Thema "Navigation und Medizin" - Universität zu Lübeck

mit geeigneten Randbedingungen. Die Aufgabe besteht
nun darin, diese nichtlineare partielle Differentialgleichung
numerisch zu lösen. Eine geeignete Diskretisierung
führt schließlich auf die Lösung eines linearen
Gleichungssystems. Die gesuchten Unbekannten sind
hier die Verrückungskoordinaten eines jeden Bildpunktes.
Für ein Bild der Größe 512x512 sind beispielsweise
2* 512 2 = 524.288 Unbekannte zu bestimmen.
Die Anzahl der Unbekannten wächst exponentiell in
der Bilddimension; für ein dreidimensionales Bild der
Größe 512x512x512 beträgt die Zahl bereits 3*512 3 =
402.653.184. Eine effiziente und robuste Lösung derartiger
Probleme benötigt den zwingenden Einsatz von
modernen Verfahren der numerischen Mathematik. In
Abbildung 7 ist nun das Ergebnis einer elastischen Registrierung
für den Beispieldatensatz dargestellt. Das
Resultat ist fast perfekt, wie man dem Differenzbild entnehmen
kann. Auch hier wurde der zugrunde liegende
Algorithmus in der SAFIR (Solutions And Algorithms
For Image Registration) Arbeitsgruppe des Instituts für
Mathematik entwickelt (siehe auch: http://www.math.
uni-luebeck.de/safir/).
Abb. 7: Elastische Registrierung. Ergebnis (links) und
Differenz zum Referenzbild (rechts).
Der vorliegende Artikel hat einen kleinen Einblick in
moderne Registrierungsverfahren gegeben. Es stellt
sich schnell heraus, dass nicht jeder Algorithmus für
jedes Problem geeignet ist. Die aktuelle Forschung
beschäftigt sich daher auch intensiv mit der Aufgabe,
spezifische Eigenschaften der vorliegenden Anwendung
auf den Algorithmus abzubilden. So ist es zum Beispiel
wünschenswert, dass sich ein Objekt (z.B. Tumor) im
Zuge der Registrierung zwar verformen darf, aber sein
Volumen beibehalten soll. Diese Aufgabe wurde kürzlich
elegant gelöst [5]. Insgesamt ist festzuhalten, dass
die medizinische Bildregistrierung ein faszinierendes
Anwendungsgebiet der numerischen Mathematik ist und
dass die fruchtbare und interessante Zusammenarbeit
mit Medizinern erheblich zum „Funfaktor“ beiträgt.
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