustände
des Systems H N+1 wieder. Aus den Zuständen ∣ w,i müssen also zuerst die passenden
Linearkombinationen gebildet werden, so dass sie dann Eigenzustände von
〉N+1
Ladung

C.1 Details der iterativen Diagonalisierung 119
und Spin von H N+1 sind. Gleichzeitig sollen sie noch orthonormiert sein. Mit diesen
Bedingungen erhält man leicht die folgende Konstruktionsvorschrift:
∣ Q,S,Sz ,r;1 〉 N+1 = ∣ Q + 1,S,Sz ,r;0 〉 N+1
∣
∣Q,S,S z ,r;2 〉 N+1 = a∣ ∣Q,S − 1 2 ,S z − 1 2 ,r; ↑ 〉 N+1 + b∣ ∣Q,S − 1 2 ,S z + 1 2 ,r; ↓ 〉 N+1
∣ Q,S,Sz ,r;3 〉 N+1 = c∣ ∣
1 Q,S +
2 ,S z − 1 2 ,r; ↑ 〉 N+1 + d∣ ∣
1 Q,S +
2 ,S z + 1 2 ,r; ↓ 〉 N+1
∣ Q,S,Sz ,r;4 〉 N+1 = ∣ Q − 1,S,Sz ,r; ↑↓ 〉 N+1 .
(C.9)
Hier sind nun Q, S und S z tatsächlich die Quantenzahlen des neuen Systems mit dem
Hamilton-Operator H N+1 . Da die Hamilton-Operatoren H N mit Ladung, Gesamtspin und
dessen z-Komponente vertauschen, ist H N+1 in der Basis (C.9) auf jeden Fall blockdiagonal.
Das heißt, dass es keine Matrixelemente zwischen Unterräumen mit verschiedenem
Q, S oder S z gibt. Die Vorfaktoren a, b, c und d werden so bestimmt, dass die neuen
Basisvektoren ein Orthonormalsystem bilden.
√ √
S + Sz S −
a =
2S
, b = Sz
,
2S
√ √
S − Sz + 1 S +
c =
2S + 2 , d = Sz + 1
(C.10)
2S + 2
In dieser Basis müssen nun die Matrixelemente von H N+1 berechnet werden. Sie werden
anschließend zur Diagonalisierung genutzt. Hier erkennt man den Vorteil der so konstruierten
Basiszustände. Der erste und zweite Summand in Gleichung (C.11) sind in der Basis
(C.9) nämlich schon diagonal und die Matrixelemente des ersten Summanden ergeben sich
sofort aus den Eigenenergien von H N . Auch die Matrixelemente des zweiten Summanden
lassen sich leicht bestimmen, so dass nur noch die Matrixelemente des dritten Summanden,
des Kopplungsterms, etwas mühsamer zu berechnen sind. Die gesuchten Matrixelemente
sind von der Form
〈
Q,S,Sz ,r;i ∣ ∣ HN+1
∣ ∣Q,S,Sz ,r ′ ;j 〉 N+1 =
= √ Λ 〈 Q,S,S z ,r;i ∣ ∣
∣H N Q,S,S z ,r ′ ;j 〉 N+1
+ Λ N 〈
2 Q,S,Sz ,r;i ∣ ∑ ε N+1 c † N+1σ c ∣
N+1σ Q,S,Sz ,r ′ ;j 〉 N+1
σ
〈
+ Λ N 2 Q,S,Sz ,r;i ∣ ∑ σ
t N
(c † Nσ c N+1σ + c † N+1σ c Nσ) ∣∣Q,S,Sz
,r ′ ;j 〉 N+1 . (C.11)
Der erste Summand liefert folgende Energien:
〈
Q,S,Sz ,r;i ∣ ∣H N
∣ ∣ Q,S,S z ,r ′ ;j 〉 N+1 = ⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
E N (Q + 1,S,r) δ rr ′ i = j = 1
E N
(
Q,S −
1
2 ,r) δ rr ′ i = j = 2
E N
(
Q,S +
1
2 ,r) δ rr ′ i = j = 3
E N (Q − 1,S,r) δ rr ′ i = j = 4 .
(C.12)

120 Anhang C: Nebenrechnungen zu Kapitel 3
S ↓ σ →
1
2
− 1 2
S ′ + 1 2
√
S ′ +S z+ 1 2
2S ′ +1
√
S ′ −S z+ 1 2
2S ′ +1
S ′ − 1 2
−√
S ′ −S z+ 1 2
2S ′ +1
√
S ′ +S z+ 1 2
2S ′ +1
Tabelle C.1: Clebsch-Gordon-Koeffizienten 〈 S ′ ,S ′ z, 1 2 ,σ∣ ∣ S,Sz
〉
.
Der zweite Summand trägt folgende Matrixelemente bei:
〈
Q,S,Sz ,r;i ∣ ∣ ∑ σ
0 j = 1
⎧⎪
ε N+1 c † N+1σ c ∣
N+1σ∣Q,S,S z ,r ′ ;j 〉 ⎨
N+1 = ε N+1 δ rr ′ i = j = 2
ε N+1 δ rr ′ i = j = 3
⎪ ⎩
2ε N+1 δ rr ′ i = j = 4 .
(C.13)
Wie bereits erwähnt, erfordern die Beiträge des dritten Summanden einen etwas größeren
Aufwand:
〈
Q,S,Sz ,r;i ∣ c
†
Nσ c N+1σ + c † N+1σ c ∣
Nσ Q,S,Sz ,r ′ ;j 〉 i,j = 1,2,3,4 .
N+1 (C.14)
Aufgrund der speziellen Wahl der Basis sind sie aber reell, so dass es wegen
〈
Q,S,Sz ,r;i ∣ c
†
∣ Q,S,Sz ,r ′ ;j 〉 = 〈 Q,S,S z ,r ′ ;j ∣ c
†
∣ Q,S,Sz ,r;i 〉
Nσ c N+1σ
N+1σ c Nσ
(C.15)
genügt, einen dieser beiden Werte zu berechnen. Schließlich lässt sich auch das Wigner-
Eckart-Theorem [19] anwenden, da man die Operatoren c (†)
Nσ
als Komponenten eines Tensors
-ter Stufe auffassen kann. Angewandt auf den vorliegenden Fall lautet es (vergleiche [4]):
1
2
〈
Q,S,Sz ,r ∣ ∣ c
†
Nσ
∣ Q ′ ,S ′ ,S z,r ′ ′〉 N = 〈 Q,S,r ∣ ∣ c
† ∣ ∣ Q ′ ,S ′ ,r ′〉 N〈
S ′ ,S z, ′ 1 2 ,σ∣ 〉
∣ S,Sz . (C.16)
Der erste Faktor auf der rechten Seite von (C.16) ist ein sogenanntes reduziertes Matrixelement,
das nicht mehr von S z abhängt; der zweite Faktor ist ein Clebsch-Gordon-Koeffizient
für die Addition eines Spin- 1 2 zu einem System mit Gesamtspin S′ . Alle benötigten Clebsch-
Gordon-Koeffizienten sind in Tabelle C.1 zusammengefasst. Damit lassen sich die benötigten
Matrixelemente leicht berechnen. Im Folgenden werden nur die nichtverschwindenden
Elemente angegeben:
∑〈 Q,S,Sz ,r;1 ∣ c
†
σ
∑〈 Q,S,Sz ,r;1 ∣ c
†
σ
Nσ c N+1σ
Nσ c N+1σ
N
∣ Q,S,Sz ,r ′ ;2 〉 N+1 = 〈 Q + 1,S,r ∣ ∣ c
†
∣ ∣ 1
N Q,S −
2 ,r′〉 N ≡ a
∣ Q,S,Sz ,r ′ ;3 〉 N+1 = 〈 Q + 1,S,r ∣ ∣ c
†
∣ ∣ 1
N Q,S +
2 ,r′〉 N ≡ b

C.1 Details der iterativen Diagonalisierung 121
∑
σ
∑
σ
〈
Q,S,Sz ,r;2 ∣ ∣c † Nσ c N+1σ∣
∣Q,S,S z ,r ′ ;4 〉 N+1 =
〈
Q,S,Sz ,r;3 ∣ ∣c † Nσ c N+1σ∣
∣Q,S,S z ,r ′ ;4 〉 N+1 =
√
2S 〈 1
= Q,S −
2S + 1 2 ,r∣ ∣ ∣ ∣c † ∣ ∣ N
∣Q − 1,S,r ′〉 N ≡ c
√
2S + 2 〈 1
= − Q,S +
2S + 1 2 ,r∣ ∣ ∣ c
†
∣ ∣ N Q − 1,S,r
′ 〉 N ≡ d . (C.17)
Mit diesen Ergebnissen kann man jetzt beginnen, sich ein Bild der zu diagonalisierenden
Matrix zu machen. Hier ist zunächst die schon erwähnte blockdiagonale Form zu bedenken,
wodurch nur Matrixelemente mit Q = Q ′ , S = S ′ und S z = S z ′ berücksichtigt werden
müssen. Am besten beginnt man dabei mit einem kleinen Ausschnitt der vollen Matrix, in
dem Q, S, S z , r und r ′ festgelegt und somit i und j die verbleibenden Indizes sind.
⎛
B 1 ≡ √ Λ⎜
⎝
B 2 ≡ Λ N 2
B 3 ≡ Λ N 2
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
E N,Q+1,S,r δ rr ′ 0 0 0
0 E N,Q,S−
1
2 ,r δ rr ′ 0 0
0 0 E N,Q,S+
1
2 ,r δ rr ′ 0
0 0 0 E N,Q−1,S,r δ rr ′
0 0 0 0
0 ε N+1 δ rr ′ 0 0
0 0 ε N+1 δ rr ′ 0
0 0 0 2ε N+1 δ rr ′
0 t N a t N b 0
t N a 0 0 t N c
t N b 0 0 t N d
0 t N c t N d 0
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
(C.18)
Die drei Matrizen B 1 , B 2 und B 3 enthalten die Beiträge der drei Summanden aus Gleichung
(C.11). Mit A r,r ′ ≡ B 1 + B 2 + B 3 kann man nun den nächstgrößeren Ausschnitt der
Hamilton-Matrix aufbauen, für den nur noch Q, S und S z festgelegt sind.
⎛
⎞
A 1,1 A 1,2 ... A 1,rmax
H Q,S,Sz ≡
A 2,1 A 2,2 .
⎜
⎝
.
. ..
⎟ (C.19)
⎠
A rmax,1 ... A rmax,r max
Die gesamte Hamilton-Matrix H N+1 ist aus Blöcken der Form (C.19) aufgebaut und hängt
nicht mehr von S z ab:
⎛
⎞
H Qmin ,S,S z
0 ... 0
.
H N+1 =
0 .. .
⎜
⎟ (C.20)
⎝ .
⎠
0 ... H Qmax,S,S z

122 Anhang C: Nebenrechnungen zu Kapitel 3
Die Diagonalisierung erfolgt numerisch. Sie liefert die Eigenenergien E N+1 sowie die zugehörigen
Eigenvektoren, die wiederum eine unitäre Transformation der Form (3.7) liefern
(siehe [4]):
∣ Q,S,Sz ,w 〉 N+1 = ∑ U Q,S (w,ri) ∣ Q,S,Sz ,r,i 〉 N+1 . (C.21)
r,i
Diese bildet die Basis (C.9) auf die Basis der Eigenzustände von H N+1 ab, deren Form
Gleichung (C.6) entspricht. Außerdem ermöglicht sie die Bestimmung der reduzierten Matrixelemente
für den folgenden Iterationsschritt über den Zusammenhang (siehe wieder
[4]):
〈 ∣∣ Q,S,w c † ∣
N+1∣ ∣ ∣Q ′ ,S ′ ,w ′〉 N+1 =
= ∑ [
(
U QS (w,rk) U Q ′ S ′ w ′ ,r1 ) ± 2S′ + 1
2S + 1 U (
QS (w,r4) U Q ′ S ′ w ′ ,rk′ )] (C.22)
r
Hierbei gelten die folgenden Bedingungen:
S = S ′ + 1 2 ⇒ „ + “ und k = 2, k′ = 3
S = S ′ − 1 2 ⇒ „ − “ und k = 3, k′ = 2 .
(C.23)
Um nun die iterative Diagonalisierung mit Hilfe des Computers durchführen zu können,
muss man nur noch die reduzierten Matrixelemente für N = −1 kennen. Diese sind in [4]
angegeben:
〈 ∣∣ − 1,0 ∣c †
∣ ∣ 〉
−1 − 1,0
−1 = 0 〈 0, 1 ∣ ∣ 2 c
†
∣ ∣ −1 − 1,0
〉−1 = 1 〈 ∣∣ 1,0 ∣c †
∣ ∣ −1 − 1,0
〈 ∣∣ 〉−1 = 0
− 1,0 ∣c †
∣ ∣ 〉
−1 0,
1
2 −1 = 0 〈 0,
1∣ ∣ 2 c
†
∣ ∣ −1 0,
1
2
〉−1 = 0 〈 ∣∣ 1,0 ∣c †
∣ ∣ 〉
−1 0,
1
2
= −√ 2
〈 ∣∣ − 1,0 ∣c †
∣ ∣ −1 1,0
〉−1 = 0 〈 0,
1∣ ∣ 2 c
†
∣ ∣ −1 1,0
〉−1 = 0 〈 ∣∣ 1,0 ∣c †
∣ ∣ −1 1,0
〉−1 = 0 .
(C.24)
C.2 Details zur numerischen Ableitung und Interpolation
Bei der Berechnung der thermodynamischen Größen müssen häufig Ableitungen berechnet
werden. Auch die Kondo-Temperatur T K wird mittels einer Wendepunktanalyse bestimmt,
die die Kenntnis der zweiten Ableitung der Entropie nach der Temperatur voraussetzt. Die
Berechnung des Wilson-Verhältnisses R erfordert sogar eine Interpolation der Datensätze
von magnetischer Suszeptibilität und Koeffizient der spezifischen Wärme, um Wertepaare
bei gemeinsamen Temperaturen zu erhalten. Daher wird in diesem Kapitel die Lagrange-
Interpolation vorgestellt, die auch zur numerischen Ableitung führt. Dabei folgt die hier
gegebene Einführung der sehr ausführlichen Darstellung in [23]. Diese Werkzeuge werden
anschließend auf die in dieser Arbeit auftretenden Probleme angewendet. Auch die Schwächen
numerischer Differentiation werden diskutiert.

C.2 Details zur numerischen Ableitung und Interpolation 123
C.2.1
Lagrange-Interpolation
Gegeben seien n+1 diskrete, paarweise verschiedene Stützstellen (x i ,y i ) mit i = 0,1,... ,n
einer Funktion f (x) mit f (x i ) = y i . Gesucht ist hierzu ein Polynom n-ten Grades
P n (x) = a 0 + a 1 x + ... + a n x n
(C.25)
mit der Eigenschaft
P n (x i ) = y i ,
(C.26)
das eine Näherung der Funktion f darstellt. Ein Polynom mit den gewünschten Merkmalen
ist gegeben durch
P n (x) ≡
L i (x) ≡
n∑
y i L i (x)
i=0
n∏
j=0
j≠i
L i (x k ) = δ ik .
x − x j
x i − x j
(C.27)
(C.28)
(C.29)
Wie sich leicht zeigen lässt (siehe [23]), existiert zu den Stützstellen (x i ,y i ) genau ein solches
Polynom. Zur Herleitung eines einfachen Algorithmus, der das Interpolationspolynom
P n (x) berechnet, müssen die Funktionen L i (x) etwas umgeformt werden:
⎞
L i (x) =
n∏
j=0
j≠i
x − x j
= 1
x i − x j
⎛
⎝ 1
x − x i
∏ n
j=0
j≠i
(x i − x j ) ⎠
n∏
(x − x k ) . (C.30)
k=0
Hiermit definiert man
λ i ≡
n∏
j=0
j≠i
1
x i − x j
µ i ≡ λ i
x − x i
mit i = 0,1,... ,n .
(C.31)
(C.32)
Unter Verwendung dieser Definitionen wird das Interpolationspolynom (C.27) zu
( n∑
)
∏ n
P n (x) = µ i y i (x − x k ) . (C.33)
i=0
Wählt man y i = 1 für alle i, so findet man folgende allgemein gültige Identität, da die µ i
ja nicht von der Wahl der y i abhängen,
n∏
(x − x k ) =
k=0
k=0
1
∑ n
i=0 µ i
, (C.34)

124 Anhang C: Nebenrechnungen zu Kapitel 3
und erhält letztlich für das Interpolationspolynom
P n (x) =
∑ n
i=0 µ iy i
∑ n
i=0 µ i
. (C.35)
Gleichung (C.35) heißt auch „baryzentrische Formel der Lagrange-Interpolation“. Zur Herleitung
des gesuchten Algorithmus, der auf einfache Weise die Koeffizienten λ i berechnet,
muss man nur noch wissen, wie sich die λ i verändern, wenn eine neue Stützstelle
(x n+1 ,y n+1 ) hinzugefügt wird. Hierzu benötigt man die leicht zu beweisende Beziehung
(siehe wieder [23])
n∑
λ i = 0 für n 1 .
(C.36)
i=0
Der Satz der λ i für n + 1 Stützstellen wird im folgenden mit λ (n)
i
bezeichnet, der für n + 2
Stützstellen mit λ (n+1)
i
. Aus Gleichung (C.31) erhält man
λ (n+1)
i
= λ (n)
i
1
für i = 0,1,... ,n
x i − x n+1
(C.37)
Der letzte Koeffizient λ (n+1)
n+1 folgt dann aus Gleichung (C.36). Damit lässt sich nun ein
einfaches Rekursionsschema aufsetzen. Man startet wegen Gleichung (C.37) mit λ (0)
0 = 1.
Die Rekursion für k = 1,2,... ,n ist dann
λ (k)
i
λ (k)
k
1
für i = 0,1,... ,k − 1
x i − x k
∑
λ (k)
i
. (C.38)
= λ (k−1)
i
k−1
= −
i=0
Wenn alle λ (n)
i
berechnet sind, kann man die µ i für einen Interpolationswert x bestimmen
und damit den interpolierten Wert y = P n (x). Im Fall äquidistanter Stützstellen mit
Abstand h, also x 1 = x 0 + h, x 2 = x 0 + 2h usw. vereinfachen sich die λ i zu
( )
λ i = (−1)n
h n (−1) i n
, (C.39)
n! i
wobei der erste Faktor in P n (x) herausfällt.
C.2.2
Anwendung der Lagrange-Interpolation: Numerische Ableitung
Das im vorhergehenden Abschnitt eingeführte Interpolationspolynom (C.27) kann zur Herleitung
von Regeln für die numerische Ableitung der Funktion f (x) verwendet werden,
deren Näherung das Polynom ist. Hier muss vorausgesetzt werden, dass die Funktion f
zumindest n-mal stetig differenzierbar sein soll. Man nutzt folgende Form von P n (x):
P n (x) =
n∑ ∏
y i λ i (x − x j ) . (C.40)
i=0
j=0
j≠i

C.2 Details zur numerischen Ableitung und Interpolation 125
Hieraus erhält man dann leicht für die n-te Ableitung
d n P n (x)
dx n =
n∑
y i λ i n! ≈ f (n) (x) .
i=0
(C.41)
Dieses Verfahren findet hauptsächlich im Fall äquidistanter Stützstellen mit Abstand h
Anwendung, da in diesem Fall die gesonderte Berechnung der Faktoren λ i entfällt. Mit den
λ i aus Gleichung (C.39) erhält man dann
f (n) (x) ≈ 1
h n
n∑
( )
(−1) n−i n
y i .
i
i=0
(C.42)
Die Stelle ξ, an der Gleichung (C.42) die Funktion f (n) (x) am besten approximiert, ist
meist der Mittelpunkt der verwendeten Stützstellen. Man kann diese Näherung verbessern,
indem man f (n) (x) über die n-te Ableitung von P m (x) mit m > n berechnet.
Im Falle nicht-äquidistanter Stützstellen bestimmt man die erste Ableitung am einfachsten
mittels P 1 (x), also über eine lineare Näherung. Das Ergebnis ist dann einfach
f ′ (x M ) ≈ y 1 − y 0
x 1 − x 0
mit x M = 1 2 (x 0 + x 1 ) .
(C.43)
Hier ist es nämlich egal, ob die Stützstellen gleiche Abstände voneinander haben oder nicht,
da ohnehin nur jeweils zwei von ihnen betrachtet werden. Bei äquidistant verteilten Stützstellen
erhält man ein bis O ( h 4) korrektes Ergebnis für die erste Ableitung über P 4 (x).
Man berechnet hierzu P ′ 4 (x 2), da x 2 der Mittelpunkt der fünf verwendeten Stützstellen ist:
P ′ 4 (x 2 ) = 1
12h (y 0 − 8y 1 + 8y 3 − y 4 ) = f ′ (x 2 ) + O ( h 4) .
(C.44)
C.2.3
Anwendung auf die Thermodynamik des Störstellen-Anderson-
Modells und Probleme
Die erste Ableitung gemäß Gleichung (C.43) wird in Kapitel 3.2.2 zur Berechnung der
Entropie aus der Freien Energie verwendet. Auch der Koeffizient der spezifischen Wärme
γ wird auf diese Weise aus der Entropie bestimmt. Wie in Kapitel 3.2.3 gezeigt, ist γ
durch die zweite Ableitung der Freien Energie nach der Temperatur gegeben. Damit erhält
man eine Formel, die den Koeffizienten der spezifischen Wärme durch die Freie Energie
ausdrückt:
γ ( T N
′ ) ∂
∂T
=
F (N+1)
SIAM
( ) ∂F
≈ S 1 − S 2
∂T T 1 − T 2
(N−1)
−F N SIAM +Λ− 2 (EG,N+1 + √ ΛE G,N)
T N+1 −T N−1
− F (N−1)
SIAM
1
2 [(T N+1 + T N−1 ) − (T N−1 + t N−3 )]
(N−3) N−2
−F SIAM +Λ− 2 (E G,N−1 + √ ΛE G,N−2)
T N−1 −T N−3
(C.45)

126 Anhang C: Nebenrechnungen zu Kapitel 3
Hier ist die Temperatur T
N ′ = 1 2 T N−1 + 1 4 (T N+1 + T N−3 ). Die magnetische Suszeptibilität
wird vollkommen analog zur Entropie durch Ableitung des effektiven magnetischen
Moments berechnet.
Die Ableitung nach Gleichung (C.44) wird zur Bestimmung der Kondo-Temperatur verwendet.
Da sich der Wertebereich der Temperatur über sehr viele Zehnerpotenzen erstreckt
und T N sehr klein wird, wird die Entropie auf einer logarithmischen Skala differenziert.
Statt nach T wird nach dem Zehnerlogarithmus der Temperatur log (T) abgeleitet. Das
bedeutet
∂S
∂log (T) ∣ ≈
log(T ′
N )
1
12log (Λ) (S N−2 − 8S N−1 + 8S N+1 − S N+2 ) ,
(C.46)
wobei S N abkürzend für S (T
N ′ ) aus Gleichung (3.20) geschrieben wurde. Dies ist möglich,
da auf einer logarithmischen Temperaturskala die gegebenen Stützstellen äquidistant mit
Abstand log (Λ) verteilt sind (siehe auch Abbildung 3.3). Nach zweimaliger Differentiation
muss der resultierende Datensatz nur noch nach einer Nullstelle durchsucht werden.
Aus dieser ergibt sich dann die Kondo-Temperatur. Praktisch werden die Daten dazu nach
Vorzeichenwechseln in der zweiten Ableitung der Entropie zwischen zwei aufeinanderfolgenden
Temperaturpunkten abgesucht. Anhand einer numerischen Bedingung muss dann
entschieden werden, ob es sich bei dem Vorzeichenwechsel nur um Rauschen um die Null
oder um eine wirkliche Nullstelle handelt. Handelt es sich tatsächlich um eine Nullstelle,
wird die zweite Ableitung zwischen den gefundenen Temperaturen linear interpoliert und
die Nullstelle der Interpolationsgeraden bestimmt.
Generell ist beim numerischen Ableiten Vorsicht geboten. Bei der Bestimmung der Kondo-
Temperatur wird die Entropie nach dem Logarithmus der Temperatur abgeleitet. Dies ist
unerheblich, da ja lediglich eine analytische Eigenschaft von S (T) gesucht ist. Deren Lage
hängt nicht davon ab, ob man die Entropie auf einer linearen oder einer logarithmischen
Skala betrachtet. Lediglich die Numerik ist im letzteren Fall zuverlässiger, da nicht Quotienten
von Zahlen berechnet werden müssen, die sich um viele Größenordnungen unterscheiden.
Will man jedoch eine bestimmte physikalische Größe berechnen, die als Ableitung
einer anderen definiert ist, macht es einen großen Unterschied, ob man beispielsweise nach
T oder nach log (T) ableitet. Denn die beiden Ableitungen hängen ja über
∂S ∂S
= ln (10) T
∂log (T) ∂T
(C.47)
zusammen. Bei einer analytischen Betrachtung würde dies keine Schwierigkeit darstellen.
Bei numerischer Ableitung ergeben sich jedoch einige Schwierigkeiten. Da ja nur mit diskreten
Stützstellen gearbeitet wird, ist nicht ganz klar, welcher Wert der Temperatur auf
der rechten Seite von Gleichung (C.47) steht und ob sie die gleiche ist, an der auch die
Ableitungen auf beiden Seiten gültig sind. Die Verbesserung, die die Ableitung nach dem
Logarithmus der Temperatur mit sich bringt, würde so vermutlich auch wieder verloren
gehen.
Weiterhin müssen Ableitungen konsistent sein, wenn zwei Größen miteinander verglichen
werden, wie es bei der Berechnung des Wilson-Verhältnisses der Fall ist. Hier muss der

C.3 Berechnung der Störstellen-Spektralfunktion 127
Quotient aus magnetischer Suszeptibilität und dem Koeffizienten der spezifischen Wärme
berechnet werden. Damit die Ergebnisse konsistent sind, ist es wichtig, dass beide Größen
auf die gleiche Weise, also mit der gleichen Ableitungsformel und der gleichen numerischen
Genauigkeit, berechnet wurden. Denn nur so sind die durch die Numerik eingebrachten systematischen
Fehler gleich und heben sich bei der Berechnung eines Quotienten gegenseitig
auf. Insbesondere beim Wilson-Verhältnis ist das wichtig, da es im Fall des Störstellen-
Anderson-Modells zum Beispiel mit V ≫ U gerade 2 ergeben muss. So ist es auch von
Bedeutung, ob eine Größe innerhalb des NRG-Hauptprogramms während der iterativen
Diagonalisierung aus dem Programmspeicher heraus berechnet wird oder danach, so dass
die Eingabegrößen für die Differentiation aus einer Datei eingelesen werden müssen. Daher
wurde für diese Arbeit die Berechnung von γ imp und χ imp in den Algorithmus zur iterativen
Diagonalisierung integriert.
C.3 Berechnung der Störstellen-Spektralfunktion
In Kapitel 3.2.6 wurde die Bedeutung der Störstellen-Spektralfunktion A f (ω) anschaulich
erklärt und ihre prinzipielle Berechnung mittels der Vielteilchen-Theorie hergeleitet. Die
so aufgestellte Gleichung lautet:
A σ (ω) = 1 ∑
∣ 〈 i ∣ ∣ 〉∣ ( )
c−1σ∣j ∣
2 δ (ω + Ei − E j ) e −βE i
+ e −βE j
Z
i,j
. (C.48)
Die explizite Berechnung dieses Ausdrucks mit Hilfe der Informationen, die die iterative
Diagonalisierung liefert, ist ausführlich in [6] beschrieben. Die wesentlichen Punkte werden
hier aber kurz wiederholt. Am einfachsten ist zunächst die Betrachtung des Grenzfalls
T → 0. Dann treten in Gleichung (C.48) nur noch Matrixelemente auf, in denen entweder
∣ ∣j 〉 = ∣ ∣0 〉 oder ∣ ∣i 〉 = ∣ ∣0 〉 mit dem Grundzustand ∣ ∣0 〉 gilt. Dies sieht man leicht ein,
wenn man Gleichung (C.48) mit eβE G
multipliziert und den Limes β → ∞ ausführt. Im
e βE G
Iterationsschritt N der iterativen Diagonalisierung hat man damit
A N σ (ω,T = 0) = 1 ∑
∣ 〈 i ∣ ∣
∣c −1σ 0 〉 ∣ 2 δ ( ω + E N )
Z N (T = 0)
N i
i
1 ∑
+
∣ 〈 0 ∣ ∣ 〉
c−1σ∣j ∣ 2 δ ( ω − E N )
Z N (T = 0)
N j
j
(C.49)
da die Grundzustandsenergie EG N in jedem Schritt auf 0 gesetzt wird. Die charakteristische
Energie-Skala des Hamilton-Operators H N wird in [6] mit ω N = 1 (
2 1 + Λ
−1 ) Λ − N−1
2 angegeben
und ist proportional zur Temperatur T N aus Kapitel 3.2.1. Das Frequenz-Intervall,
in dem Gleichung (C.49) die Störstellen-Spektralfunktion gut nähert, ist nach oben durch
die Beschneidung des Hilbert-Raumes nach jedem Iterationsschritt begrenzt, die die hochenergetischen
Anregungen verwirft. Für Frequenzen unterhalb von ω N kann (C.49) nur eine
Näherung sein, da die niederenergetischen Anregungen erst in Hamilton-Operatoren H M
mit M > N enthalten sind, wie in Kapitel 2.3 begründet wird. Daher ist A N σ (ω,T = 0)

128 Anhang C: Nebenrechnungen zu Kapitel 3
innerhalb des Intervalls [ω N ,K (Λ) ω N ] eine gute Näherung von A σ (ω,T = 0). Die Zahl
K (Λ) liegt nach [6] normalerweise zwischen 5 und 10.
Ein Problem bleibt noch bestehen. Auf diese Weise erhält man wegen der δ-Funktionen in
(C.49) immer nur diskrete Spektren. Um die berechneten Spektren mit Messungen vergleichen
zu können, ersetzt man daher die δ-Funktionen durch glatte Funktionen, beispielsweise
eine Gauß-Verteilung, deren Halbwertsbreite noch zu spezifizieren ist. Eine genaue
Diskussion dieser Verbreiterungs-Prozedur findet sich in [6].
Für Temperaturen T > 0 ist die Berechnung der Spektralfunktion wesentlich komplizierter,
da nun Matrixelemente zwischen allen Eigenzuständen ∣ ∣ i
〉
zu Aσ (ω,T) beitragen.
Demnach enthält die Spektralfunktion für endliches T bei ω ≈ ω N Beiträge aus allen Iterationsschritten
n N. Aufgrund der Boltzmann-Faktoren in Gleichung (C.48) werden aber
alle Anteile mit n < N für ω N > T stark unterdrückt, so dass man bei diesen Frequenzen
ω N folgende Näherung machen kann:
A σ (ω N ,T) ≈ A N σ (ω N ,T)
1 ∑
= ∣ 〈 i ∣ ∣ 〉
c−1σ∣j Z N (T)
i,j
N
∣ 2 δ ( ω N + Ei
N
− E N j
) ( e −βEN i + e −βEN j
)
. (C.50)
Will man allerdings Frequenzen ω N T betrachten, wird die Berechnung komplizierter
und unzuverlässiger, wie in [6] diskutiert wird. In dieser Arbeit soll nur die Spektralfunktion
im Limes T → 0 berechnet werden, wobei jedoch der Algorithmus für endliche
Temperaturen verwendet wird. Daher wird die Temperatur auf einen sehr kleinen Wert
gesetzt, für den gegebenenfalls T ≪ T K gilt, wenn es bei den gewählten Parametern eine
Kondo-Temperatur gibt. Die Frequenzen, bei denen die erwähnten Probleme auftauchen,
sind damit so nahe bei null, dass sie keine Rolle mehr spielen.
Zum Abschluss soll nur noch die Berechung der Matrixelemente 〈 i ∣ ∣
∣c −1σ j 〉 N erläutert
werden. Man erhält sie rekursiv aus der Kenntnis der Matrixelemente 〈 i ∣ ∣ c−1σ∣j 〉−1 mittels
der Transformation (3.7):
〈 ∣ ∣ 〉
i∣c−1σ∣j N = ∑ ∑
U i,rk U j,r ′ k ′δ 〈 ∣ ∣
kk ′ r∣c−1σ∣r ′ 〉 N−1 . (C.51)
r,k r ′ ,k ′

Anhang D
Ergänzungen zu Kapitel 4
In Kapitel 4 werden die Ergebnisse von NRG-Rechnungen mit verschiedenen Parametersätzen
diskutiert. Um nicht ständig alle Modellparameter aufzählen zu müssen, werden
den einzelnen Sätzen Namen gegeben, die das verwendete Hybridisierungsmodell und eine
Laufnummer enthalten. Diese sind hier zusammen mit den zugehörigen Parametern tabellarisch
aufgeführt. Rechnungen mit Hybridisierungsfunktionen gemäß Gleichung (4.1)
werden mit potenz-x abgekürzt, Rechnungen mit dem Modell (4.2) heißen stufe-x.
Name ∆ 0 a Λ
stufe-1 0.03 0.028 2.5
stufe-2 0.03 0.01 2.5
Tabelle D.1: Zusammenstellung der verwendeten Parametersätze für Hybridisierungsfunktionen
gemäß (4.2).
129

130 Anhang D: Ergänzungen zu Kapitel 4
Name U ε f Λ ∆ 0 r c 1 c 2
U
π∆ 0
potenz-1 1 −0.5 2.5 0.03 0 0 1 10.6
potenz-2 1 −0.5 2.5 0.07 0 0 1 4.5
potenz-3 1 −0.5 2.5 0.09 0 0 1 3.5
potenz-4 1 −0.5 2.5 0.03 1 −0.5 1 10.6
potenz-5 1 −0.5 2.5 0.03 1 0.5 1 10.6
potenz-6 1 −0.5 2.5 0.03 2 −0.5 1 10.6
potenz-7 1 −0.5 2.5 0.03 2 0.5 1 10.6
potenz-8 1 −0.5 2.5 0.03 3 −0.5 1 10.6
potenz-9 1 −0.5 2.5 0.03 3 0.5 1 10.6
potenz-10 1 −0.5 2.5 0.03 4 −0.5 1 10.6
potenz-11 1 −0.5 2.5 0.03 4 0.5 1 10.6
potenz-12 1 −0.5 2.5 0.03 10 −0.5 1 10.6
potenz-13 1 −0.5 2.5 0.03 10 0.5 1 10.6
potenz-14 1.5 −0.75 2.5
1
2π
0 0 1 3
potenz-15 1 −0.5 1.8
1
π
0 0 1 1
Tabelle D.2: Zusammenstellung der verwendeten Parametersätze für Hybridisierungsfunktionen
gemäß (4.1).

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