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II Theoretische Grundlagen 41
k +Δ k = k
c
für Δ k =−1 k (Systemschwächung)
→ Δ u = u − u mit u = u , u = u
weak c c
1 1 1
Δ uweak
= ( − ) u0 = u0
2 3 6
für Δ k =+ 1 k (Verstärkung)
0 0
1 2
→ Δ u = u − u mit u = u , u = u
strong c c
1 1 1
Δ ustrong
= ( − ) u =− u
4 3 12
→Δu
waek
≥Δu
strong
3 2
Wird die Näherungsformel aus dem Buch (Hartmann, Structural Analysis with Finite
Elements, 2007) verwendet, folgt für die Differenzverschiebungen:
Verstärkung des Systems von 3EI auf 4EI:
M ⋅G′′
0
− duG ( ,
0) =−Δ EI∫
dx;
EIc
= EI+ΔEI
EI ⋅ EI
M ⋅G′′
0
M ⋅ M
u2
= ∫ dx=
dx (Absenkung an der Kragarmspitze)
EI
∫
EI
ΔEI
→− duG ( ,
0)
=− u2
EI
mit EI = 3EI; EI = 4EI →Δ EI = 1EI
c
1 1
− duG ( , ) =− u mit u = u
3 3
1
−d( uG ,
0)
=− u0
9
0 2 2 0
Bei Schwächung des Systems von 3EI auf 2EI:
Δ EI = 2EI-3EI = -1EI
( −1EI) 1 1
− duG ( , ) =− u = u mit u = u
(3EI) 3 3
1
− duG ( , ) = u
9
0 2 2 2 0
0 0
Berechnung der relativen Abweichungen:
a-
z
Bezeichnet a einen Näherungswert für z, so heißt der wahre relative Fehler f von a.
z
a-
z
c
f= für a =− duG ( ,
0), z=−duG
( ,
0), folgt
z