Kondo-Effekt in Systemen mit niedriger Ladungsträgerkonzentration

14 Kapitel 2: Vorbereitung der NRG
Für die Hintereinanderausführung von R α und R β gilt:
R β {R α {H (x)}} = R αβ {H (x)} . (2.3)
Eine sehr wichtige Eigenschaft einer Renormierungsgruppen-Transformation ist, dass sie
Fixpunkte im Parameteraum aufweisen kann. Diese haben die Eigenschaft invariant unter
R α zu sein. Für sie gilt also R α {H (x)} = H (x). Fixpunkte heißen stabil, wenn sie in ihrer
Nähe verlaufende Parameterraum-Trajektorien anziehen, instabil, falls sie sie abstoßen,
und marginal, wenn ihr Verhalten komplizierter ist. Komplizierter heißt hier, dass sie weder
eindeutig instabil noch eindeutig stabil sind. Vielmehr werden ihre Eigenschaften von vielen
Faktoren beeinflusst, beispielsweise von anderen nahe gelegenen Fixpunkten. So findet man
auch im Rahmen der NRG Fixpunkte des Anderson-Modells (1.3). Dies sind unter anderem
die in Kapitel 1.3 diskutierten FO-, LM-, und SC-Grenzfälle.
Hinter der Renormierungsgruppen-Theorie steht die Absicht, den Hamilton-Operator eines
Systems mittels R so zu transformieren, dass er zwar noch immer das gleiche System beschreibt,
dieses jedoch auf einer anderen Längen- oder Frequenzskala oder bei einer anderen
Temperatur. Das Verhältnis der Skalen von H (x) und H (x ′ ) zueinander wird durch den
Skalierungsfaktor α bestimmt. Und gerade dies will man auch für das Anderson-Modell
erreichen. Denn rückblickend auf Kapitel 1.2 erkennt man, dass das Problem von Kondos
Erklärung des Widerstandsminimums gerade darin liegt, dass seine perturbative Näherung
des s-d-Modells (1.1) mit antiferromagnetischer Kopplung J bei einer endlichen Temperatur
T K ihre Gültigkeit verliert. Der Fall T → 0 konnte also nicht untersucht werden. Der
Vorteil von Wilsons NRG ist, dass sie ein nicht-perturbatives Lösungsverfahren darstellt,
und damit im Gegensatz zur Störungstheorie keine divergenten Terme in den physikalischen
Größen erzeugt. Krishna-murthy, Wilkins und Wilson [18] entwickelten die notwendigen
Transformationen, um letztlich Wilsons Methode auf das Störstellen-Anderson-Modell
(1.3) anwenden zu können. Das genaue Vorgehen wird im Folgenden erläutert. Natürlich
werden auch die Unterschiede herausgearbeitet, die sich für den Fall niedriger Ladungsträgerkonzentration
im Vergleich zum Standardfall mit halbgefülltem Leitungsband [6]
ergeben.
2.2 Logarithmische Diskretisierung des Leitungsbandes
Der erste Schritt auf dem Weg zur Konstruktion einer Renormierungsgruppen-Transformation
für H SIAM ist die logarithmische Diskretisierung. Da das Ziel ist, eine Abbildung
zu konstruieren, die das Anderson-Modell forminvariant auf ein bei tieferer Temperatur
gültiges Modell transformiert, müssen zunächst einmal die verschiedenen Energien ε k in
Gleichung (1.3) ihrer Größe nach geordnet werden.
Zuvor muss aber noch eine Frage geklärt werden, der bis zu diesem Punkt aus dem Weg
gegangen wurde, nämlich wie im Anderson-Modell eigentlich eine geringe Ladungsträgerdichte
simuliert wird. Um dies darzulegen, muss man den Anderson-Hamilton-Operator