Kondo-Effekt in Systemen mit niedriger Ladungsträgerkonzentration

20 Kapitel 2: Vorbereitung der NRG
Im Falle allgemeiner, nicht konstanter Hybridisierungsfunktionen muss man deren ω-
Abhängigkeit möglichst geschickt auf die beiden zu bestimmenden Funktionen verteilen.
In [7] werden verschiedene Möglichkeiten, dies zu tun, ausführlich diskutiert. Dabei stellt
sich heraus, dass ein abschnittsweise konstantes h oft die beste Wahl ist. Nun ist es
naheliegend, die Werte von h in den Intervallen I ± n über den Mittelwert von ∆ (ω) zu
definieren (siehe [6]):
h(ε) = h ± n für ε ∈ I± n
mit h ± 2 1
n =
d ± n
∫±,n
dε 1 ∆ (ε). (2.19)
π
Die Funktion g selbst muss nicht bestimmt werden, da sich im Folgenden zeigen wird, dass
lediglich Integrale über g bekannt sein müssen.
2.2.1 Transformation von H bath
Die Transformation auf die diskretisierten Operatoren (2.15) kann nun in den Hamilton-
Operator (2.14) eingesetzt werden. Eine ausführlichere Rechnung findet sich in Anhang
B.1, hier wird lediglich das Ergebnis angegeben. Der diskretisierte Badterm H bath lautet:
∫ω u
H bath = ∑ ( ∑
dε g (ε)
σ
ω
n,p
⎛
l
a † (
npσ Ψ
+
np (ε) ) ∗ (
+ b
†
npσ Ψ
−
np (ε) ) ∗
× ⎝ ∑ a n ′ p ′ σΨ + n ′ p
(ε) + b ′ n ′ p ′ σΨ − n ′ p
(ε) ⎠
′
n ′ ,p ′
(ξ + n a † npσa npσ + ξ + n b † npσb npσ
)
⎞
)
= ∑ n,p,σ
+ ∑
n,p≠p ′ ,σ
⎛
∫
+ ⎝
−,n
⎛
∫
⎝
+,n
dε g (ε) 1
d − n
dε g (ε) 1
d + n
e −2πi
d + n
e
2πi
d + (p ′ −p)ε
n
(p ′ −p)ε
⎞
⎞
⎠ a † npσ a np ′ σ
⎠ b † npσ b np ′ σ (2.20)
Die Rechnung vereinfacht sich dadurch, dass Integrale über Funktionen Ψ ± np auf verschiedenen
Intervallen – also Terme mit n ≠ n ′ – immer null ergeben. Die Summe über p
und p ′ wird in die Anteile p = p ′ und p ≠ p ′ zerlegt. Letzterer und die Terme der ersten
Summe mit p ≠ 0 werden in der weiteren Rechnung vernachlässigt. Nach [18], wo der Fall
−ω l = ω u = 1 mit konstanter Hybridisierungsfunktion untersucht wird, ist der Fehler, der
dabei gemacht wird, vernachlässigbar. Dies wird auch im vorliegenden Fall angenommen.