Kondo-Effekt in Systemen mit niedriger Ladungsträgerkonzentration

16 Kapitel 2: Vorbereitung der NRG
Die sogenannte Hybridisierungsfunktion ∆ (ω) ist die Eingabegröße des in dieser Arbeit
beschriebenen NRG-Verfahrens. Sie ist gegeben durch
∆ (ω) = π ∑ k
V 2
k δ (ω − ε k) . (2.9)
Da lediglich die Funktion ∆ (ω) vorgegeben ist, lässt die Bedingung (2.7) einige Freiheit
bei der Verteilung der ω-Abhängigkeit auf die Funktionen g und h. Unter Annahme
einer Kopplung, die unabhängig von k ist, also V k ≡ V , reduziert sich die Hybridisierungsfunktion
im Wesentlichen auf die Zustandsdichte der Leitungselektronen, da ja
πV 2 ∑ k δ (ω − ε k) = πV 2 ρ(ω) gilt. Somit ist es einzusehen, dass sie alle notwendigen Informationen
enthält, um die verschiedensten Leitungsbandeigenschaften zu modellieren.
Man hat nun verschiedene Möglichkeiten, ∆ (ω) so zu konstruieren, dass das Modell (2.5)
einem System mit niedriger Ladungsträgerdichte im Leitungsband entspricht. Beispielsweise
könnte man den absoluten Wert von ∆ – also letztlich die Zustandsdichte ρ des
Leitungsbandes – sehr klein wählen. Dies widerspricht aber dem physikalisch vernünftigen
Bild eines Halbleiters und schließlich wurde in Kapitel 1.4 mit einer starken Hybridisierung
zwischen Störstelle und Bad argumentiert. Andererseits kann auch die Form des Leitungsbandes
und damit die Fermi-Energie beziehungsweise die Füllung variiert werden. Da sie
ja ein Band repräsentieren soll, kann die Hybridisierungsfunktion nur in einem begrenzten
Bereich ungleich null sein, das heißt, sie hat scharfe Ränder oder Cutoffs, die Bandkanten.
Da nach Kapitel 1.5 alle Energien von der Fermikante aus gemessen werden, liegt diese
immer bei ω = 0. Eine Verschiebung von ε F kommt in diesem Fall einer Verschiebung der
Bandkanten gleich. Je näher der untere Cutoff bei null liegt, desto geringer ist die Füllung
des Leitungsbandes. Liegt ε F in der Mitte zwischen beiden Bandkanten, so liegt halbe
Füllung vor.
Im Anderson-Modell (2.6) müssen also die beiden Cutoffs ω u und ω l – im Gegensatz zu −1
und +1 in [4], [7] und [18] – als Integrationsgrenzen eingefügt werden. Die Bandverschiebung
δ ist dann gegeben durch
δ ≡ ω u + ω l
2
. (2.10)
Um das Ziel dieser Aktionen nicht aus den Augen zu verlieren, sei noch einmal daran erinnert,
dass man den Anderson-Hamilton-Operator in einer Form benötigt, in der die verschiedenen
auftretenden Energieskalen separiert sind. Die Integraldarstellung (2.6) stellt
hierfür einen optimalen Ausgangspunkt dar. Das Leitungsband – also der Bereich, in dem
∆ (ω) ≠ 0 – wird in Intervalle unterteilt, so dass die beiden Integrale in Summen aus
Integralen zerfallen. Je größer ein Intervall ist, desto stärker werden die Anregungen der
entsprechenden Energieskala über die Gewichtungsfunktionen g und h gemittelt. Da später
gerade die tiefen Temperaturen von Interesse sind, wo sich Anregungen nur nahe der
Fermikante abspielen, werden die Intervalle zur Fermi-Energie hin immer schmaler, so dass
nahe ǫ F Mittelungseffekte fast keine Rolle mehr spielen. Dies ist der Grundgedanke der
logarithmischen Diskretisierung. Ihre praktische Umsetzung ist nun auf verschiedene Arten
möglich, die in Abbildung 2.1 illustriert sind.