Kondo-Effekt in Systemen mit niedriger Ladungsträgerkonzentration

36 Kapitel 3: Die Numerische Renormierungsgruppen-Methode
der vierten Quantenzahl, der z-Komponente des Gesamtspins, liegt demnach eine (2S + 1)-
fache Entartung vor, da S z = −S, −S + 1,...,S − 1,S. Damit ist die Zustandssumme
)
Z N = Sp
(e −¯βH N
= (2S + 1) ∑ (N)
−¯βE
e
Q,S,r
. (3.18)
Q,S,r
Wegen der Beschneidung des Hilbert-Raumes ist die Anzahl der Summanden in dieser
Summe überschaubar und die Berechnung kein großes Problem. Aus der Zustandssumme
erhält man sofort die Freie Energie
F (T N ) = −T N ln (Z N ) mit T N =
N−1
Λ− 2
¯β
. (3.19)
Bekanntlich ergibt die Ableitung der Freien Energie nach der Temperatur die Entropie.
Da die Ableitung aber numerisch durchgeführt werden muss und in jedem Schritt der
iterativen Diagonalisierung die Grundzustandsenergie von allen Eigenenergien abgezogen
wurde, ist etwas Vorsicht geboten. Das Abziehen der Grundzustandsenergie in jedem Iterationsschritt
ist essentiell, da das Spektrum der Eigenenergien von H N sonst auch negative
Energien enthielte, die sehr schnell zu einem Überlauf bei der numerischen Berechnung der
Zustandssumme führen würden. Der zusätzliche Faktor e¯βE G,N
in Gleichung (3.18) mit der
Grundzustandsenergie E G,N von H N trägt zu Gleichung (3.19) lediglich den zusätzlichen
Summanden ¯βT N E G,N = Λ − N−1
2 E G,N bei. Dies ist kein Problem, solange nur ein einzelner
Iterationsschritt betrachtet wird. Da aber bei der numerischen Differentiation Differenzenquotienten
aus Werten der Freien Energie gebildet werden müssen, die aus verschiedenen
Iterationsschritten stammen, müssen die Beiträge der verschiedenen Grundzustandsenergien
explizit berücksichtigt werden. Die notwendigen Korrekturterme erhält man, indem man
mittels Gleichung (3.3) den Hamilton-Operator H N auf H −1 zurückführt. Wie in Kapitel
3.1.1 gefordert, wird der Differenzenquotient entweder aus den Werten der ungeraden oder
aus den Werten der geraden Iterationsschritte bestimmt. Im verbleibenden Teil dieses Abschnitts
sei N gerade. Die Ableitung wird dann aus der Freien Energie bei T N−1 und T N+1
berechnet. Des Weiteren wird die Freie Energie, wie sie aus dem N-ten Iterationsschritt
nach Abzug der Grundzustandsenergie resultiert, mit F (N)
SIAM
bezeichnet, die korrekte Freie
Energie hingegen mit F N . Gesucht wird somit der Wert des folgenden Ausdrucks
S
( 1
2 (T N−1 + T N+1 )
)
= − ∂F
∂T ≈ −F N+1 − F N−1
T N+1 − T N−1
, (3.20)