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II Theoretische Grundlagen 31
Zusammenfassend: Die Änderung ∆w kann auf zwei Wegen erfolgen:
1. Möglichkeit: Eine Integration über das gesamte Tragwerk, was einer kompletten
Neuberechnung gleichkäme. Δ = ( − )
2. Möglichkeit: Auswertung der Formel
∫
w p G G dx
c
x2
Δ w=− d( w, G ) =− ΔEI⋅w′′ ⋅G′′
dx
Der Vorteil der zweiten Möglichkeit ist, dass nur das Gebiet untersucht (integriert) werden
muss, in denen Steifigkeitsänderungen auftreten. Trotz allem werden Werte aus beiden
Systemen benötigt. Im Buch (Hartmann, Structural Analysis with Finite Elements,
2007) wird eine Näherung vorgestellt, die für die Berechnung der Differenzen nur Werte
aus dem Grundsystem benötigt.
Sie beruht darauf, dass sich bei kleinen Steifigkeitsänderungen die Biegelinien im modifizierten
System „crack-system“ und im Grundsystem kaum voneinander unterscheiden.
Für die Näherung gilt dann, dass die Biegelinie w crack gleich w ist.
Näherung (N1):
w
c
≈ w
∫
x
−dw ( , G) ≈ −d( w, G)
c
2 2
− Δ ⋅
x
c
⋅ ≈ − Δ ⋅w
⋅
1 x1
x
EI w′′ G′′ dx EI ′′ G′′
dx
M x
c
MG M MG
EI dx EI dx
EI EI EI
EI
∫ ∫
2 2
⇒− Δ ⋅ ⋅ ≈ − Δ ⋅ ⋅
x1 x1
c
∫
x
c
∫
x1
c
II.12 UNTERSUCHUNGEN AN STAT. BESTIMMTEN SYSTEMEN
Bei Untersuchungen von statisch bestimmten Systemen, an denen Steifigkeitsänderungen
vorgenommen werden, wird Folgendes festgestellt:
‣ Biegelinien sind ungleich, w ≠ w
‣ Momente sind gleich M = M c (Schnittkräfte sind unabhängig von EI)
c
Somit gilt für stat. best. Systeme:
x2 M
x2
c
MG
M MG
− d( wc
, G)
= −∫ ΔEI ⋅ ⋅ dx = − EI dx
EI EI
∫ Δ ⋅ ⋅
EI EI
Die Auswertung des Produktintegrals
x1 x1
c
∫
M ⋅M
dx
l
G
c
(exakt für stat. best. Systeme)
(II.12.a)
kann mittels Integraltafeln ausgewertet werden.