Statistische Kennzahlen für Renditen von Managed Futures

4.6. RISIKOMAßE 35
4.6.2 Value at Risk
Der Value at Risk (VaR) hat sich zu einem Standardmaß entwickelt, um finanzielle Verlustrisiken
zu schätzen. Der Value at Risk eines Portfolios ist definiert als der maximale
Verlust, der mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit in einer bestimmten Zeitperiode
nicht überschritten wird. Mathematisch gesehen, ist der VaR zum Konfidenzniveau 1−α
das α-Quantil der Verteilungsfunktion F (r).
Definition 4.15. Verteilungsfunktion
Sei R eine Zufallsvariable mit Realisationen r. Dann ist die Verteilungsfunktion F (r)
von R die Funktion, die jedem r die Wahrscheinlichkeit P (R ≤ r) zuordnet:
F (r) = P (R ≤ r).
Definition 4.16. Value at Risk
Der α-VaR
V aRα(R) = min {r ∈ R : F (r) ≥ α}
zum Konfidenzniveau 1 − α ∈ (0, 1) ist das α-Quantil der Verteilungsfunktion F (r) aus
Definition 4.15.
Der VaR ist positiv homogen, monoton, translationsinvariant, im Allgemeinen jedoch
nicht subadditiv und folglich auch nicht kohärent 10 . Das bedeutet, das Risiko eines Portfolios
aus zwei Finanzinstrumenten kann größer sein als die Summe der beiden Einzelrisiken.
4.6.3 Conditional Value at Risk
Der Conditional Value at Risk (CVaR) ist ein alternatives, weiterentwickeltes Risikomaß
mit mehr attraktiven Eigenschaften als beim VaR. Für stetige Verteilungen ist er definiert
als der erwartete Verlust eines Portfolios, unter der Bedingung, dass der Verlust
den VaR überschreitet. Für allgemeine Verteilungen ist er definiert als das gewichtete
Mittel des VaR und den Verlusten, die den VaR überschreiten. Er ist nach Rockafellar
u. Uryasev (2000) subadditiv und konvex.
Definition 4.17. Conditional Value at Risk
Sei V aRα(R) der α-VaR aus Definition 4.16. Dann ist der α-CVaR gegeben durch
10 Vgl. Artzner u. a. (1999).
CV aRα(R) = E [R ∈ R : R ≤ V aRα(R)] .