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II Theoretische Grundlagen 7
1
2
2
Π ( u)
= ku − Fu (II.2.b)
PI(u) [kNm]
0
­0,5
­1
­1,5
­2
­2,5
­3
u [m]
u G
Abbildung II.2.3.b: Π(u)
Den Ruhepunkt u G ermittelt man aus der ersten Ableitung der obigen Gleichung:
0 = ku −F
(1)
G
G
F = ku
u
G
= F / k
Versuch 2: Newtonscher Ansatz
Die Berechnung der Durchsenkung kann auch mittels Newtonschen Axiomen erfolgen.
Der Versuch wird wiederholt mit dem Unterschied, dass die Masse m um ∆m stufenweise
über den Weg anwächst.
Aus dem dritten Newtonschen Axiom folgt:
actio = reactio
F = F = ku
a
Ea = Ei
∫
a
i
F du dx =
1 1 2
Fa
maxu = ku
2 2
1 1
= ku − F u
2 2
u = F / k
2
0
a max
(2)
G
amax
∫
F du dx
i
PI(u) [kNm]
10
8
6
4
2
0
u [m]
Ea
Ei
‐2
‐4
Abbildung II.2.3.c: Energielinie: E a = äußere Arbeit = ½ F u,
E i = innere Arbeit = ½ k u 2 , E(u)= = ½ k u 2 – F u
Beide Ansätze führen zum gleichen Ergebnis u G = F / k. Paradoxerweise sind die Formeln
(1) und (2) nicht identisch, was man doch vermuten könnte. Bei genauerer Betrachtung
stellt sich heraus, dass die Feder im ersten Versuch von Anfang an voll mit der Masse
m belastet war. Der Überschuss an Lageenergie (= 1/2 F u) wurde in Wärmeenergie
umgewandelt.