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II Theoretische Grundlagen 47
−δ
⋅M
−δ
⋅M
M( km , ) = M + X ⋅ M = M + = M +
B F B k
10 1 10 1
0 1 1 0 0
δ
1+ δ δ
1+
1/
10 1 2
lim ( , ) = M
0
+ =
(Oberer Grenzwert)
k→0
δ B1
+ 1/ k 2
−δ
⋅M
−δ
⋅M
lim M( k, m) = M + = M +
k→∞
M k m
−δ
⋅M
q
L
10 1 10 1
0 0
δB1+
1/ k δB1
4
−5
qL
5
−δ10
24
5
M EI − qL
6EI
5
1
=− ( − 0,5 L)
=
=− qL
3
3
δ B1
1 L
48 EI L 8
6 EI
q 2 5 2 1 2
lim M(k,m) = L − qL =− qL (Unterer Grenzwert)
k→∞
2 8 8
Grenzwertbetrachtung:
Bei einer Federsteifigkeit k = 0 (keine Feder vorhanden, Totalausfall) beträgt das Moment
M gleich dem M 0 , die den oberen Grenzwert darstellt. Nimmt k stetig zu, so nähert
sich die Kurve M(k;m) ihrer horizontalen Asymptote. Der untere Grenzwert für die Funktion
M(k;m) beträgt -0,125ql².
2
Nummerisches Beispiel:
Gegeben sei die Länge L = 1 m, q = 1 MN/m, EI = 1 MNm², k > 0
M 0 = ql²/2
[MNm]
M 1 = -0,5L
[MNm]
δ 10 =-5/24 ql 4 / EI
[m]
δB 1 =1/6 L 3 / EI
[m]
0,5 -0,5 -0,21 0,17
M(k,m) [MNm]
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
M(k,m)
k [MN/m]
o.Grenze
(k=0)
u.Grenze
(k=inf)
k M(k,m)
[MN/m] [MNm]
0 0,500
2 0,344
4 0,250
6 0,188
8 0,143
10 0,109
12 0,083
14 0,063
16 0,045
10000 -0,125
−δ10 ⋅M1
M( km , ) = M0
+
δ B + 1/ k
1
Abbildung II.13.2.c: Schnittkraftverlauf M an der Stelle x = m = L, abhängig von der Steifigkeit k in den
Grenzen von Null bis unendlich.