Statistische Kennzahlen für Renditen von Managed Futures

Bachelor Thesis im Studiengang
Finanz- und Versicherungsmathematik
Statistische Kennzahlen für Renditen von
Managed Futures
Vorgelegt an der
Fakultät für Vermessung, Informatik und
Mathematik
Duongmani Maier
Bodelschwinghstr.39 , 88400 Biberach
DuongmaniMaier@aol.de
09. Januar 2009
1. Prüfer: Prof. Dr. Hans-Helmut Heizmann
2. Prüfer: Dipl.-Math. oec. Maria Heiden

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Datengrundlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Grundlagen von Managed Futures 5
2.1 Entstehung von Managed Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Der Terminmarkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2 Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Substrategien von Managed Futures 9
3.1 Short Term Trading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Trend Following . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 FX Trading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4 Global Macro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.5 Discretionary Trading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.6 Mathematische Verifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Statistische Eigenschaften der Substrategien 19
4.1 Statistische Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1.1 Rendite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1.2 Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.3 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.4 Standardabweichung und empirische Varianz . . . . . . . . . . . . 22
4.1.5 Empirische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.6 Schiefe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.7 Kurtosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Rendite-Risiko Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Autokorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4 Tests auf Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4.1 Kolmogorov-Smirnov-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4.2 Anderson-Darling-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4.3 Jarque-Bera-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5 Test der empirischen Verteilung auf Normalverteilung . . . . . . . . . . . 32
4.6 Risikomaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
i

Inhaltsverzeichnis ii
4.6.1 Kohärente Risikomaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.6.2 Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.6.3 Conditional Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.7 Korrelationsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Renditetreiber der Substrategien 39
5.1 Faktorenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1.1 Das faktorenanalytische Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1.2 Hauptkomponentenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.3 Hauptkomponenten der Substrategien . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Style Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2.1 Analyse nach Sharpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2.2 Anwendung in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Analyse der Substrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Interaktion zu anderen Anlageklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6 Aufbau eines Dachfonds-Portfolios 57
6.1 Diversifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 Portfolio-Optimierung mit dem Conditional Value at Risk . . . . . . . . 59
6.2.1 Lineare Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.2.2 Anwendung in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.3 Dachfonds-Portfolio aus Managed Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7 Fazit 67
Literaturverzeichnis 68
Anhang 71
.1 Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
.2 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
.3 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
.4 Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Abbildungsverzeichnis
1.1 Vergleich der Performance eines Aktienindex (MSCI World) und eines
Index aus Managed Futures (Barclay CTA Index) . . . . . . . . . . . . . 2
3.1 Investitionszeiträume der Substrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Investierte Märkte der Substrategie Short Term Trading . . . . . . . . . 10
3.3 Investierte Märkte der Substrategie Trend Following . . . . . . . . . . . . 11
3.4 Investierte Märkte der Substrategie FX Trading . . . . . . . . . . . . . . 12
3.5 Investierte Märkte der Substrategie Global Macro . . . . . . . . . . . . . 12
3.6 Investierte Märkte der Substrategie Discretionary Trading . . . . . . . . 13
3.7 Performance der Substrategien über eine Periode von zehn Jahren . . . . 14
3.8 Investierte Märkte des Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1 Schiefe einer empirischen Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Kurtosis einer empirischen Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Vergleich der empirischen Verteilungen der Substrategien . . . . . . . . . 26
4.4 Fat Tails einer empirischen Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.5 CVaR und VaR am Beispiel der Substrategie Trend Following . . . . . . 36
5.1 Scree Plots der erklärten Varianzen der Hauptkomponenten der Substrategien
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Scree Plot der erklärten Varianzen der Hauptkomponenten des Index. . . 46
5.3 Performance des Replikationsportfolios und der ersten Hauptkomponente
des Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.4 Vergleich der Verteilungen verschiedener Indizes . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1 Risiko eines Portfolios bei zunehmender Anzahl von Managern . . . . . . 58
6.2 Effizienzlinie der Portfolio-Optimierung zu verschiedenen Risikolevel. . . 65
6.3 Anteile am Portfolio bei einer Optimierung mit den 19 am häufigsten
verwendeten Managern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
.1 Index in fünf Marktumgebungen der One Month Libor Rate . . . . . . . 72
.2 Index in fünf Marktumgebungen des Dollar Index . . . . . . . . . . . . . 72
.3 Index in fünf Marktumgebungen von Anleihen mit geringer Bonität . . . 73
.4 Global Macro in fünf Marktumgebungen des Barclay Emerging Markets
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
iii

Tabellenverzeichnis
3.1 Durchschnittliche Renditen des Index und der Substrategien über verschiedene
Marktumgebungen pro Anlageklasse . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.1 Deskriptive Statistik der Substrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Test auf Autokorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3 Kritische Werte dT,α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Kritische Werte Aα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5 Quantile der χ 2 2,α-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.6 Tests auf Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.7 VaR und CVaR der Substrategien und des Index . . . . . . . . . . . . . . 36
4.8 Korrelationen der Substrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1 Kritische Werte Fn;T −n−1;α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2 Korrelationen des Index mit den Anlageklassen . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3 Korrelationen der Hauptkomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4 Gewichte der Substrategien am Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.5 Kennzahlen verschiedener Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.6 Korrelationen verschiedener Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
.1 R 2 der Regression der Substrategien mit traditionellen Anlageklassen . . 71
.2 Gewichte der Style Regression der Anlageklassen auf die Substrategien . 71
.3 F-Test der R 2 der Regression der Substrategien mit traditionellen Anlageklassen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
iv

Kapitel 1
Einleitung
Durch das Platzen der Blase an den Aktienmärkten im Jahr 2000 fielen die Aktienkurse
in den darauffolgenden drei Jahren, wie Abbildung 1.1 zeigt. Um derart große Verluste in
der Zukunft zu vermeiden, suchen Investoren vermehrt nach alternativen Anlagemöglichkeiten.
Dieser Trend wird zusätzlich durch das anhaltende Niedrigzinsniveau verstärkt,
da im Bereich der festverzinslichen Anlagen nach wie vor nur geringe Renditen zu erzielen
sind. Seit Markowitz (1952) ist bekannt, dass man mit einem Portfolio, in dem man
seine Investments über mehrere unkorrelierende Anlageobjekte streut, sein Gesamtrisiko
reduzieren kann. Heutzutage reichen Aktien und Anleihen nicht mehr aus, um eine gute
und stabile Diversifikation 1 im Portfolio zu erreichen. Da es bei traditionellen Anlageklassen
immer häufiger zu Korrelationen zwischen den Renditen kommt, werden immer
niedrigere Erträge erzielt 2 . Durch die zunehmende globale Vernetzung der Wirtschaft
und der Finanzmärkte hat auch der Nutzen einer grenzübergreifenden Diversifikation
innerhalb dieser Anlageklassen abgenommen 3 . Die Anlageklasse Managed Futures liefert
durch aktives Management und Diversifikation über alle Märkte wie Aktien, Anleihen,
Rohstoffe und Währungen einen Mehrwert im Portfolio 4 . Durch ihre positiven Renditen
in Krisenzeiten, sowie ihre einzigartigen Produkteigenschaften, sind Managed Futures
eine Anlageklasse, die Investoren neue Chancen und Möglichkeiten der Risikoreduktion
im Gesamtportfolio eröffnet.
1Verteilung von Risiken auf mehrere Risikoträger mit einer möglichst geringen Korrelation. In einem
Portfolio wird im Zuge dessen das Vermögen auf unterschiedliche Investments verteilt. Vgl. o.V.
Frankfurter Allgemeine Zeitung.
2Vgl. o.V. Varengold Wertpapierhandelsbank AG, S.2.
3Vgl. Gerster (2005), S.39.
4Vgl. o.V. Varengold Wertpapierhandelsbank AG, S.2.
1

1.1. PROBLEMSTELLUNG 2
Abbildung 1.1: Vergleich der Performance eines Aktienindex (MSCI World) und eines
Index aus Managed Futures (Barclay CTA Index)
1.1 Problemstellung
Aufgabe und Ziel der vorliegenden Thesis ist es, die Substrategien von Managed Futures
5 quantitativ zu analysieren und so die statistischen Unterschiede der Substrategien
aufzuzeigen. Durch verschiedene statistische Analysen sollen Renditecharakteristika und
Renditetreiber herausgefiltert werden und Diversifikationseffekte innerhalb eines Dachfonds
6 herausgearbeitet werden. Abschließend soll die Interaktion von Managed Futures
zu anderen Anlageklassen gezeigt werden.
Die Arbeit ist folgendermaßen aufgebaut: Im nächsten Kapitel wird die Anlageklasse
Managed Futures näher erläutert. Da Managed Futures ausschließlich in Derivate
investieren, wird dort ebenfalls der Terminmarkt mit seinen wesentlichen Produkten
beschrieben. In Kapitel drei werden die Substrategien qualitativ untersucht und die Erkenntnisse
mathematisch verifiziert. Darauf folgt eine statistische Analyse. Dies erfolgt
in Kapitel vier mittels deskriptiver Statistik und in Kapitel fünf mit Hilfe von multivariaten
Verfahren. In Kapitel sechs werden die gewonnenen Informationen genutzt, um ein
Dachfonds-Portfolio aufzubauen. Das letzte Kapitel fasst die gewonnenen Erkenntnisse
zusammen.
5 Vgl. Kapitel 3.
6 Auch Funds of Funds genannt; enthält Anteile an anderen Fonds, die in der Regel keine Dachfonds
sind. Sie bieten den Vorteil einer größeren Risikostreuung. Vgl. o.V. Frankfurter Allgemeine Zeitung.

1.2. DATENGRUNDLAGE 3
1.2 Datengrundlage
Alle in dieser Arbeit verwendeten Daten wurden dem PerTrac Financial Datenbanksystem
entnommen. Insgesamt lagen Datenreihen von 988 Managern vor, davon 210
Manager der Substrategie Discretionary Trading, 174 FX-Trading-Manager, 57 Global
Macro Manager, 119 Short Term Trading-Manager und 428 Trend Following-Manager.
Es wurden ausschließlich Renditezeitreihen von Managern betrachtet, die eine Historie
von Januar 1998 bis Juli 2008 7 vorweisen können. Fonds, die eine unnatürlich überdurchschnittliche
Performance erzielten, wurden entfernt, da hier von Datenfehlern ausgegangen
werden kann. Insgesamt blieben nach der Auswahl 116 Manager übrig, davon 18
Discretionary Trading-Manager, 18 FX Trading-Manager, 6 Global Macro-Manager, 13
Short Term Trading-Manager und 61 Manager der Substrategie Trend Following. Die
fehlende Berücksichtigung von Managern, die am Ende des Zeitraums nicht mehr in der
Datenbank registriert waren, führt tendenziell zu einer Überschätzung der Renditen. Das
liegt daran, dass Managed Futures-Manager, die aus der Datenbank genommen wurden,
tendenziell schlechtere Renditen erzielten. Fung u. Hsieh (1997b) analysierten diese Verzerrungen,
die Survivorship Bias 8 genannt werden und zeigten, dass sie nur geringen
Einfluss 9 auf die Investmentstile der Manager hat. Daher ist es nicht notwendig, sie in
der vorliegenden Arbeit zu berücksichtigen.
Eine Survivorship Bias entsteht, wenn Fonds aus der Datenbank entnommen werden.
Das geschieht entweder, weil die Manager der Fonds zu geringe Renditen erzielten, oder
sogar geschlossen wurden. Wenn man nur die überlebenden Fonds betrachtet, haben diese
im Durchschnitt eine höhere Performance als die Grundgesamtheit.
Bei den Renditen, die monatlich an den Datenbankanbieter berichtet werden, handelt es
sich um Nettorenditen, also Bruttorenditen abzüglich aller Gebühren. Die Management
Fee ist eine fixe, erfolgsunabhängige Gebühr, die als Prozentsatz des verwalteten Vermögens
auf monatlicher, vierteljährlicher oder jährlicher Basis erhoben wird. Die Incentive
Fee ist eine an den Manager zu zahlende, erfolgsabhängige Vergütung. Sie wird nach
Abzug aller übrigen Kosten, z.B. als Prozentsatz der erzielten Rendite berechnet.
Für die folgenden Analysen wurde ein gleichgewichteter Index aus den Renditezeitreihen
der Manager erstellt. Dieser Index wurde pro Substrategie und für die ganze Stichprobe
gemacht. Im Folgenden werden die Indizes der Substrategien mit dem jeweiligen Namen
der Strategie bezeichnet, d.h. DT für Discretionary Trading, FX für FX Trading, GM
für Global Macro, STT für Short Term Trading und TF für Trend Following. Der Index
über alle Managed Futures wird Index bezeichnet.
7 127 Zeitperioden.
8 Sie wird als Differenz der Performance von überlebenden und geschlossenen Fonds berechnet.
9 Durch die Survivorship Bias entstand bei Fung u. Hsieh (1997b) eine Differenz von 0,29% pro Monat
oder 3,42% pro Jahr.

1.2. DATENGRUNDLAGE 4
Alle in dieser Arbeit verwendeten Grafiken sind eigene Darstellungen und basieren auf
eigenen Berechnungen aus den zur Verfügung gestellten Renditezeitreihen.

Kapitel 2
Grundlagen von Managed Futures
Managed Futures sind Alternative Investments, die zur Klasse der liquiden und regulierten
Hedgefonds-Strategien gehören. Im Gegensatz zu den meisten anderen Hedgefonds-
Strategien sind sie jedoch hochtransparent. Managed Futures sind aktiv gemanagte Investmentfonds
und werden von professionellen Managern, die in den USA als Commodity
Trading Advisors (CTAs) bezeichnet werden, verwaltet. Die Manager passen ihre Fonds
immer der aktuellen Marktlage an. Ihre Handelsentscheidungen basieren hauptsächlich
auf Computersystemen, die mittels technischer Analyse entscheiden, welche Anlagen zu
welchem Zeitpunkt gehandelt werden. Die Manager dieser Fonds investieren hauptsächlich
in börsengehandelte Terminkontrakte auf z.B. Aktien, Anleihen und Rohstoffe. So
können Managed Futures-Manager sowohl von steigenden als auch von fallenden Kursen
profitieren und liefern somit auch in Krisenzeiten der Finanzmärkte positive Renditen 1 .
Sie unterliegen strengen Kontrollen durch die Finanzaufsichtsbehörden des jeweiligen
Landes und verwalten weltweit mehr als 200 Milliarden US $. Managed Futures waren
in Deutschland bis 2004 nur institutionellen Investoren wie Pensionskassen, Anlagefonds,
Versicherungen und Stiftungen oder vermögenden Privatpersonen vorbehalten. Seit 2004
ist diese Anlageklasse, begünstigt durch eine veränderte Gesetzesgrundlage, auch für Privatpersonen
mit geringerem Anlagevermögen zugänglich.
2.1 Entstehung von Managed Futures
Die Entstehungsgeschichte von Managed Futures begann 1949. In diesem Jahr bot Richard
Donchians Firma, Futures Inc., in den USA den weltweit ersten Managed Futures-
Fonds öffentlich zur Zeichnung an. Donchian hatte ein Handelssystem entwickelt, das auf
der technischen Analyse 2 basierte. Mit dessen Hilfe konnte er Trends in Rohstoffmärk-
1 Vgl. o.V. Varengold Wertpapierhandelsbank AG, S.6.
2 Auch Chartanalyse genannt: Sie untersucht Kurvenverläufe und Verlaufsformationen von Charts, um
daraus Aussagen über die zukünftige Kursentwicklung eines Wertpapiers zu gewinnen. Vgl. o.V.
Frankfurter Allgemeine Zeitung.
5

2.2. DER TERMINMARKT 6
ten identifizieren und diese durch das Eingehen von Long 3 - oder Short 4 -Positionen in
Futureskontrakten verfolgen 5 . Der Erfolg dieses Fonds, der bis in die 1960er Jahre aktiv
war, brachte eine Welle von Nachahmern hervor. Da an den Terminbörsen zu jener
Zeit ausschließlich Rohstoffterminkontrakte gehandelt werden konnten, nannten sich jene
Händler naheliegend Commodity Trading Advisors (CTAs). Die CTAs handelten i.d.R.
nicht direkt für einen einzelnen Kunden, sondern im Auftrag eines, analog zum CTA,
als Commodity Pool Operator (CPO) bezeichneten Vermögensverwalters, der die Einlagen
mehrerer Kunden in einem von ihm verwalteten Managed Futures-Fonds bündelte.
Die fortschreitende Verbesserung der Computertechnologie erlaubte die Entwicklung immer
leistungsfähigerer charttechnischer Handelssysteme. Trotzdem dauerte es bis Mitte
der 1970er Jahre, bis die Managed Futures-Industrie eine erste Boom-Phase erlebte.
Als 1972 zunächst der Handel mit Währungsfutures an den Terminbörsen aufgenommen
wurde und danch in immer rascherer Folge neue Finanzterminmarktinstrumente
eingeführt wurden, erweiterte sich schlagartig das Handelsuniversum von CTAs 6 . Die
zunehmende Volatilität in den Rohstoffpreisen zu Beginn der 1970er Jahre machte den
Einsatz von Trendfolgesystemen außerdem zusätzlich attraktiv. Um die Interessen der
Anleger zu schützen, wurde angesichts des rasant wachsenden Handelsvolumens an den
Terminbörsen und der schnell steigenden Anzahl von CTAs und CPOs, die Etablierung
einer eigenständigen Aufsichts- und Regulierungsbehörde notwendig 7 . Zu diesem Zweck
wurde 1974 die Commodity Futures Trading Commision (CFTC) gegründet und ein
gesetzliches Rahmenwerk für die Tätigkeiten der CTAs und CPOs geschaffen 8 .
In den frühen 1980er Jahren breitete sich die Managed Futures-Industrie auch außerhalb
der USA aus, beginnend mit Deutschland, Großbritannien, Frankreich und Japan. Heute
existieren Managed Futures-Programme in den meisten industrialisierten Staaten, die
weitaus meisten CTAs 9 sind allerdings nach wie vor primär in den USA ansässig 10 .
2.2 Der Terminmarkt
Der moderne börsliche Terminhandel entstand 1848 mit der Gründung des Chicago
Board of Trade (CBOT). Mitte des 19. Jahrhunderts wurde Chicago zum wichtigsten
Handels- und Umschlagplatz für Tausende von Farmern, die jährlich ihre Ernteerträge
nach Chicago zum Verkauf brachten. Zu diesem Zeitpunkt gab es jedoch noch keinen
zentralen Marktplatz. Somit waren die Farmer gezwungen, von Händler zu Händler zu
3 Kauf eines Kontraktes/Basiswertes.
4 Verkauf eines Kontraktes/Basiswertes.
5 Vgl. Cottier (2000), S.9.
6 Vgl. Cottier (2000), S.9.
7 Vgl. Anson (2002), S.808.
8 Vgl. Anson (2002), S.809.
9 CTAs werden im Folgenden Managed Futures-Manager genannt.
10 Vgl. Cottier (2000), S.9.

2.2. DER TERMINMARKT 7
fahren, um den bestmöglichen Ertrag für ihre Ware zu erhalten. Durch die saisonale
Angebots- und Nachfragesituation waren die Preise jedoch nicht stabil. Zu Erntezeiten
existierte ein Überangebot, das die Preise für Getreide stark fallen ließ. Sobald sich die
Lager zu Beginn des neuen Jahres leerten, zogen die Preise an. Erst mit der Gründung
der CBOT konnten die saisonalen Schwankungen ausgeglichen werden. Neben dem Kassahandel
11 fand zunächst nur ein Handel mit Forwardkontrakten statt. Durch eine hohe
Preisvolatilität kam es zu immer mehr Ausfällen einer Vertragsseite. Daraufhin führte
das CBOT 1865 standardisierte Forwardkontrakte, sogenannte Futures, ein. Durch die
Standardisierung der Kontraktmengen, -qualitäten und Liefertermine wurde die Glattstellung
12 eines Kontraktes durch Eingehen einer entsprechenden Gegenposition ermöglicht.
Darüber hinaus wurde die Hinterlegung einer Sicherheitsleistung, der sogenannten
Margin, bei einer unabhängigen dritten Partei, ab 1925 Clearinghouse genannt, verlangt.
Somit konnte das Ausfallrisiko eines Kontrahenten stark reduziert werden und der sichere
Handel auf Termin wurde ermöglicht 13 .
Die monetären Turbulenzen in den USA, ausgelöst durch den Zusammenbruch des
Goldstandard-Systems von Bretton Woods Anfang der 1970er Jahre, führten zu einer
hohen Volatilität des Zinsniveaus. Infolgedessen wurden 1972 zunächst Terminkontrakte
auf Währungen und 1975 auch auf Zinsen eingeführt. Ergänzt wurde die Klasse der
sogenannten Financial Futures zu Beginn der 1980er Jahre durch die Einführung von
Aktienindexfutures 14 .
2.2.1 Futures
Ein Future ist eine vertragliche, börsengehandelte Vereinbarung zwischen zwei anonymen
Parteien, zu einem bestimmten Zeitpunkt eine bestimmte Basisgröße, die nach Menge,
Qualität und Liefertermin standardisiert ist, zum aktuellen Marktwert zu kaufen oder zu
verkaufen. Der Käufer nimmt dabei die sogenannte Long-Position, der Verkäufer die sogenannte
Short-Position ein. Es gibt zwei Hauptgruppen von Futures: Die Finanz-Futures
einerseits und die Rohstoff-Futures andererseits. Den Finanz-Futures liegen als Basisobjekte
Finanzinstrumente zugrunde. Sie können dementsprechend in Zins-, Devisenund
Aktienindexfutures unterteilt werden. Rohstoff-Futures basieren auf realen physischen
Gütern, insbesondere auf Metallrohstoffen, Energierohstoffen und landwirtschaftlichen
Produkten. Im Allgemeinen wird ein Kontrakt nicht physisch erfüllt, sondern durch
Eingehen einer identischen Gegenposition glatt gestellt.
11 Im Gegensatz zum Terminhandel alle Geschäfte, die unverzüglich nach Geschäftsabschluß, spätestens
aber zwei Börsentage danach, zu erfüllen sind. Vgl. o.V. Frankfurter Allgemeine Zeitung.
12 Die Lösung eines eingegangenen Börsengeschäfts durch Verkauf der Position. Vgl. o.V. Frankfurter
Allgemeine Zeitung.
13 Vgl. Posmeck (1994), S.16.
14 Vgl. Posmeck (1994), S.20.

2.2. DER TERMINMARKT 8
2.2.2 Optionen
Eine Option verbrieft für ihren Inhaber das Recht, nicht aber die Pflicht, ein vorab
bestimmtes Basisobjekt, das sog. Underlying, zu einem in der Zukunft liegenden Zeitpunkt
15 bzw. innerhalb eines in der Zukunft liegenden Zeitraums 16 und zu einem bei
Vertragsabschluss festgelegten Basispreis zu kaufen oder zu verkaufen. Bei Optionen erfolgt
normalerweise keine physische Lieferung des Basisobjektes, so dass der Kursgewinn
stets in Form eines Barausgleichs vom Emittenten ausgezahlt wird. Wie auch bei Futures
geht der Käufer einer Option eine Long-Position und der Verkäufer eine Short-Position
ein.
15 Bei einer europäischen Option.
16 Bei einer amerikanischen Option.

Kapitel 3
Substrategien von Managed Futures
Managed Futures-Manager verfolgen unterschiedliche Handelsstrategien, die zusammen
eine bestmögliche Diversifikation innerhalb eines Managed Futures-Fonds erzielen sollen.
Die Varengold Wertpapierhandelsbank AG kategorisiert diese Handelsstrategien in fünf
Gruppen, sogenannte Substrategien. Die Substrategien sind Short Term Trading, Trend
Following, FX Trading, Global Macro und Discretionary Trading. Die Kategorisierung
erfolgt aufgrund der Erfahrung und der qualitativen Einschätzung des Varengold Asset-
Management-Teams.
Im weiteren Verlauf dieses Kapitel werden die Substrategien näher erläutert. Dazu wurden
Informationen ausgewertet, welche von der PerTrac Datenbank bereitgestellt werden.
Anschließend werden diese qualitativen Erkenntnisse mathematisch verifiziert.
Abbildung 3.1: Investitionszeiträume der Substrategien
9

3.1. SHORT TERM TRADING 10
3.1 Short Term Trading
Die Substrategie Short Term Trading basiert auf systematischen Ansätzen, bei denen
die Manager auf kurzfristige Marktbewegungen 1 spekulieren. Dabei wird versucht, schon
von geringen Kursschwankungen zu profitieren. Durch die extrem hohe Handelsfrequenz
ist diese Substrategie i.d.R. voll automatisiert 2 . Die Manager sind grundsätzlich nicht
auf einzelne Sektoren oder Märkte eingeschränkt. Abbildung 3.1 zeigt, dass die Manager
der Substrategie Short Term Trading ihre Investitionen zu 80% über kurze Zeiträume
tätigen. Durch die hohen Umsätze fokussieren sich die Manager dieser Substrategie auf
extrem liquide Märkte. Abbildung 3.2 zeigt, dass Short Term Trading-Manager fast
ausschließlich in Aktienindizes, Währungen und den Zinsmarkt investieren. Das liegt
daran, dass diese Märkte die liquidesten sind.
Abbildung 3.2: Investierte Märkte der Substrategie Short Term Trading
3.2 Trend Following
Die Substrategie Trend Following basiert auf systematischen Ansätzen, bei denen die Manager
auf mittel- bis langfristige Marktbewegungen 3 spekulieren 4 . Dabei vertraut jeder
Manager auf seine automatisierten Computerprogramme 5 , deren Ziel die frühzeitige Erkennung
eines Trends ist, um auf diesen Trend aufzuspringen. Dabei wird bei steigenden
1Haltedauer von wenigen Sekunden bis zu wenigen Tagen.
2Vgl. o.V. Varengold Wertpapierhandelsbank AG.
3Haltedauer von wenigen Tagen bis zu wenigen Monaten.
4Vgl. Abbildung 3.1.
5Vgl. o.V. Varengold Wertpapierhandelsbank AG.

3.3. FX TRADING 11
Kursen eine Long-Position und bei fallenden Kursen eine Short-Position eingegangen.
Die Manager sind ebenso, wie die Manager des Short Term Trading, nicht auf einzelne
Sektoren oder Märkte eingeschränkt. Wie Abbildung 3.3 zeigt, werden hier aber auch
weniger liquide Werte speziell im Rohstoffbereich verwendet.
Abbildung 3.3: Investierte Märkte der Substrategie Trend Following
3.3 FX Trading
FX Trading, oder auch Forex- oder Devisenhandel genannt, wird von Managern verwaltet,
die fast ausschließlich Währungsmärkte zur Umsetzung der Handelsentscheidungen
nutzen 6 . Wie Abbildung 3.1 zeigt, nutzen die Manager dabei, je nach Strategieansatz,
unterschiedlichste Zeithorizonte für ihre Investitionen. Die Substrategie ist vorwiegend
computerautomatisiert 7 . FX Trading bedient sich, im Gegensatz zu den anderen Substrategien,
nicht nur börsengehandelter Derivate, sondern auch des Interbanken Spots
und Forward Marktes.
3.4 Global Macro
Die Manager der Substrategie Global Macro stützen ihre Handelsentscheidungen auf fundamentale
Daten und spekulieren dabei auf weltweite Bewegungen in den Finanzmärkten.
Ausgangspunkt ist immer eine eingehende makro-ökonomische Analyse, welche die
6 Vgl. Abbildung 3.4.
7 Vgl. o.V. Varengold Wertpapierhandelsbank AG.

3.4. GLOBAL MACRO 12
Abbildung 3.4: Investierte Märkte der Substrategie FX Trading
zukünftigen Veränderungen globaler Nachfrage nach Ressourcen abbildet 8 . Die Manager
versuchen, große Trendeinbrüche, die von der Gesamtheit der Marktteilnehmer falsch
eingeschätzt werden, zu erkennen und gewinnbringend zu nutzen. Abbildung 3.1 zeigt,
dass hier auch langfristige Investitionen getätigt werden. Somit können zur Umsetzung
auch illiquide Finanzprodukte gewählt werden. Wie Abbildung 3.5 zeigt, kann dabei eine
Anlage in Aktienindizes, Rohstoffe, Zinsen oder Währungen erfolgen. Die Global Macro
Strategie wird nicht nur bei Managed Futures verwendet, sondern ist ebenso eine der
ältesten Strategien von Hedgefonds.
Abbildung 3.5: Investierte Märkte der Substrategie Global Macro
8 Vgl. o.V. Varengold Wertpapierhandelsbank AG.

3.5. DISCRETIONARY TRADING 13
3.5 Discretionary Trading
Diese Substrategie basiert überwiegend auf den Handelsentscheidungen einzelner Manager
oder eines Managementteams. Entscheidend für den Erfolg sind dabei die Erfahrung
und das Gespür der Manager 9 . Im Gegensatz zu den anderen Substrategien beobachten
und analysieren sie subjektiv die verschiedenen Märkte, wobei sie bei der Wahl
der Märkte grundsätzlich frei sind, sich aber auf einige Themenschwerpunkte, wie z.B.
Rohstoffe, Aktienindizes oder Zinsen, fokussieren 10 . Sie versuchen, Zusammenhänge zwischen
den verschiedenen Märkten, ökonomischen Entwicklungen und politischen Lagen
zu erkennen. Dafür nutzen sie Informationen aus den unterschiedlichsten Quellen, z.B.
aus Nachrichten, Charttechnik oder Unternehmensdaten. Hierbei werden überwiegend
fundamentale Daten interpretiert, computergestützte Modelle bzw. Systeme werden nur
in einem sehr geringen Maße eingesetzt. Wie Abbildung 3.1 zeigt, nutzen die Manager
dabei, je nach Marktlage, unterschiedliche Zeithorizonte.
Abbildung 3.6: Investierte Märkte der Substrategie Discretionary Trading
In Abbildung 3.7 ist die durchschnittliche Performance 11 jeder Substrategie und des
Index über die Periode der letzten zehn Jahre dargestellt. Die Abbildung zeigt, dass bei
einer Investition von 100 Geldeinheiten alle Substrategien innerhalb von zehn Jahren
durchschnittlich auf mindestens 220,88 im FX Trading und höchstens 373,77 im Global
Macro gestiegen sind. Das entspricht einem Wachstum von 116,29% im FX Trading und
273,29% im Global Macro. Alle Substrategien sind frei von größeren Werteinbrüchen.
9 Vgl. o.V. Varengold Wertpapierhandelsbank AG.
10 Vgl. Abbildung 3.6.
11 Misst die Wertentwicklung eines Investments oder eines Portfolios. Vgl. Definition 4.2.

3.6. MATHEMATISCHE VERIFIZIERUNG 14
Abbildung 3.7: Performance der Substrategien über eine Periode von zehn Jahren
3.6 Mathematische Verifizierung
Da die obigen Auswertungen auf qualitativer Basis entstanden sind, wird den Ergebnissen
nun ein mathematisches Modell zur Seite gestellt. Um herauszufinden wie und in
welchen Märkten Manager handeln, wurde in Anlehnung an Fung u. Hsieh (1997a) eine
Methode angewandt, welche die Renditen von Anlageklassen in fünf Marktumgebungen
unterteilt und die Renditen der Managed Futures, in jeder dieser Marktumgebungen,
im Hinblick auf eine Anlageklasse darstellt. Fung u. Hsieh (1997a) gehen davon aus,
dass sich der Style eines Managers aus zwei Quellen zusammensetzt: Location choice
und Trading Strategy, wobei Location choice die Wahl der Anlageklassen bezeichnet und
Trading Strategy die Art des Handelns, d.h. ob die Manager Long- bzw. Short-Strategien
verfolgen und ob sie Hebeleffekte einsetzen. Die Idee dabei ist folgende: Manager, die
eine Buy and Hold Strategie verfolgen, erzielen in der Regel Renditen, die in einer Linie
mit denen der Anlageklasse verlaufen. Im Gegensatz dazu sollten die Renditen von Managern,
die dynamische Strategien verfolgen, in extremen Marktphasen besonders hoch
sein.
Als Vergleichsindizes, welche die wichtigsten Anlageklassen repräsentieren, wurden die
One-Month-Libor-Rate für den Zinsmarkt, der Dollar Index für Währungen, der Barclay
Emerging Markets Index, der MSCI USA Index, der MSCI World Ex USA Index und
der MSCI World Index für Aktien, der Lehman Long Term Treasury Index 12 und der
ML High Yield Master II Index für Anleihen und der Goldpreis und der Dow Jones -
AIG Commodity Index für Rohstoffe gewählt.
12 Lehman Brothers stellte am 15.09.2008 einen Insolvenzantrag, nachdem die US-Regierung eine Ret-
tungsaktion abgelehnt hatte.

3.6. MATHEMATISCHE VERIFIZIERUNG 15
Zu jeder Anlageklasse wurden die p-Quantile rp, p = j
, j = 1, ..., 5, berechnet, welche
5
die fünf Marktumgebungen13 begrenzen sollen.
Definition 3.1. Empirische Quantile
Für jeden Anteil p mit 0

3.6. MATHEMATISCHE VERIFIZIERUNG 16
Marktumgebung Index DT FX GM STT TF
One 1 0,12% 1,01% 1,28% 0,70% 1,60% 0,59% 1,05%
Month 2 0,21% 0,79% 1,38% 0,38% 0,43% 0,19% 0,91%
Libor 3 0,36% 1,15% 1,46% 0,68% 1,68% 0,65% 1,25%
Rate 4 0,43% 0,53% 0,61% 0,47% 0,61% 0,91% 0,43%
5 0,49% 1,11% 0,40% 0,93% 0,75% 1,31% 1,36%
Dollar 1 -1,71 % 2,52% 1,85% 1,41% 2,13% 1,47% 3,30%
Index 2 -0,73% 0,76% 1,44% 0,42% 1,77% 0,47% 0,62%
3 -0,10% 0,65% 0,81% 0,61% 1,50% 0,58% 0,55%
4 0,52% 0,26% 0,53% -0,13% 0,22% 0,40% 0,28%
5 1,41% 0,39% 0,46% 0,93% -0,37% 0,78% 0,20%
Barclay 1 -5,62% 1,76% 0,42% 1,33% -0,58% 1,61% 2,54%
Emerging 2 -0,92% 0,10% 0,63% 0,51% 0,10% 0,66% -0,30%
Markets 3 1,73% 0,52% 0,39% -0,01% 1,34% 0,48% 0,64%
Index 4 3,08% 0,84% 1,78% 0,69% 1,49% 0,43% 0,64%
5 6,10% 1,70% 1,85% 0,85% 2,89% 0,71% 1,99%
Lehman 1 -2,74% -0,19% 0,56% 0,06% 1,05% 0,27% -0,71%
Long 2 -0,49% 0,50% 0,67% 0,42% 1,21% 0,65% 0,36%
Term 3 0,74% 1,02% 0,89% 1,33% 1,79% 0,49% 1,00%
Treasury 4 1,87% 1,54% 1,84% 1,26% 0,88% 0,89% 1,73%
Index 5 3,62% 1,81% 1,15% 0,17% 0,47% 1,44% 2,70%
ML 1 -2,53% 1,48% 1,12% 0,47% 0,10% 1,29% 2,05%
High 2 -0,36% -0,01% -0,10% 0,51% 1,15% 0,83% -0,43%
Yield 3 0,69% 1,11% 1,26% 0,77% 1,36% 0,45% 1,29%
Master 4 1,42% 0,84% 1,43% 0,69% 1,09% 0,38% 0,78%
II 5 2,98% 1,21% 1,40% 0,82% 1,73% 0,77% 1,31%
MSCI 1 -5,86% 2,19% 1,48% 1,05% 0,11% 1,20% 3,16%
USA 2 -1,63% 0,10% 0,66% 0,28% 0,38% 0,64% -0,27%
3 0,62% 0,22% 0,43% 0,45% 0,79% 0,64% -0,06%
4 2,42% 1,39% 1,98% 0,47% 1,41% 0,42% 1,69%
5 5,97% 0,71% 0,58% 0,97% 2,67% 0,81% 0,46%
MSCI 1 -5,83% 1,89% 0,76% 1,24% -0,55% 1,30% 2,79%
World 2 -1,47% -0,17% 0,00% 0,05% -0,38% 0,70% -0,44%
Ex 3 1,11% 0,39% 1,27% 0,33% 1,63% 0,45% 0,02%
USA 4 3,15% 1,19% 1,85% 0,97% 1,69% 0,46% 1,17%
5 5,66% 1,31% 1,28% 0,66% 2,99% 0,79% 1,46%
MSCI 1 -6,04% 2,21% 1,13% 1,29% -0,03% 1,08% 3,27%
World 2 -1,51% -0,17% 0,46% 0,08% -0,21% 0,71% -0,62%
Index 3 0,91% 0,89% 0,90% 0,54% 1,22% 0,87% 0,95%
4 2,54% 1,26% 1,85% 0,80% 1,54% 0,47% 1,36%
5 5,60% 0,72% 0,90% 0,66% 2,86% 0,62% 0,49%
Dow 1 -5,75% 0,00% -0,39% 0,55% 0,11% 0,40% -0,15%
Jones- 2 -1,75% 0,02% -0,55% 1,01% 0,53% 0,75% -0,32%
AIG 3 0,64% 0,09% 0,41% 0,06% 1,12% 0,71% -0,23%
Commodity 4 2,98% 1,43% 2,59% 0,19% 1,19% 0,73% 1,63%
Index 5 6,76% 3,06% 3,04% 1,41% 2,42% 1,13% 4,03%
Tabelle 3.1: Durchschnittliche Renditen des Index und der Substrategien über verschiedene
Marktumgebungen pro Anlageklasse

3.6. MATHEMATISCHE VERIFIZIERUNG 17
Abbildung 3.8: Investierte Märkte des Index
fehlen. Die Abbildung zeigt, dass Manager der Substrategie Discretionary Trading sehr
viel in Getreide investieren. Dieses Ergebnis entsteht aber nur, da durch die hohe Anzahl
fehlender Angaben dieser Markt sehr überschätzt wird.
FX Trading
Bei FX Trading erkennt man nur bei Zinsen und Währungen dynamische Handelsstrategien.
Bei allen anderen Anlageklassen erkennt man weder eine Buy and Hold, noch
eine dynamische Handelsstrategie. Das stimmt mit den Informationen aus der Datenbank
überein, da dort angegeben wurde, dass die Manager der Substrategie FX Trading
fast ausschließlich in den Währungsmarkt investieren 15 . Zusätzlich wird in sehr geringem
Umfang in den Zinsmarkt investiert.
Global Macro
Global Macro erzielte besonders hohe Renditen in den schlechtesten Marktumgebungen
von Zinsen und Währungen. Bei allen vier Aktienindizes ergibt sich die gleiche Struktur,
die allerdings nicht dynamisch ist. Da das Verhalten im Vergleich zu Aktien aber
systematisch zu sein scheint, investieren Manager der Strategie Global Macro in Aktienindizes.
Das systematische Verhalten bei Aktienindizes ist im Anhang in Abbildung .4 am
Barclay Emerging Markets Index dargestellt. Ebenso systematisch sehen die Renditen
aus, wenn man den Goldpreis und den Dow Jones - AIG Commodity Index betrachtet.
Laut Informationen aus der Datenbank, investieren Manager der Substrategie Global
Macro in Zinsen, Aktienindizes, Währungen und verschiedene Rohstoffe 16 .
15 Vgl. Abbildung 3.4.
16 Vgl. Abbildung 3.5.

3.6. MATHEMATISCHE VERIFIZIERUNG 18
Short Term Trading
Bei der Substrategie Short Term Trading verlaufen die Renditen im Vergleich zu allen
Aktienindizes und zu den Indizes aus Rohstoffen fast konstant knapp über Null. Dynamische
Handelsstrukturen sind sehr deutlich bei der One Month Libor Rate, dem Dollar
Index und bei High Yield Bonds.
Trend Following
Bei der Substrategie Trend Following erkennt man dynamische Handelsstrukturen in
jeder Anlageklasse, außer in Anleihen. Abbildung 3.3 zeigt, dass die Ergebnisse mit den
Informationen aus der Datenbank übereinstimmen.
Es konnte somit festgestellt werden, dass die Informationen aus der Datenbank im Allgemeinen
mit den Ergebnissen aus der mathematischen Analyse übereinstimmen. Jedoch
haben beide Methoden ihre Nachteile. Die Informationen aus der Datenbank sind zum
Teil nicht korrekt oder nicht aktuell, da die Manager manche Märkte nicht angeben
können oder manche Angaben einfach nicht mehr aktuell sind 17 . Wenn Informationen
fehlen, können die Ergebnisse stark verzerrt werden.
Bei der Identifikation der Handelsstrategien auf Basis von Renditen, kann nicht festgestellt
werden, in welchem Umfang in die jeweiligen Märkte investiert wird. Es wird wird
lediglich festgestellt, ob die Manager in diese Märkte investieren.
17 Vgl. Fung u. Hsieh (2001a), S.8.

Kapitel 4
Statistische Eigenschaften der
Substrategien
In diesem Kapitel werden statistische Eigenschaften der Substrategien herausgearbeitet.
Zu Beginn werden einige statistische Kennzahlen definiert, die üblicherweise für eine
Rendite-Risiko Analyse von Renditezeitreihen verwendet werden. Anschließend werden
die Renditezeitreihen auf Autokorrelation getestet und geeignete Risikomaße definiert.
Da die Verteilung der Renditen Rückschlüsse auf die Eigenschaften der Substrategien
zulässt, werden die Substrategien anschließend auf Normalverteilung getestet. Zum Abschluss
dieses Kapitels werden sie auf Korrelationen zueinander untersucht.
4.1 Statistische Kennzahlen
In diesem Abschnitt werden die Substrategien von Managed Futures auf ihre Rendite-
Risiko-Eigenschaften analysiert. Dazu werden nachfolgend einige wichtige Begriffe und
Kennzahlen eingeführt.
4.1.1 Rendite
Die Rendite ist ein Begriff zur Messung der relativen Wertänderung einer Position. Sie
kann auf zwei verschiedene Arten definiert werden. Zum einen diskret, also als prozentualen
Zuwachs von einem Zeitpunkt zum anderen, oder stetig, als natürlichen Logarithmus
des Zuwachsverhältnisses. Dorfleitner (2001) gibt eine kurze, aber nützliche Übersicht
der wesentlichen Unterschiede beider Begriffe an.
Definition 4.1. Rendite
Seien s und t zwei Zeitpunkte mit der Eigenschaft s

4.1. STATISTISCHE KENNZAHLEN 20
die einen Wert oder Kurs besitzt, der sich zumindest prinzipiell über die Zeit hinweg
ändert. Sei
• Ss der Wert oder Kurs der Position zum Zeitpunkt s und
• St der Wert oder Kurs zum Zeitpunkt t, der bereits um Dividenden, Aktiensplits
etc. bereinigt ist.
Dann ist
r d st = St − Ss
Ss
= St
Ss
− 1
die diskrete Rendite für den Zeitraum von s bis t und
r s st = ln St
die stetige Rendite für den Zeitraum von s bis t.
Ss
= ln St − ln Ss
Die beiden Renditebegriffe lassen sich jeweils durch den anderen darstellen. Es gilt:
bzw.
r d st = e rs st − 1
r s st = ln(r d st + 1).
Für kleine, nahe bei Null liegende, absolute Werte von r s st und r d st gilt sogar die approximative
Gleichheit:
r s st ≈ r d st.
Das geht aus der Umrechnungsformel hervor. Denn wenn r d st ≈ 0 und r s st ≈ 0 sind, dann
ist e rs st ≈ e 0 = 1. Somit ist auch e rs st − 1 ≈ 0.
Eigenschaften der Renditebegriffe
In manchen Fällen ist es sehr wichtig, welchen der beiden Renditebegriffe man nutzt. Das
liegt an ihren unterschiedlichen Eigenschaften. Die wichtigste Eigenschaft der stetigen
Rendite ist die Additivität entlang der Zeitachse 1 , d.h. für alle s ∈ [0, t] gilt:
denn aus der Definition folgt sofort:
r s 0t = ln St
1 Vgl. Dorfleitner (2001), S.5.
S0
= ln St · Ss
S0 · Ss
r s 0t = r s 0s + r s st,
= ln Ss
S0
+ ln St
Ss
= r s 0s + r s st.

4.1. STATISTISCHE KENNZAHLEN 21
Dagegen ist die entscheidende Eigenschaft der diskreten Rendite die Additivität innerhalb
von Portfolios 2 . Teilt man nämlich den Betrag S0 mit den Gewichten p ∈ [0, 1] und
1 − p auf zwei Wertpapiere mit den Kursen A und B auf, dann gilt:
r d 0t = p · r d 0t(A) + (1 − p) · r d 0t(B).
Das bedeutet, dass sich die Gesamtrendite eines Portfolios aus den gewichteten Renditen
der Einzelinvestments zusammensetzt.
Das geht ebenso aus der Definition hervor, denn es gilt:
r d � �
At p · S0 · − 1 + (1 − p) · S0 ·
A0
st =
S0
� Bt
B0
�
− 1
.
Aufgrund der Additivität innerhalb eines Portfolios wird die Analyse von Managed
Futures-Fonds und die Portfolio-Optimierung mit diskreten Renditen r d = r gemacht.
Wegen der Zeitadditivität von stetigen Renditen werden bei der Autokorrelationsanalyse
stetige Renditen r s verwendet.
4.1.2 Performance
Die Performance misst die Wertentwicklung eines Investments oder eines Portfolios.
Definition 4.2. Performance
Die Performance eines Fonds wird folgendermaßen berechnet:
St = St−1(1 + rt).
Dabei bezeichnet St den Wert einer Position zum Zeitpunkt t, St−1 den Wert einer Position
zum Zeitpunkt t − 1 und rt die Rendite einer Position zum Zeitpunkt t.
4.1.3 Mittelwerte
Es werden hier zwei Arten des Mittelwertes betrachtet. Das arithmetische Mittel, welches
den Durchschnitt der Beobachtungen bezeichnet und das geometrische Mittel, welches
den durchschnittlichen Wachstumsfaktor bezeichnet.
Definition 4.3. Arithmetisches Mittel
Das arithmetische Mittel ¯r der Beobachtungen rt, t = 1, ..., T ist folgendermaßen defi-
niert:
2 Vgl. Dorfleitner (2001), S.6.
¯r = 1
T
T�
rt.
t=1

4.1. STATISTISCHE KENNZAHLEN 22
Das arithmetische Mittel ¯r ist ein erwartungstreuer Schätzer 3 für den Erwartungswert
µ der Rendite.
Definition 4.4. Geometrisches Mittel
Das geometrische Mittel von T positiven Renditen rt, t = 1, ..., T ist definiert durch
¯rgeom = T
�
�
�
� T �
rt.
4.1.4 Standardabweichung und empirische Varianz
Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streubreite der Beobachtungen um den
Mittelwert. Eine kleine Standardabweichung gibt an, dass die Beobachtungen eng um den
Mittelwert liegen, eine große Standardabweichung dagegen gibt eine stärkere Streuung
an.
Definition 4.5. Empirische Standardabweichung
Für die Beobachtungen rt, t = 1, ..., T und das arithmetische Mittel ¯r aus Definition 4.3
ist
�
�
�
s = � 1
T�
(rt − ¯r)
T − 1
2
die empirische Standardabweichung.
Die Standardabweichung ist ein erwartungstreuer Schätzer für die Volatilität σ und wird
deswegen in der folgenden deskriptiven Analyse als solcher verwendet. Die empirische
Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung. Sie ist eine Schätzfunktion für die
Varianz einer Zufallsvariablen.
Definition 4.6. Empirische Varianz
Für die Beobachtungen rt, t = 1, ..., T und das arithmetische Mittel ¯r aus Definition 4.3
ist
die empirische Varianz.
s 2 = 1
T − 1
t=1
t=1
T�
(rt − ¯r) 2
t=1
3 Ein Schätzer ist dann erwartungstreu, wenn sein Erwartungswert immer gleich dem zu schätzenden
Parameter ist.

4.1. STATISTISCHE KENNZAHLEN 23
4.1.5 Empirische Verteilung
Die empirische Verteilung besteht aus den relativen Häufigkeiten der diskreten Renditen.
Definition 4.7. Empirische Verteilungsfunktion
Seien n(R ≤ r) die absoluten kumulierten Häufigkeiten, die angeben wie viele Renditen
R jeweils eine vorgegebene Rendite r nicht überschreiten.
Seien h(R ≤ r) die entsprechenden relativen Häufigkeiten.
Dann ist die empirische Verteilungsfunktion ˆ FT (r) bei einer Stichprobe vom Umfang T
definiert durch
ˆFT (r) = h(R ≤ r).
4.1.6 Schiefe
Die Schiefe ist das normierte dritte zentrale Moment einer Verteilung. Sie erfasst den
Grad der Assymetrie einer Renditeverteilung und berechet sich wie folgt:
Definition 4.8. Schiefe
ˆS = 1
T
T� (rt − ¯r) 3
s3 .
t=1
Dabei bezeichnet rt die Rendite in Periode t, ¯r die Durchschnittsrendite, die sich nach
Definition 4.3 berechnet, s die Standardabweichung nach Definition 4.5 und T die Anzahl
der Beobachtungen.
Bei einer positiven Schiefe handelt es sich um eine rechtsschiefe bzw. linkssteile Verteilung,
bei einer negativen Schiefe um eine linksschiefe bzw. rechtssteile Verteilung.

4.1. STATISTISCHE KENNZAHLEN 24
4.1.7 Kurtosis
(a) Rechtsschiefe Verteilung (b) Linksschiefe Verteilung
Abbildung 4.1: Schiefe einer empirischen Verteilung
Die Kurtosis, oder auch Wölbung, ist das normierte vierte zentrale Moment und ist ein
Maß für die Stärke der Konzentration einer Verteilung um den Mittelwert. Sie ist ein Indikator
für das Verhalten am Rand der Verteilung. Normalverteilte Renditen weisen eine
Kurtosis von drei oder eine Überschuss-Kurtosis von Null auf. Bei den hier berechneten
Werten handelt es sich um die Überschuss-Kurtosis, die wie folgt berechnet wird:
Definition 4.9. Kurtosis
ˆK = 1
T
T� (rt − ¯r) 4
s4 − 3.
t=1
Dabei bezeichnet rt die Rendite in Periode t, ¯r die Durchschnittsrendite, die sich nach
Definition 4.3 berechnet, s die Standardabweichung aus Definition 4.5 und T die Anzahl
der Beobachtungen.
Bei einer positiven Überschuss-Kurtosis handelt es sich um eine sogenannte leptokurtische
Verteilung. Leptokurtische Verteilungen weisen an den Enden eine höhere Renditekonzentration
als die Normalverteilung auf. Die höhere Dichte an den Enden der
Verteilung bedeutet für den Investor, dass es im Vergleich zur Normalverteilung wahrscheinlicher
ist, hohe positive, aber auch hohe negative Renditen zu erzielen. Im Gegensatz
dazu, wird eine negative Überschuss-Kurtosis platykurtisch genannt. Sie impliziert
eine geringere Volatilität und somit ein geringeres Risiko als bei der Normalverteilung.
Da der risikoaverse Investor unerwartete Verluste vermeiden möchte, wird er eine negative
Kurtosis bevorzugen.

4.2. RENDITE-RISIKO ANALYSE 25
(a) Leptokurtische Verteilung (b) Platykurtische Verteilung
Abbildung 4.2: Kurtosis einer empirischen Verteilung
4.2 Rendite-Risiko Analyse
Strategie DT FX GM STT TF Index
Anzahl Fonds 18 18 6 13 61 116
Arithm. Mittel (Monat) 1,02% 0,65% 1,08% 0,74% 1,01% 0,93%
Geom. Mittel (Monat) 1,00% 0,63% 1,04% 0,74% 0,92% 0,89%
Volatilität 2,46% 2,22% 2,62% 1,35% 4,33% 2,85%
Min. Rendite -5,69% -3,26% -4,79% -2,48% -9,20% -5,58%
Max. Rendite 7,75% 7,45% 9,33% 6,71% 16,97% 10,00%
Kurtosis 0,007 0,241 0,464 2,683 0,716 0,288
Schiefe 0,175 0,632 0,410 1,003 0,468 0,377
Tabelle 4.1: Deskriptive Statistik der Substrategien
Tabelle 4.1 zeigt die Ergebnisse der deskriptiven Statistik. Die Tabelle zeigt, dass die
Substrategie Trend Following mit 61 Fonds die am häufigsten verfolgte Strategie von
Managed Futures ist. Die am wenigsten verfolgte Substrategie ist Global Macro mit nur
6 Fonds. Trotzdem haben gerade die Manager dieser Substrategie die höchste durchschnittliche
Rendite mit 1,08% erreicht, dicht gefolgt von den Managern von Discretionary
Trading und Trend Following. Abbildung 4.3 zeigt, dass Global Macro-Manager
mehr positive als negative Renditen erzielt haben, nämlich 66,14% der Renditen. Die
Manager der Substrategie FX Trading haben die geringste durchschnittliche Rendite
von 0,65% pro Monat erreicht. Nun könnte man davon ausgehen, dass die Substrategie
mit der höchsten durchschnittlichen Rendite auch diejenige mit der höchsten Volatilität
ist. Mit 2,62% liegt die Volatilität von Global Macro-Renditen aber im Mittelfeld,
was diese Vermutung nicht bestätigt. Die Volatilitäten der Renditen der einzelnen Substrategien
bewegen sich zwischen 1,35% im Short Term Trading und 4,30% im Trend
Following. Die Renditen aller Substrategien haben positive Schiefe und positive Kurtosis.
Die positive Schiefe lässt vermuten, dass es im Vergleich zur Normalverteilung

4.2. RENDITE-RISIKO ANALYSE 26
Abbildung 4.3: Vergleich der empirischen Verteilungen der Substrategien

4.3. AUTOKORRELATION 27
eine höhere Wahrscheinlichkeit für positive Renditen gibt 4 . Diese Vermutung wird durch
Abbildung 4.3 bestätigt. In jeder Substrategie liegen mehr Renditen im positiven als
im negativen Bereich. Bei Short Term Trading sind es sogar 70,08% der Renditen. Die
positive Kurtosis lässt auf die sogenannten Fat Tails schließen. Wie Abbildung 4.4 zeigt,
sind Fat Tails Renditen in den Enden von empirischen Verteilungen, die stark über
die Normalverteilung hinausgehen. Somit bedeutet eine positive Kurtosis, dass eine höhere
Wahrscheinlichkeit 5 für Renditen in den Randbereichen der Verteilung existiert.
Abbildung 4.3 zeigt bei der Substrategie Trend Following die größten Fat Tails. Diese
befinden sich hier im positiven Ende der Verteilung, können aber genauso im negativen
Ende auftreten.
4.3 Autokorrelation
Abbildung 4.4: Fat Tails einer empirischen Verteilung
Wichtige Hilfsmittel zur Beurteilung der Eigenschaften einer Zeitreihe r s 1, ..., r s T sind
die empirische Autokovarianz und die empirische Autokorrelation. Darunter versteht
man Maße für den Zusammenhang zwischen Beobachtungsdaten, die einen bestimmten
zeitlichen Abstand zueinander haben, d.h. die empirische Autokovarianz bzw. Autokorrelation
zum sogenannten lag 6 k ist ein Maß für den Zusammenhang von r s t und r s t+k ,
t = 1, ..., (T − k). Die Autokorrelationsfunktion ac(k) ist die normierte Version der Autokovarianzfunktion
c(k) mit reellen Werten zwischen -1 und 1. Da diskrete Renditen
nicht additiv entlang der Zeitachse sind, sind sie für die Berechnung der Autokorrelation
nicht geeignet. Deswegen werden hier stetige Renditen r s t verwendet.
4 Es wird der Vergleich zur Normalverteilung gezogen, da Renditen von Aktien allgemein als normal-
verteilt gelten.
5 Im Vergleich zur Normalverteilung.
6 Zeitverschiebung.

4.3. AUTOKORRELATION 28
Definition 4.10. Autokovarianz
Die empirische Autokovarianz zum lag k, k=0,...,(T-1), ist definiert als
c(k) = 1
T
T� −k
(r s t − ¯r s ) � r s t+k − ¯r s� = c(−k),
t=1
wobei r s t , t=1,...,T, die stetigen Renditen einer Zeitreihe und ¯r s das arithmetische Mittel
aus Definition 4.3 ist.
Definition 4.11. Autokorrelation
Die empirische Autokorrelation zum lag k ist für k=1,...,(T-1), definiert als
ac(k) = c(k)
c(0) =
� T −k
t=1 (rs t − ¯r s ) � rs t+k − ¯rs�
�T t=1 (rs t − ¯r s ) 2 = ac(−k),
wobei r s t , t=1,...,T, die stetigen Renditen einer Zeitreihe und ¯r s das arithmetische Mittel
aus Definition 4.3 ist.
Eine positive Autokorrelation impliziert, dass mit hoher Wahrscheinlichkeit auf eine positive
Rendite wieder eine positive oder auf eine negative Rendite eine negative folgt.
Demgegenüber deutet eine negative Autokorrelation darauf hin, dass die Wahrscheinlichkeit
für einen Performancewechsel von positiv zu negativ oder von negativ zu positiv
hoch ist.
Die Überprüfung der statistischen Signifikanz der Autokorrelation kann mit Hilfe der
Ljung-Box-Teststatistik, die einer χ 2 -Verteilung mit k − 1 Freiheitsgraden folgt, durchgeführt
werden. Die Statistik testet gleichzeitig auf Autokorrelation bis zum lag k. So
kann festgestellt werden, ob die vorliegende Zeitreihe eine systematische Struktur aufweist,
oder als sogenanntes weißes Rauschen 7 bezeichnet werden kann.
Definition 4.12. Ljung-Box-Statistik
Die Ljung-Box Teststatistik berechnet sich wie folgt:
T� −k
Q = T (T + 2)
k=1
ac(k) 2
T − k ,
wobei T die Anzahl der stetigen Renditen r s einer Zeitreihe und ac(k) die Autokorrelationsfunktion
zum lag k ist.
Wenn nun gilt
Q > χ 2 k−1,1−α
7 Diskreter stochastischer Prozess von unkorrelierten Zufallsvariablen mit Erwartungswert Null und
konstanter Varianz.

4.4. TESTS AUF NORMALVERTEILUNG 29
wird die Nullhypothese H0: keine Autokorrelation verworfen und die Alternativhypothese
H1: Autokorrelation angenommen. Die Tabelle der χ 2 -Verteilung kann z.B. aus Hartung
u. a. (2002) entnommen werden.
Der Ljung-Box-Test wurde für jede Substrategie und für den Index durchgeführt. Tabelle
4.2 zeigt die Werte der Teststatistik, sowie den kritischen Wert zum Konfidenzniveau
α = 0, 05. D.h. man kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% annehmen, dass
auf eine positive Rendite wieder eine positive folgt. Die Nullhypothese wird bei den
Strategien FX Trading und Global Macro verworfen. Bei den restlichen Strategien und
bei dem Index existiert dagegen keine Autokorrelation.
Index DT FX GM STT TF Kritischer
Wert
Q 35,81 35,00 40,22 54,02 25,65 32,37 36,42
Tabelle 4.2: Test auf Autokorrelation
4.4 Tests auf Normalverteilung
Tests, die es ermöglichen, hypothetische Verteilungsmodelle zu überprüfen, werden Anpassungstests
genannt. Hier werden verschiedene Anpassungstests vorgestellt, mit denen
auf Normalverteilung geprüft werden kann. Liegen T unabhängige Beobachtungen
r1, ..., rT vor, dann überprüfen die folgenden Tests die Hypothese, dass die Beobachtungen
aus einer Grundgesamtheit stammen, die normalverteilt ist. Im Folgenden werden der
Kolmogorov-Smirnov-Test, der Anderson-Darling-Test und der Jarque-Bera-Test vorgestellt.
Diese Tests wurden gewählt, da sie für Stichproben von geringem Umfang geeignet
sind. Die Hypothesen lauten dabei folgendermaßen:
H0: Die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen Ri ist normalverteilt,
H1: Die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen Ri ist nicht normalverteilt.
Wenn die Teststatistik den kritischen Wert überschreitet, muss die Nullhypothese H0
abgelehnt werden und die Alternativhypothese H1 angenommen werden. Ansonsten wird
die Nullhypothese beibehalten.
4.4.1 Kolmogorov-Smirnov-Test
Die Werte der empirischen Verteilungsfunktion ˆ FT (r) aus Definition 4.7 bei einer Stichprobe
vom Umfang T streuen für jedes feste r um den wahren Wert F (r) aus De-

4.4. TESTS AUF NORMALVERTEILUNG 30
finition 4.15. Wenn der Stichprobenumfang groß ist, ist nach dem Satz von Glivenko-
Cantello 8 die Wahrscheinlichkeit groß, dass die empirische Verteilungsfunktion insgesamt
nur wenig von der theoretischen abweicht. Daher sollte bei Gültigkeit der Hypothese
H0 : F (r) = N(r) mit der tatsächlichen Verteilung F (r) und der Normalverteilung
N(r), auch der größte Abstand
| ˆ FT (r) − N(r) |, r ∈ R nicht zu groß sein 9 . Da die Verteilung des größten Abstandes
unabhängig von der Normalverteilung ist, führen diese Überlegungen zu einem allgemein
einsetzbaren Anpassungstest.
Satz 4.1. Grenzwertsatz von Glivenko-Cantelli (schwache Form)
Sei R eine Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion F (r) aus Definition 4.15. ˆ FT (r)
sei die empirische Verteilungsfunktion aus Definition 4.7 bei einer Stichprobe vom Umfang
T .
Dann gilt für jedes ɛ > 0:
lim
T →∞ P
�
sup |
r∈R
ˆ �
FT (r) − F (r) |< ɛ = 1.
Dieser Satz wird auch der Hauptsatz der Statistik genannt. Er gibt die Rechtfertigung
dafür, bei genügend guter Übereinstimmung von theoretischem Modell und empirischer
Verteilung zu unterstellen, dass die Daten aus einer Grundgesamtheit stammen, die diese
Verteilung hat.
Satz 4.2. Kolmogorov-Smirnov-Statistik
Sei R eine Zufallsvariable mit der Normalverteilungsfunktion N(r). ˆ FT (r) sei die zu einer
Zufallsstichprobe gehörige empirische Verteilungsfunktion aus Definition 4.7. Dann ist
D = sup |
r∈R
ˆ FT (r) − N(r) |
die Kolmogorov-Smirnov-Statistik. Sie ist unabhängig von der Normalverteilungsfunktion
N(r).
Nun soll geprüft werden, ob die empirische Verteilung ˆ FT (r) einer Normalverteilung N(r)
folgt. Dafür berechnet man für jede der geordneten Realisationen r1, ..., rt−1, rt, ..., rT die
Statistiken
Dt(oben) =| ˆ F (rt) − N(rt) |
und
Dt(unten) =| ˆ F (rt−1) − N(rt) | .
Wenn nun gilt: √ T max{Dt(unten), Dt(oben)} ≥ dT,α,
8 Vgl. Satz 4.1.
9 Vgl. Schlittgen (2008).

4.4. TESTS AUF NORMALVERTEILUNG 31
wird die Nullhypothese abgelehnt. Dabei bezeichnet dT,α den kritischen Wert.
Für eine Stichprobe vom Umfang T > 35 sind die kritischen Werte in folgender Tabelle
angegeben:
α 0,1 0,05 0,01
dT,α
4.4.2 Anderson-Darling-Test
1,22
√T
1,36
√T
1,63
√T
Tabelle 4.3: Kritische Werte dT,α
Der Anderson Darling Test ist eine Weiterentwicklung des Kolmogorov-Smirnov-Tests.
Die Anderson-Darling-Teststatistik betrachtet nicht nur den größten Abstand zwischen
der empirischen Verteilungsfunktion und der zu testenden, sondern eine Summe von Abständen,
bzw. die Abstandsflächen. Zusätzlich kommt eine gewichtende Komponente im
Tailbereich hinzu. Dieser Test kann für verschiedene Verteilungen angewendet werden, er
ist jedoch verteilungsspezifisch aufgebaut. Da hier auf Normalverteilung getestet werden
soll, wird nachfolgend nur dieser Fall betrachtet.
Satz 4.3. Anderson-Darling-Statistik
Sei R eine Zufallsvariable mit der Normalverteilung N(r). ˆ FT (r) sei die zu einer Zufallsstichprobe
gehörige empirische Verteilungsfunktion aus Definition 4.7. Dann ist
A 2 = −T −
T�
t=1
die Anderson-Darling-Statistik.
2t − 1
T
[ln (N(rt)) + ln (1 − N(rT −t+1))]
Für kleine Werte muss diese Teststatistik noch folgendermaßen modifiziert werden:
A 2 T = A 2
�
1 + 3
4T
9
+
4T 2
�
.
Wenn nun die Prüfgröße A 2 T den kritischen Wert Aα überschreitet, muss die Nullhypothese
abgelehnt werden.
Die kritischen Werte Aα sind in folgender Tabelle gegeben:

4.5. TEST DER EMPIRISCHEN VERTEILUNG AUF NORMALVERTEILUNG 32
4.4.3 Jarque-Bera-Test
α 0,1 0,05 0,01
Aα 0,631 0,752 1,035
Tabelle 4.4: Kritische Werte Aα
Der Jarque-Bera Test baut auf Schätzungen der Schiefe und der Kurtosis auf.
Definition 4.13. Jarque-Bera-Statistik
Die Jarque-Bera-Statistik lautet:
JB = T
6
�
ˆS 2 + ˆ K2 �
,
4
wobei T der Stichprobenumfang, ˆ S die Schiefe aus Definition 4.8 und ˆ K die Kurtosis
aus Definition 4.9 ist.
JB ist asymptotisch χ 2 -verteilt mit 2 Freiheitsgraden. Die Nullhypothese der Normalverteilung
wird dann verworfen, wenn gilt:
JB > χ 2 2,α.
Die gebräuchlichsten Quantile der χ 2 2,α-Verteilung sind in folgender Tabelle dargestellt:
α 0,1 0,05 0,01
2 4,605 5,991 9,210
Tabelle 4.5: Quantile der χ 2 2,α-Verteilung
Alle weiteren Werte können z.B aus Hartung u. a. (2002) entnommen werden.
4.5 Test der empirischen Verteilung auf
Normalverteilung
Wie Tabelle 4.6 zeigt, liefern die Anpassungstests verschiedene Ergebnisse. Bei dem
Kolmogorov-Smirnov-Test wird über alle Substrategien die Nullhypothese angenommen.
Der Anderson-Darling-Test verwirft die Nullhypothese in den Substrategien FX Trading

4.6. RISIKOMAßE 33
DT FX GM STT TF Index Kritischer
Wert
Jarque Bera 0,64 8,77 4,69 59,40 7,34 3,44 5,99
Kolmogorov Smirnov 0,05 0,07 0,05 0,06 0,05 0,05 0,12
Anderson Darling -0,37 2,49 0,28 2,62 0,65 0,30 0,75
Tabelle 4.6: Tests auf Normalverteilung
und Short Term Trading. Bei dem Jarque-Bera-Test wird sie zusätzlich bei der Substrategie
Trend Following verworfen. Somit wird davon ausgegangen, dass die Renditen der
Substrategien FX Trading und Short Term Trading nicht normalverteilt sind, die Renditen
von Global Macro und Discretionary Trading dagegen schon. Bei den Renditen von
Trend Following ist es unklar, da die Nullhypothese bei dieser Substrategie nur bei dem
Jarque-Bera-Test verworfen wird, bei dem der kritische Wert nur wenig überschritten
wird. Deswegen wird darüber keine Aussage getroffen. Betrachtet man den gesamten
Index, so kann man von einer Normalverteilung ausgehen.
4.6 Risikomaße
Ein Investor ist vor allem dem sogenannten Marktrisiko ausgesetzt. Als Marktrisiko wird
das Risiko bezeichnet, dass der Investor aufgrund von Veränderungen von Marktvariablen
Verluste erleidet. Dabei kann es sich um Marktvariablen wie Zinssätze, Wechselkurse,
Aktienmarktindizes oder um nur indirekt beobachtbare Marktvariablen wie Volatilitäten
und Korrelationen handeln. Wenn Renditen nicht normalverteilt sind, stellt
die Volatilität kein zufriedenstellendes Risikomaß dar. Fat Tails können von ihr nicht
berücksichtigt werden. Deswegen muss zur Risikomessung ein anderes Maß eingesetzt
werden.
Bei der Wahl eines Risikomaßes ist es sinnvoll darauf zu achten, dass es kohärent ist.
Kohärente Risikomaße ermöglichen statistisch stabilere Risikoeinschätzungen.
4.6.1 Kohärente Risikomaße
Die Definition von kohärenten Risikomaßen geht auf Artzner u. a. (1999) zurück. Sie definierten
vier Axiome, die allgemein als wünschenswerte Eigenschaften eines Risikomaßes
angesehen werden.
Sei Ω die finite Menge aller möglichen Zustände eines Zufallsexperiments. Dann werden
die zufälligen Ereignisse von Ω mit X bezeichnet.

4.6. RISIKOMAßE 34
Sei weiter G die Menge aller Risiken, d.h die Menge aller reellwertigen Funktionen in Ω.
Da Ω als finit angenommen wird, kann G mit R n bezeichnet werden.
Axiom 1. Translationsinvarianz
Wenn man zu einem bestehenden Portfolio zusätzlich den Betrag α zu einem risikolosen
Zinssatz r investiert, verringert sich das Portfoliorisiko um den Betrag α:
∀ X ∈ G und ∀ reellen Beträge α.
ρ(X + αr) = ρ(X) − α,
Axiom 2. Subadditivität
Das Risiko eines Portfolios, bestehend aus zwei Positionen, ist immer kleiner oder gleich
der Summe der Einzelrisiken der zwei Anlagen:
∀ X1, X2 ∈ G.
ρ(X1 + X2) ≤ ρ(X1) + ρ(X2),
Axiom 3. Positive Homogenität
Das Risiko eines Portfolios steigt proportional zu einem positiven Faktor an:
∀ λ ≥ 0 und ∀ X ∈ G.
ρ(λX) = λρ(X),
Axiom 4. Monotonie
Das Risiko eines Portfolios X ist immer mindestens so hoch wie das Risiko eines Portfolios
Y, wenn der Wert von Portfolio X in jedem möglichen Zustand immer kleiner oder
gleich dem Wert von Portfolio Y ist:
∀ X, Y ∈ G.
ρ(Y ) ≤ ρ(X), mit X ≤ Y,
Definition 4.14. Kohärentes Risikomaß
Ein Risikomaß, das die vier Axiome Translationsinvarianz, Subadditivität, positive Homogenität
und Monotonie erfüllt, heißt kohärent.
In dieser Arbeit wurde der Conditional Value at Risk als Risikomaß gewählt. Nachfolgend
werden einige Begriffe eingeführt, die benötigt werden, um den Conditional Value at Risk
zu definieren.

4.6. RISIKOMAßE 35
4.6.2 Value at Risk
Der Value at Risk (VaR) hat sich zu einem Standardmaß entwickelt, um finanzielle Verlustrisiken
zu schätzen. Der Value at Risk eines Portfolios ist definiert als der maximale
Verlust, der mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit in einer bestimmten Zeitperiode
nicht überschritten wird. Mathematisch gesehen, ist der VaR zum Konfidenzniveau 1−α
das α-Quantil der Verteilungsfunktion F (r).
Definition 4.15. Verteilungsfunktion
Sei R eine Zufallsvariable mit Realisationen r. Dann ist die Verteilungsfunktion F (r)
von R die Funktion, die jedem r die Wahrscheinlichkeit P (R ≤ r) zuordnet:
F (r) = P (R ≤ r).
Definition 4.16. Value at Risk
Der α-VaR
V aRα(R) = min {r ∈ R : F (r) ≥ α}
zum Konfidenzniveau 1 − α ∈ (0, 1) ist das α-Quantil der Verteilungsfunktion F (r) aus
Definition 4.15.
Der VaR ist positiv homogen, monoton, translationsinvariant, im Allgemeinen jedoch
nicht subadditiv und folglich auch nicht kohärent 10 . Das bedeutet, das Risiko eines Portfolios
aus zwei Finanzinstrumenten kann größer sein als die Summe der beiden Einzelrisiken.
4.6.3 Conditional Value at Risk
Der Conditional Value at Risk (CVaR) ist ein alternatives, weiterentwickeltes Risikomaß
mit mehr attraktiven Eigenschaften als beim VaR. Für stetige Verteilungen ist er definiert
als der erwartete Verlust eines Portfolios, unter der Bedingung, dass der Verlust
den VaR überschreitet. Für allgemeine Verteilungen ist er definiert als das gewichtete
Mittel des VaR und den Verlusten, die den VaR überschreiten. Er ist nach Rockafellar
u. Uryasev (2000) subadditiv und konvex.
Definition 4.17. Conditional Value at Risk
Sei V aRα(R) der α-VaR aus Definition 4.16. Dann ist der α-CVaR gegeben durch
10 Vgl. Artzner u. a. (1999).
CV aRα(R) = E [R ∈ R : R ≤ V aRα(R)] .

4.7. KORRELATIONSANALYSE 36
Strategie DT FX GM STT TF Index
VaR(5%) -3,00% -2,58% -2,90% -1,17% -5,95% -3,48%
CVaR (5%) -3,89% -2,93% -3,80% -1,57% -7,16% -4,46%
Tabelle 4.7: VaR und CVaR der Substrategien und des Index
Aus Definition 4.16 und 4.17 ist ersichtlich, dass immer gilt: CVaR ≤ VaR 11 . Tabelle 4.7
zeigt, dass der CVaR der Substrategie Trend Following mit einer Rendite von
-7,16% der größte erwartete Verlust ist. Mit -1,57% ist der erwartete Verlust bei der
Substrategie Short Term Trading am geringsten. Besonders bei der Substrategie Trend
Following sieht man, dass durch den VaR das Fat Tail-Risiko unterschätzt wird 12 . Trend
Following-Manager erzielten durchschnittliche Monatsrenditen von 1,01% 13 . Bei einem
Verlust in Höhe des CVaRs muss somit durchschnittlich 8,10 Monate gewartet werden
bis der ursprüngliche Wert des Portfolios wieder erreicht wird. Ein Verlust in Höhe des
VaRs muss dagegen nur 6,90 Monate ausgesessen werden.
Abbildung 4.5: CVaR und VaR am Beispiel der Substrategie Trend Following
4.7 Korrelationsanalyse
Nun soll die Frage beantwortet werden, ob es einen linearen Zusammenhang zwischen
den verschiedenen Substrategien gibt. Dazu ist der Pearsonsche Korrelationskoeffizient
geeignet, der im Folgenden vorgestellt wird:
Definition 4.18. Empirische Kovarianz
Die Kovarianz der Variablen R und Y ist die aus den Daten (rt, yt), t = 1, ..., T , berech-
11 Vgl. auch Abbildung 4.5.
12 Vgl. Abbildung 4.5.
13 Vgl. Tabelle 4.1.

4.7. KORRELATIONSANALYSE 37
nete Maßzahl:
sRY = 1
T
T�
(rt − ¯r)(yt − ¯y),
t=1
wobei ¯r und ¯y die arithmetischen Mittel von r und y sind, die sich nach Definition 4.3
berechnen.
Definition 4.19. Korrelationskoeffizient (von Bravais Pearson)
Der Korrelationskoeffizient ρRY der Variablen R und Y ist die aus den Werten (rt, yt),
t=1,...,T, berechnete Maßzahl
ρRY = sRY
sRsY
=
� 1
T −1
� 1 T
T
t=1 (rt − ¯r) (yt − ¯y)
� T
t=1 (rt − ¯r) 2
�
1
T −1
�T t=1 (yt
,
2
− ¯y)
wobei sR und sY die empirischen Standardabweichungen aus Definition 4.5, sRY die
empirische Kovarianz aus Definition 4.18 und ¯r und ¯y die arithmetischen Mittel aus
Definition 4.3 sind.
Die Bedeutung der Korrelation wird manchmal überbewertet, denn ein niedriger Korrelationskoeffizient
bedeutet nicht, dass es keine Korrelation gibt. Das liegt daran, dass der
Pearsonsche Korrelationskoeffizient nur den Grad des linearen Zusammenhangs misst
und nicht jede Art funktionaler Zusammenhänge identifiziert, d.h. auch wenn er ungefähr
0 ist, kann es trotzdem einen funktionalen Zusammenhang zwischen X und Y
geben. Ein weiteres Problem ist, dass dieser Korrelationskoeffizient mindestens intervallskaliertes
Skalenniveau und, für die statistische Beurteilung mittels Hypothesentests,
die Normalverteilung voraussetzt. Da die Normalverteilung nicht für alle Substrategien
nachgewiesen werden konnte, wird hier auf den Nachweis statistischer Signifikanz verzichtet.
Wenn man diese Defizite der Korrelationsanalyse in die Beurteilung miteinbezieht und
den Ergebnissen nicht blind vertraut, sondern auch fachspezifische Überlegungen hinzuzieht,
ist sie trotzdem ein hilfreiches Mittel zur Erklärung des Zusammenhangs zwischen
den Substrategien. In Tabelle 4.8 sind die Korrelationskoeffizienten aufgelistet.
Strategie DT FX GM STT TF Index
Discretionary Trading 1
FX Trading 0,25 1
Global Macro 0,37 0,21 1
Short Term Trading 0,08 0,34 0,00 1
Trend Following 0,57 0,64 0,20 0,50 1
Index 0,64 0,69 0,28 0,50 0,99 1
Tabelle 4.8: Korrelationen der Substrategien

4.7. KORRELATIONSANALYSE 38
Die entstandene Korrelationsmatrix ist symmetrisch, da es keinen Unterschied macht,
ob die Korrelation zwischen FX Trading und Discretionary Trading oder Discretionary
Trading und FX Trading berechnet wird. Deswegen kann auf die Darstellung der oberen
Dreiecksmatrix verzichtet werden.
Betrachten wir zuerst die Korrelationen zwischen dem Index, der aus allen Managed Futures
besteht, und den einzelnen Substrategien. Dabei fällt auf, dass der Index mit einem
Korrelationskoeffizient von 0,99 fast exakt mit der Trend Following-Strategie korreliert.
Das kann zum Teil dadurch begründet werden, dass der Index zum Großteil aus dieser
Strategie besteht. Man kann aber nicht davon ausgehen, dass der Wert dadurch vollständig
erklärt werden kann. Wenn man nun die Tabelle 4.8 ohne den Index betrachtet,
fällt auf, dass sieben von zehn Korrelationskoeffizienten unter 0,5 liegen, d.h. die meisten
Substrategien korrelieren nicht miteinander. Somit sind sie geeignet, um mit ihnen ein
Dachfonds-Portfolio wie in Kapitel 6 beschrieben zu konstruieren.
Der höchste Korrelationskoeffizient ist mit 0,64 derjenige zwischen FX Trading und
Trend Following. Das ist durchaus schlüssig, da beide Strategien mittel- bis langfristige
Handelsstrategien verfolgen. Ausserdem nutzen beide Strategien computeroptimierte
Handelssysteme, die auf der technischen Analyse basieren 14 . FX Trading-Manager investieren
aber fast ausschließlich in Währungen, während Trend Following-Manager nur
zu 21,28% in Währungen investieren. Dagegen scheinen Global Macro und Short Term
Trading komplett unabhängig voneinander zu verlaufen. Das scheint insofern plausibel,
da Global Macro-Manager lange Investitionszeiträume bevorzugen und Short Term
Trading-Manager fast ausschließlich auf kurzzeitige Marktbewegungen spekulieren. Außerdem
verwenden Global Macro-Manager makroökonomische Analysen, die auf der
fundamentalen Analyse basieren 15 . Dagegen verwenden Short Term Trading-Manager
technische Analysemethoden. Allerdings investieren die Manager beider Substrategien
vorwiegend in die gleichen Märkte 16 , was eigentlich zu einer gewissen Korrelation führen
müsste.
14 Vgl. Kapitel 3.
15 Vgl. Kapitel 3.
16 mit unterschiedlicher Gewichtung.

Kapitel 5
Renditetreiber der Substrategien
In Kapitel 3 haben wir gesehen, dass die verwendeten Märkte und Zeithorizonte, aber
auch die verwendeten Computerprogramme, die Renditen der Substrategien beeinflussen.
Diese Ergebnisse stammen aus Analysen der deskriptiven Statistik, die zum Teil auf
Informationen, die der Datenbank entnommen wurden, basieren. Nun sollen die Renditetreiber
ausschließlich anhand der Renditezeitreihen von Managed Futures ermittelt
werden. Das sorgt weitgehend für statistisch signifikante Ergebnisse und ermöglicht eine
zuverlässigere Identifikation von Renditetreibern.
Nachfolgend werden multivariate Methoden vorgestellt, mit deren Hilfe Renditetreiber
von Managed Futures identifiziert werden können.
5.1 Faktorenanalyse
Die Faktorenanalyse bezeichnet einen Sammelbegriff für viele unterschiedliche Techniken.
Das Ziel einer Faktorenanalyse ist immer die Reduktion einer großen Menge
beobachtbarer Variablen auf wenige hypothetische Variablen, die Faktoren genannt werden.
Nachfolgend wird das allgemeine Modell einer Faktorenanalyse und die Hauptkomponentenmethode
vorgestellt. Weitere Methoden, sowie die zugehörigen Beweise können
z.B. in Fahrmeir u. a. (1996) nachgelesen werden.
5.1.1 Das faktorenanalytische Modell
Gegeben seien n beobachtbare reelle Zufallsvariablen r1, ..., rn, die hier die historischen
Renditezeitreihen der Managed Futures darstellen. Man geht davon aus, dass r1, ..., rn
linear aus
39

5.1. FAKTORENANALYSE 40
1. k < n gemeinsamen Faktoren f1, ..., fk
2. n Einzelrestfaktoren und Messfehlern e1, ..., en
bestehen. Daraus ergibt sich das k-Faktoren-Modell für die Variablen zu:
mit
ri = µi +
k�
lisfs + ei, i = 1, ..., n
s=1
⇔ �r − �µ = L � f + �e
�r = (r1, ..., rn) ′ Zufallsvektor aus n beobachteten Variablen mit
�µ = (µ1, ..., µn) ′ Erwartungswertvektor von �r,
�f = (f1, ..., fk) ′ Zufallsvektor aus k gemeinsamen Faktorenvariablen,
L = (lij) ∈ R n,k Matrix der Faktorenladungen (lij gibt den Einfluss oder die Ladung des
j-ten Faktors in der i-ten Variablen an) und
�e = (e1, ..., en) ′ Zufallsvektor der Einzelfaktoren und Messfehler.
Zur statistischen Analyse liegen mehrere Beobachtungszeitpunkte der Variablen �r vor.
Diese werden zu folgender Datenmatrix zusammengefasst:
T unabhängige Realisierungen �rt = (rt1, ..., rtn) ′ , t = 1, ..., T , von �r = (r1, ..., rn) ′ werden
beobachtet und zur Datenmatrix Y = (�r1, ..., �rT ) ′ ∈ R T,n zusammengefasst. Zur t-ten
Beobachtung �rt gehören k Faktorenwerte � ft = (ft1, ..., ftk) ′ und n Einzelrestwerte �et =
(et1, ..., etn) ′ .
Damit erhalten wir die aus den Spaltenvektoren bestehenden Matrizen:
die Datenmatrix
die Matrix der Faktorenwerte
die Matrix der Einzelrestwerte
Y = (�r1, ..., �rT ) ′ = ( � R1, ..., � Rn),
F = ( � f1, ..., � fT ) ′ = ( � F1, ..., � Fk) ∈ R T,k ,
E = (�e1, ..., �eT ) ′ = ( � E1, ..., � En) ∈ R T,n

5.1. FAKTORENANALYSE 41
und die Matrix der Erwartungswerte
Daraus folgt das k-Faktoren-Modell:
M = (�µ1, ..., �µT ) ′ = ( � M1, ..., � Mn).
5.1.2 Hauptkomponentenmethode
Y − M = FL ′ + E. (5.1)
Die Hauptkomponentenmethode ist ein Verfahren der Faktorenanalyse. Sie versucht viele
korrelierende Merkmale durch wenige, von einander unabhängige hypothetische Faktoren
möglichst genau zu erfassen. Diese Faktoren lassen sich nicht empirisch erfassen, sondern
stellen ein Resultat des faktorenanalytischen Modells dar. Die Faktoren entstehen durch
eine orthogonale Transformation der ursprünglichen Variablen auf neue unkorrelierende
Variablen. Die Hauptkomponenten sind Linearkombinationen der ursprünglichen Variablen,
wobei die erste Hauptkomponente den größten Teil der Varianz des ursprünglichen
Datensatzes erklärt. Die j-te Hauptkomponente ist dabei der Eigenvektor zum j-ten Eigenwert
der Kovarianzmatrix. Die Eigenwerte entsprechen der Varianz der jeweiligen
Hauptkomponenten.
Die Grundlage der Hauptkomponentenmethode ist die Hauptachsentransformation einer
Datenmatrix Z auf die Gestalt
Z = FL ′ , (5.2)
mit
Z ∈ R T,n , F = ( � F1, ..., � Fn) ∈ R T,n mit orthonormierten Spalten und L ∈ R n,n .
Daraus folgt
P = Z ′ Z = LL ′ .
Wenn man mit Hilfe dieser Transformation die wichtigsten k < n Faktoren ermittelt,
wählt man die ersten k normierten Hauptachsen � F1, ..., � Fk und erhält für Z eine Zerlegung
der Form
Z = F (k) L (k)′ + E,
mit
Z, E ∈ R T,n , F (k) ∈ R T,k orthonormiert und L (k) ∈ R n,k .
Die standardisierte Datenmatrix Z und ihre empirische Korrelationsmatrix
P
Sei Y ∈ R T,n die Beobachtungsmatrix von je T Beobachtungen yti, t = 1, ..., T , der
Variablen ri, i = 1, ..., n.

5.1. FAKTORENANALYSE 42
Dann ist
mit
¯ri = 1
T
T�
t=1
Z = (zti) ∈ R T,n ,
zti = rti − ¯ri
√ ,
T − 1si
rti, und s 2 i = 1
T − 1
die Matrix der standardisierten Daten und
mit
ρij =
die empirische Korrelationsmatrix.
Dabei gilt:
P = (ρij) ∈ R n,n ,
T�
(rti − ¯ri) 2 ,
t=1
� T
t=1 (rti − ¯ri)(rtj − ¯rj)
� �T
t=1 (rti − ¯ri) 2 � T
t=1 (rtj − ¯rj) 2
P = Z ′ Z.
Vor der weiteren Analyse muss geprüft werden, ob die Beobachtungsvektoren der n Variablen
linear unabhängig sind, d.h. rg(P) = n, P nichtsingulär. Falls das nicht der Fall
ist, werden die linear abhängigen Vertreter aus der Variablenmenge herausgenommen.
Nachdem nun die standardisierte Datenmatrix Z und ihre Korrelationsmatrix P ermittelt
wurden, werden mittels Hauptachsentransformation die normierten orthogonalen
Hauptkomponenten � F1, ..., � Fn extrahiert.
Hauptachsentransformation
Ziel der Hauptachsentransformation ist die lineare Transformation der Datenvektoren
�Z1, ..., � Zn ∈ R N auf orthogonale Hauptachsen
mit
�H1, ..., � Hn ∈ R T ,
�Hi = ( � Z1, ..., � Zn)�ti,
mit normierten Gewichtsvektoren �ti ∈ R n , ��ti� = 1
so, dass � H1 maximale Varianz trägt,
�H ′ 1 � H1 = max,
�H2 unter den zu � H1 orthogonalen Vektoren maximal variiert, usw.

5.1. FAKTORENANALYSE 43
D.h., � H1 trägt unter den Linearkombinationen der Datenvariablen die größte Information
und bildet den ersten Faktor.
�H2 bildet den nächstwichtigsten Faktor, usw.
Satz 5.1. Hauptkomponenten
Sei Z ∈ R T,n vom Rang n, dann lautet die Matrix H = ( � H1, ..., � Hn) der Hauptachsen
von Z:
H = ZT,
wobei T die orthogonale Matrix aus den normierten Eigenvektoren zu den geordneten
Eigenwerten λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λn > 0 von P ′ ist. Für H gilt:
H ′ ⎛
λ1
⎜ 0
H = ⎜
⎝ .
0
λ2
.
. . .
. . .
.. .
0
0
.
⎞
⎟ = D.
⎠
0 0 . . . λn
Die Hauptachsen � Hi sind zueinander orthogonal und besitzen der Reihe nach die empirischen
Varianzen λ1, ..., λn. Die Hauptachsen und die Spalten von T sind bis auf das
Vorzeichen eindeutig, wenn sich die Eigenwerte von P paarweise unterscheiden.
Für die Datenmatrix Z gilt:
Daraus ergibt sich die Darstellung
mit
Z = HT ′ .
Z = FL ′ ,
F = H √ D und L = T
√ D .
Dann heißen die normierten Hauptachsen � F1, ..., � Fn die Hauptkomponenten von Y.
Da die Hauptkomponentenmethode versucht, möglichst viel der Gesamtvarianz mit Hilfe
von möglichst wenigen Faktoren zu erklären, stellt sich nun die Frage, wie viele Hauptkomponenten
zur Erklärung der Daten gewählt werden sollen. Zur Wahl der richtigen
Anzahl an Hauptkomponenten stehen mehrere Kriterien, die je nach subjektivem Ermessen
verwendet werden können, zur Verfügung.
Kriterien zur Bestimmung der Anzahl k der Hauptkomponenten
k beschreibt die Anzahl der Hauptkomponenten � F1, ..., � Fk, die bei der Hauptkomponentenmethode
als Faktoren ins Modell aufgenommen werden sollen. Folgende Kriterien zur
Bestimmung von k sind üblich 1 :
1 Vgl. Fahrmeir u. a. (1996).

5.1. FAKTORENANALYSE 44
1. Kaiserkriterium
Berücksichtigt werden alle Hauptkomponenten � Fj mit Eigenwerten λj ≥ 1. D.h.,
man wählt diejenigen Komponenten aus, die mindestens die Varianz 1 erklären:
k = max{j | λj ≥ 1}.
Die Varianz der ursprünglichen Variablen beträgt 1, da sie aus den standardisierten
Daten hervorgeht. Die Hauptkomponenten mit einem Eigenwert > 1 erklären somit
mehr Varianz als eine einzelne Variable.
2. Man extrahiert so viele Hauptkomponenten, bis ein willkürlich festgesetzter Anteil
c% der Gesamtvarianz p durch sie erklärt ist:
k = min{r | λ1 + ... + λr ≥ c
100 p}.
3. Scree Test
Man zeichnet sich ein Diagramm der absteigend geordneten Eigenwerte λ1, ..., λp
von R. Meistens kann man einen deutlichen Knick erkennen, bis zu dem die Eigenwerte
relativ große Werte annehmen, danach aber flach abfallen. Man nimmt
an, dass Hauptkomponenten, die zu Eigenwerten nach diesem Knick gehören, nur
noch zufällig sind. Deshalb wählt man die Knickstelle k als Kriterium.
4. A priori Kriterium
Man legt zu Beginn fest, wie viele Hauptkomponenten extrahiert werden sollen.
Dieses Kriterium ist jedoch eher theoriegeleitet und entspricht im Normalfall nicht
der wahren Anzahl k.
5.1.3 Hauptkomponenten der Substrategien
Wie Kapitel 4.7 zeigt, erzeugen Manager, die gleiche Handelsstrategien in den gleichen
Märkten verfolgen, korrelierende Renditen. Um diese gemeinsamen Handelsstrategien
herauszufiltern, wurde eine Hauptkomponentenmethode angewandt. Sie wurde gewählt,
da sie aus einer großen Menge beobachtbarer Variablen 2 eine geringe Anzahl unkorrelierender
hypothetischer Variablen, die sogenannten Hauptkomponenten, extrahieren
kann. Dabei erklärt die erste Hauptkomponente den größten Anteil der Gesamtvarianz,
die zweite den größten Anteil der Restvarianz, usw. Als Kriterium für die Anzahl zu
extrahierender Hauptkomponenten wurde der Scree Plot 3 verwendet.
Mittels Scree Plot wurden die Varianzen, die von den Hauptkomponenten erklärt werden,
graphisch dargestellt.
2 Hier: Renditezeitreihen.
3 Vgl. Kapitel 5.1.2.

5.1. FAKTORENANALYSE 45
Abbildung 5.1: Scree Plots der erklärten Varianzen der Hauptkomponenten der Substrategien

5.1. FAKTORENANALYSE 46
Abbildung 5.1 zeigt die Scree Plots der einzelnen Substrategien. Dabei steht jeder Punkt
für die Handelsstrategie eines Managers. Die Abbildung zeigt deutlich die unterschiedlichen
Strukturen der Substrategien. Die Manager von FX Trading und Trend Following
verfolgen vorwiegend eine gemeinsame Strategie. Dagegen verfolgen die Manager der
Strategie Global Macro voneinander unabhängige Strategien. Im Scree Plot ist kein eindeutiger
Knick zu erkennen.
Abbildung 5.2: Scree Plot der erklärten Varianzen der Hauptkomponenten des Index.
Der Scree Plot aus Abbildung 5.2 zeigt, dass die erste Hauptkomponente des Index
mit einem absoluten Anteil 4 von 39,08 den größten Teil der Varianz erklärt. Die zweite
Hauptkomponente erklärt nur noch einen Anteil von 5,89. Das bedeutet, dass Managed
Futures nur eine wesentliche Strategie verfolgen. Die fünf Substrategien Discretionary
Trading, FX Trading, Global Macro, Short Term Trading und Trend Following
müssen also Handelsstrategien verfolgen, die in einer gröberen Klassifizierung zu einer
Hauptstrategie zusammengefasst werden können. Da der Index nur aus den einzelnen
Substrategien besteht, liegt die Vermutung nahe, dass diese Hauptstrategie in den Substrategien
zu finden sein muss. Um diese herauszufinden wurde eine Style-Analyse nach
Sharpe durchgeführt.
4 von insgesamt 116.

5.2. STYLE ANALYSE 47
5.2 Style Analyse
Style Analyse werden allgemein Methoden genannt, mit deren Hilfe die Investmentstile
von Fondsmanagern identifiziert werden können. Diese verschiedenen Investmentstile
führen letztendlich zu den spezifischen Renditecharakteristika eines Fonds. Die einfachste
Methode die Renditen zu erklären, ist mittels Peer-Group Style Faktoren 5 . So werden
die Informationen genannt, die von Datenbankanbietern zur Verfügung gestellt werden.
Die ersten Analysen aus Kapitel 3 bezüglich investierter Märkte und verwendeter Zeithorizonte
basieren auf diesen Style Faktoren.
Peer-Group Style Faktoren
Um nachvollziehen zu können, wie sich die Renditen von Managed Futures zusammensetzen,
werden sie von Datenbankanbietern in verschiedene Kategorien unterteilt. Das Ziel
dieser Peer-Group Einteilung ist es, die Performance-Charakteristika von Fonds zu erfassen,
welche die gleichen Investmentstrategien verfolgen. Um ein Grundverständnis der
verschiedenen Substrategien zu erlangen, ist diese Einteilung sicherlich nützlich. Jedoch
sollte man Investmententscheidungen nicht ausschließlich anhand qualitativer Aussagen
treffen. Die Manager sind in der Wahl ihrer Investments grundsätzlich frei und dürfen
verschiedene Strategien gleichzeitig verfolgen. Das führt zu einer großen Anzahl verschiedener
Stile, die in der Datenbank nicht alle erfasst werden können. Deswegen stellen die
Datenbanken eine Auswahl an Kriterien zur Verfügung, denen sich die Manager zuordnen
können.
Eine mathematisch fundierte Methode geht auf Sharpe (1992) zurück, der die Renditen
von Investmentfonds durch wenige Anlageklassen nachbildete. Diese Art der Regression
führt nur zu einem zufriedenstellenden Ergebnis, wenn die Renditezeitreihe des zu analysierenden
Fonds mit den Renditezeitreihen der Anlageklassen korreliert. Dieses Modell
wurde von Fung u. Hsieh (1997b) so weiterentwickelt, dass es auf Fonds anwendbar ist,
deren Renditezeitreihen unabhängig von den Zeitreihen der Anlageklassen sind. Das ist
z.B. bei Managed Futures der Fall, wie Kapitel 5.4 zeigt.
5.2.1 Analyse nach Sharpe
Die renditebasierte Style-Analyse geht auf Sharpe (1992) zurück, der mit Hilfe eines
Faktor-Modells die Renditen von Investmentfonds durch die Renditen von Anlageklassen
6 erklärte. Die daraus errechneten Faktoren liefern indirekt die Stilallokation des
Fonds. Die Idee dabei ist, die Renditen der Fonds durch Anlageklassen in einem linearen
Modell so nachzubilden, dass die Performance des dadurch entstehenden Replikations-
5 Vgl. Fung u. Hsieh (2001a), S.7.
6 Z.B. Aktien, Anleihen, Währungen.

5.2. STYLE ANALYSE 48
portfolios möglichst parallel zur Performance des zu analysierenden Fonds verläuft. Sharpe
zeigte, dass eine geringe Anzahl von Anlageklassen ausreicht, um die Renditen von
Investmentfonds zu erklären. Die einzigen Eingaben, die sein Modell braucht, sind die
Renditezeitreihe des zu erklärenden Fonds und die Zeitreihen verschiedener Vergleichsindizes
7 .
Sharpe (1992) geht bei der Style-Analyse von folgendem Anlageklassen-Faktor-Modell
aus:
n�
rt = xiati + ɛt,
i=1
wobei rt, t = 1, ..., T , die Rendite des zu analysierenden Fonds in Periode t , xi,i = 1, ..., n
das Gewicht der i − ten Anlageklasse, ati die Rendite der i − ten Anlageklasse in Periode
t und ɛt der modellspezifische Fehler in Periode t ist.
Nun wird nach derjenigen Gewichtung der Anlageklassen gesucht, welche die Varianz
des Fehlerterms
n�
ɛt = rt −
minimiert. Sharpe geht davon aus, dass die Bedingungen � n
i=1 xi = 1 und
xi ≥ 0 erfüllt sind. Das bedeutet, das Anlagevolumen des Investmentfonds ist immer voll
investiert und Leerverkäufe sind untersagt. Diese Überlegungen werden in Definition 5.1
zusammengefasst.
Definition 5.1. Sharpes Style-Analyse
unter den Nebenbedingungen
V ar(rt −
i=1
xiati
n�
xiati) → min,
i=1
n�
xi = 1,
i=1
xi ≥ 0,
wobei V ar(rt − � n
i=1 xiati) die Varianz des Fehlers ɛt, t = 1, ..., T , rt die Rendite des zu
analysierenden Fonds in Periode t und xi, i = 1, ..., n, das Gewicht der i − ten Anlageklasse
ati in Periode t ist.
Diese Optimierungsaufgabe ähnelt zwar in ihrer Gestalt der klassischen multivariaten
Regression, jedoch wird hier eine Varianz minimiert und nicht eine Quadratsumme. Da
die Funktion V ar(rt − �n i=1 xiati) quadratisch in den Unbekannten xi ist, führt eine
Minimierung der Varianz auf ein quadratisches Optimierungsproblem.
7 Die Vergleichsindizes stehen jeweils für eine Anlageklasse.

5.2. STYLE ANALYSE 49
Die Style-Analyse wurde mit Matlab realisiert. Die Vorgehensweise wird im nachfolgenden
Abschnitt erklärt.
5.2.2 Anwendung in Matlab
Die Style-Analyse wurde in Matlab mit der Funktion quadprog gelöst, in der das Problem
folgendermaßen darzustellen ist:
�
1
min
�x 2 �x ′ H�x + � f ′ �
�x ,
unter den Nebenbedingungen
A�x ≤ �b, Aeq�x = −→
beq,
−→ −→
lb ≤ �x ≤ ub,
wobei H eine symmetrische n × n-Matrix, � f ∈ Rn , A eine m × n-Matrix, �b ∈ Rm , Aeq
eine l × n-Matrix und −→
beq ∈ Rl ist.
Wir beginnen nun, das Problem
auf die Gestalt
umzuformen:
V ar
�
rt −
n�
i=1
xiati
�
min
�x
�
V ar
�
rt −
n�
i=1
xiati
�
1
min
�x 2 �x′ H�x + � f ′ �
�x
= V ar (rt) +V ar
� �� �
=0
�
= �x ′ H�x − 2Cov
� n�
rt,
i=1
��
xiati
n�
i=1
�
xiati
− 2Cov
�
,
�
rt,
n�
i=1
xiati
wobei H die Kovarianzmatrix der Anlageklassen ati, i = 1, ..., n ist.
Es gilt nun weiter:
�
n�
�
Cov rt,
= Cov (rt, x1at1) + Cov (rt, x2at2) + ... + Cov (rt, xnatn)
i=1
xiati
= x1Cov(rt, at1) + x2Cov(rt, at2) + ... + xnCov(rt, atn).
�

5.3. ANALYSE DER SUBSTRATEGIEN 50
Mit
und
folgt:
min
�x
�
V ar
�
rt −
n�
i=1
fi := Cov(rt, ati), i = 1, ..., n
xiati
��
�f :=
⎛
⎜
⎝
= min
�x
= min
�x
f1
.
fn
�
⎞
⎟
⎠
�x ′ H�x − 2Cov
�
�
�x ′ H�x − 2 � f ′ �
�x .
Die Lösung des obigen Problems führt auf die gleiche Gewichtung xi wie nachfolgendes
Problem:
�
1
min
�x 2 �x ′ H�x − � f ′ �
�x .
Sharpe entwickelte die renditebasierte Style Analyse, um die Investmentstile von Investmentfonds
zu erklären. Da die Renditen von Investmentfonds stark mit denen der
investierten Anlageklassen korrelieren 8 , führt diese Methode auf ein zufriedenstellendes
Ergebnis. Managed Futures-Manager hingegen verwenden Strategien, die viel komplexer
sind, als diejenigen von Investmentfonds 9 . Sie investieren nicht direkt in Anlageklassen,
sondern in Derivate, deren Basiswerte 10 Anlageklassen sind. Sie können dabei verschiedene
Hebelwirkungen einsetzen. Das führt dazu, dass die Renditen von Managed Futures
nicht mit den Renditen von traditionellen Anlageklassen korrelieren 11 . Somit sollte
Sharpes-Style Analyse in der ursprünglichen Form nicht geeignet sein, um die Renditen
von Managed Futures zu erklären. Verwendet man dagegen bei der Style-Analyse anstatt
der Renditezeitreihen die Zeitreihen der Hauptkomponenten, so sollten zufriedenstellende
Ergebnisse erzielt werden.
5.3 Analyse der Substrategien
Um die Renditetreiber der Substrategien zu ermitteln, wurde eine Style-Analyse nach
Sharpe (1992) durchgeführt. Als Vergleichsindizes, welche die wichtigsten Anlageklassen
8 Vgl. Fung u. Hsieh (1997a), S.3.
9 Vgl. Fung u. Hsieh (1997a), S.5.
10 Der Wert, auf den sich eine Option oder ein Future bezieht. Für gewöhnlich dienen Wertpapiere,
Indizes, Währungen, Zinsinstrumente und Rohstoffe als Basiswert. An sich können jedoch alle Werte,
die einer Veränderung unterliegen, als Basiswert dienen. Vgl. o.V. Börse Online.
11 Vgl. Kapitel 5.4.
rt,
n�
i=1
xiati
��

5.3. ANALYSE DER SUBSTRATEGIEN 51
repräsentieren, wurden die One-Month-Libor-Rate für den Zinsmarkt, der Dollar Index
für Währungen, der Barclay Emerging Markets Index, der MSCI USA Index und der
MSCI World Ex USA Index für Aktien, der Lehman Long Term Treasury Index 12 und der
ML High Yield Master II Index für Anleihen und der Goldpreis für Rohstoffe gewählt.
Ein Maß für die Zuverlässigkeit der Style-Analyse ist das Bestimmtheitsmaß R 2 , das
immer zwischen 0 und 1 liegt. Je näher R 2 bei 1 liegt, desto besser lassen sich die Renditen
rt, t = 1, ..., T , durch die Renditen der Anlageklassen ati, i = 1, ..., n, erklären.
Definition 5.2. Bestimmtheitsmaß R 2
Das Bestimmtheitsmaß R 2 ist folgendermaßen definiert:
R 2 = ρ 2 RY ,
wobei ρRY der Korrelationskoeffizient aus Definition 4.19, R die Renditezeitreihe des zu
analysierenden Fonds und Y die Renditezeitreihe des Replikationsportfolios, das bei der
Style-Analyse nach Definition 5.1 entsteht, ist. Das Replikationsportfolio berechnet sich
nach xiati, i = 1, ..., n, t = 1, ..., T , wobei xi das Gewicht der i − ten Anlageklasse ati
zum Zeitpunkt t ist.
Die Gütemaße R 2 der Regression liegen zwischen 0,02 im FX Trading und 0,25 im
Global Macro 13 . Für FX Trading ist das Ergebnis nicht einmal statistisch signifikant 14 .
D.h. Managed Futures-Renditen können nicht direkt durch Renditen von Anlageklassen
repliziert werden.
Der Grund, warum Sharpes Styleregression bei der Anwendung auf die Renditen zu
keinem zufriedenstellenden Ergebnis geführt hat, liegt darin, dass die Renditen der Substrategien
nicht mit denen der Anlageklassen korrelieren. Wie Tabelle 5.2 zeigt, liegen
die Korrelationen des Index mit den Anlageklassen zwischen -0,31 und 0,30. Tabelle
5.3 zeigt, dass die jeweils ersten Hauptkomponenten jeder Substrategie zum Teil sehr
stark mit der Hauptkomponente des Index korrelieren. Daher sollte eine Styleregression
der Hauptkomponenten ein statistisch signifikantes Ergebnis liefern. Die Signifikanz der
Style-Analyse wurde mit dem sogenannten F-Test geprüft. Er prüft, ob die gewählten
Vergleichsindizes zur Erklärung des Fonds geeignet sind.
Definition 5.3. F-Test
Die F-Statistik ist wie folgt definiert:
F = R2 (T − n − 1)
(1 − R 2 )n ,
wobei R 2 das Bestimmtheitsmaß aus Definition 5.2, T die Anzahl der Beobachtungen
der Renditezeitreihen und n die Anzahl der Vergleichsindizes ai, i=1,...,n, ist.
12 Lehman Brothers stellte am 15.09.2008 einen Insolvenzantrag, nachdem die US-Regierung eine Ret-
tungsaktion abgelehnt hatte.
13 Alle R 2 und die Gewichte des Replikationsportfolios sind im Anhang in Tabelle .1 und .2 aufgelistet.
14 Vgl. Anhang, Tabelle .3.

5.3. ANALYSE DER SUBSTRATEGIEN 52
Falls F den kritischen Wert Fn;T −n−1;α überschreitet, wird die Nullhypothese H0: a1 =
a2 = ... = an = 0 verworfen und die Alternativhypothese H1: ai �= 0 für mindestens ein
i, i = 1, ..., n, angenommen. Die kritischen Werte der F-Verteilung für den Fall n = 5 15 ,
bzw. n = 8 16 und T = 127 17 sind in nachfolgender Tabelle für die gebräuchlichsten Werte
von α angegeben:
α 0,1 0,05 0,01
F5;118;0,05 1,89 2,29 3,17
F8;118;0,05 1,72 2,02 2,66
Tabelle 5.1: Kritische Werte Fn;T −n−1;α
Im Folgenden wird immer ein Signifikanzniveau von α = 0, 05 verwendet.
Index DT FX GM STT TF
1 Month Libor Rate 0,02 -0,11 0,04 -0,06 0,20 0,03
Dollar Index -0,31 -0,26 -0,13 -0,40 -0,19 -0,28
Barclay Emerging Markets Index -0,10 0,16 -0,11 0,46 -0,28 -0,14
Gold Price Index 0,30 0,40 0,15 0,31 0,12 0,26
Lehman Long Term Treasury Index 0,29 0,10 0,14 -0,04 0,32 0,30
ML High Yield Master II -0,15 0,03 -0,06 0,19 -0,21 -0,19
MSCI USA - Price -0,24 -0,12 -0,09 0,36 -0,17 -0,28
MSCI World Ex USA Price -0,09 0,08 -0,02 0,50 -0,15 -0,14
Tabelle 5.2: Korrelationen des Index mit den Anlageklassen
Index DT FX GM STT TF
Index 1,00
DT 0,71 1,00
FX 0,64 0,25 1,00
GM -0,38 0,37 0,21 1,00
STT -0,78 0,08 0,34 -0,00 1,00
TF 1,00 0,57 0,64 0,20 0,50 1,00
Tabelle 5.3: Korrelationen der Hauptkomponenten
In Abbildung 5.3 sind das, durch die Style-Analyse entstandene, Replikationsportfolio
und die Performance der extrahierten ersten Hauptkomponente des Index dargestellt.
Die Abbildung zeigt, dass der Index sehr gut durch die fünf Substrategien nachgebildet
15Bei Regression der ersten Hauptkomponente des Index durch die jeweils ersten Hauptkomponenten
der fünf Substrategien.
16Bei Regression des Index durch die acht Anlageklassen.
17Da hier 127 Zeitperioden verwendet wurden.

5.4. INTERAKTION ZU ANDEREN ANLAGEKLASSEN 53
Abbildung 5.3: Performance des Replikationsportfolios und der ersten Hauptkomponente
des Index
DT FX GM STT TF
Stylegewichte 1,72% 4,73% 0,00% 0,00% 93,55%
Tabelle 5.4: Gewichte der Substrategien am Index
werden kann. Mit einem R 2 von 0,998 wird der Index nahezu perfekt repliziert. Mit einem
F-Wert von 13.982,30 bei einem kritischen Wert von 2,29 ist das Ergebnis deutlich
statistisch signifikant. Die Gewichtung der Substrategien ist in Tabelle 5.4 dargestellt.
Die Tabelle zeigt, dass der Index mit einem Anteil von 93,55% im Replikationsportfolio
fast ausschließlich auf die Trend Following-Strategie zurückzuführen ist. Das stimmt
auch mit der Korrelationsanalyse aus Tabelle 5.3 überein. Die Tabelle zeigt, dass die
Trend Following Strategie mit einem Korrelationskoeffizienten von 1,00 komplett mit
dem Index korreliert. Beide Ergebnisse führen zusammen zu dem Schluss, dass Trend
Following die Hauptstrategie von Managed Futures sein muss. Das ist naheliegend, da die
Substrategien aus der Trendfolge-Strategie entstanden sind. Die Manager aller Substrategien
versuchen, Trends zu identifizieren und ihnen zu folgen. Zudem besteht der Index
zu 53% aus der Substrategie Trend Following, was diese Vermutung unterstreicht.
5.4 Interaktion zu anderen Anlageklassen
Um die Wettbewerbsfähigkeit unseres Index mit anderen Anlageklassen zu betrachten,
zeigt Tabelle 5.5 Kennzahlen von verschiedenen Anlageklassen. Es wurden die One-
Month-Libor-Rate für den Zinsmarkt, der Barclay CTA Index für Managed Futures, der
Barclay Fund of Funds Index für Hedgefonds, der Lehman Long Term Treasury Index
für Anleihen und der MSCI World Index für Aktien im Vergleich zu unserem Index

5.4. INTERAKTION ZU ANDEREN ANLAGEKLASSEN 54
untersucht.
1 Month Barclay Barclay Lehman MSCI Index
Libor CTA Fund of Long Term World
Rate Index Funds Treasury Index
Index Index
Arithm. Mittel 0,31% 0,47% 0,63% 0,58% 0,38% 0,93%
Geom. Mittel 0,31% 0,45% 0,62% 0,56% 0,30% 0,89%
Volatilität 0,15% 2,18% 1,51% 2,34% 4,12% 2,85%
Min. Rendite 0,09% -4,62% -5,10% -8,94% -13,45% -5,58%
Max. Rendite 0,55% 6,45% 6,05% 5,62% 8,91% 10,00%
Kurtosis -1,45 0,19 2,65 1,36 0,51 0,28
Schiefe -0,20 0,24 0,00 -0,65 -0,58 0,37
VaR(5%) 0,09% -3,22% -1,86% -2,87% -7,42% -3,48%
CVaR (5%) 0,09% -3,92% -2,85% -4,68% -9,48% -4,46%
Tabelle 5.5: Kennzahlen verschiedener Indizes
Es zeigt sich, dass unser Index die höchste durchschnittliche Rendite von 0,93% pro Monat
erwirtschaftet. Aktien haben in der gleichen Zeitperiode nur eine durchschnittliche
Rendite von 0,38% erreicht. Sogar Anleihen erreichten eine höhere Rendite. Die Volatilität
des MSCI World ist mit 4,12% zudem die höchste. Managed Futures-Renditen
erreichten eine Rendite von 0,47% bei einer relativ geringen Volatilität. Hedgefonds erscheinen
auf den ersten Blick mit einer durchschnittlichen Rendite von 0,63% als eine
attraktive Anlage. Einen tieferen Einblick in die verschiedenen Anlageklassen bieten die
empirischen Verteilungen jedes Vergleichsindex aus Abbildung 5.4.
1 Month Barclay Barclay Lehman MSCI Index
Libor CTA Fund of Long World
Rate Index Funds Term Index
Index Treasury
Index
1 Month Libor Rate 1
Barclay CTA -0,02 1
Barclay Fund of Funds 0,15 0,09 1
Lehman Long Term Treasury 0,03 0,29 -0,15 1
MSCI World 0,02 -0,18 0,60 -0,31 1
Index 0,02 0,98 0,10 0,29 -0,18 1
Tabelle 5.6: Korrelationen verschiedener Indizes
Die Korrelationskoeffizienten aus Tabelle 5.6 zeigen, dass die meisten der Anlageklassen
eine sehr geringe, oder sogar negative Korrelation untereinander haben. Unser Index hat
mit dem Barclay CTA Index eine sehr hohe Korrelation von 0,98. Das ist naheliegend, da
beide Indizes aus Managed Futures bestehen. Der nächst höchste Korrelationskoeffizient

5.4. INTERAKTION ZU ANDEREN ANLAGEKLASSEN 55
Abbildung 5.4: Vergleich der Verteilungen verschiedener Indizes

5.4. INTERAKTION ZU ANDEREN ANLAGEKLASSEN 56
von 0,60 ist derjenige, zwischen Aktien und Hedgefonds. Wie Fung u. Hsieh (1997a)
feststellten, gibt es unter den Hedgefonds einige Strategien, die eine Buy and Hold-
Strategie in Aktien verfolgen, was diese Korrelation erklärt.

Kapitel 6
Aufbau eines Dachfonds-Portfolios
Ein Dachfonds, oder auch Fund of Funds genannt, ist ein Fonds, der Anteile an anderen
Fonds hält. Durch die Streuung über mehrere Fonds wird ein besseres Rendite-Risiko-
Verhältnis erreicht.
Einen ersten Einblick in den Nutzen eines Dachfonds zeigt der nachfolgende naive Ansatz
zur Erklärung von Diversifikation.
6.1 Diversifikation
Nach Campbell (2000) betonen mehrere Ökonomen immer wieder, dass es am Finanzmarkt
nichts geschenkt gibt. Jedoch sagt uns die Portfoliotheorie etwas anderes. Durch
eine Streuung über mehrere Investments kann man eine gleichbleibende Rendite bei reduziertem
Risiko erwirtschaften. Dieses Phänomen entsteht dann, wenn die verschiedenen
Anlagen nicht, oder nur wenig miteinander korrelieren.
Abbildung 6.1 zeigt, dass bei zunehmender Anzahl der Manager in einem Portfolio das
Risiko sinkt. Als Risikomaße wurden die Volatilität und der CVaR gewählt. Beide Risikomaße
kommen ungefähr zu dem selben Ergebnis. Bei einem Portfolio aus nur einem
Manager kann ein Risiko von bis zu 23,55% beim CVaR oder 16,11% bei der Volatilität
auftreten. Nimmt man zu diesem Porfolio weitere Manager hinzu, so sinkt das Risiko
rasch. Werden alle 116 Manager des Index in einem Portfolio verwendet, so sinkt das
Risiko beim CVaR auf 4,46% und bei der Volatilität auf 2,85%. Ab einer Manageranzahl
von 10 bis 20 lässt die Risikoreduktion allerdings stark nach. Bei 20 Managern im
Portfolio beträgt das Risiko 9,75% beim CVaR und 5,81% bei der Volatilität. Das bedeutet,
bei 20 Managern im Portfolio hat sich das Risiko bereits halbiert. Wenn man nun
die restlichen 96 Manager hinzunimmt, wird das Risiko wieder halbiert, d.h. ab einer
Anzahl von 20 Managern reduziert sich das Risiko bei Hinzunahme weiterer Manager
nur noch unwesentlich. Der Verwaltungsaufwand, der pro Manager entsteht, der in die
57

6.1. DIVERSIFIKATION 58
Abbildung 6.1: Risiko eines Portfolios bei zunehmender Anzahl von Managern
Portfoliooptimierung aufgenommen wird, steht nicht mehr im Verhältnis zum Nutzen
einer weiteren Diversifikation. Für eine Porfolio-Optimierung auf Managerbasis sollten
also 10 bis 20 Manager gewählt werden. Diese naive Betrachtung einer Diversifikation
ermöglicht eine erste Einschätzung der Anzahl zu verwendender Manager.
Die einzelnen Substrategien von Managed Futures-Managern korrelieren kaum miteinander
1 , d.h. durch Investitionen in mehrere Managed Futures-Manager kann das Rendite-
Risiko-Verhältnis eines Portfolios optimiert werden. In diesem Kapitel wird ein Ansatz
gezeigt, mit dem man ein optimales Portfolio aus Managed Futures konstruieren kann.
Der klassische Ansatz der Portfoliotheorie geht auf Markowitz (1952) zurück. Er strebt
eine Minimierung des Portfoliorisikos bei vorgegebener Rendite an. Als Risikomaß betrachtete
Markowitz die Volatilität der Portfoliorenditen. Das Ergebnis dieses Optimierungsprozesses
ist eine hyperbelähnliche Effizienzlinie im Rendite-Risiko-Raum 2 . Diese
Linie zeigt diejenigen Portfolios, welche die geringste Volatiliät bei vorgegebener Rendite
haben. Das bedeutet, es gibt kein anderes Portfolio, das bei gleicher Rendite eine
geringere Volatilität aufweist.
Allerdings ist dieser Ansatz nur anwendbar, wenn die verwendeten Renditen normalverteilt
sind. Da die Renditen von Managed Futures ein gewisses Fat Tail-Risiko aufweisen 3 ,
muss hier auf einen anderen Ansatz zurückgegriffen werden. Im Folgenden wird somit
der CVaR als Risikomaß für die Portfolio-Optimierung verwendet.
1 Vgl. Kapitel 4.7.
2 Vgl. Markowitz (1959), S.289.
3 Vgl. Kapitel 4.2.

6.2. PORTFOLIO-OPTIMIERUNG MIT DEM CONDITIONAL VALUE AT RISK59
6.2 Portfolio-Optimierung mit dem Conditional Value
at Risk
In diesem Abschnitt wird eine Methode vorgestellt, die in der Portfolio-Optimierung als
Risikomaß den CVaR verwendet. Rockafellar u. Uryasev (2000) stellten als Erste eine
Minimierungsmethode für den CVaR vor, die sich auf ein Lineares Optimierungsproblem
reduzieren läßt. Die Methode maximiert die erwartete Rendite eines Portfolios bei vorgegebenem
Risiko. Durch die Darstellung des VaRs und des CVaRs in einer gemeinsamen
Funktion, werden nicht nur die optimalen Portfoliogewichte, sondern zusätzlich der VaR
des Portfolios berechnet.
Das Optimierungsproblem4 Man geht davon aus, dass historische Renditen von n Finanzinstrumenten, in diesem
Fall Managed Futures-Renditen, zur Verfügung stehen. Dann kann mit folgendem Optimierungsproblem
die erwartete Rendite eines Portfolios bei gleichzeitiger Begrenzung
des CVaRs berechnet werden:
� �
n�
��
unter den Nebenbedingungen:
wobei
max
�x
E
i=1
�Rixi
0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, ..., n,
n�
xi ≤ 1,
i=1
φβ(�x) ≤ ω,
xi das Portfoliogewicht des i − ten Managed Futures Fonds,
�Ri die zufällige Renditezeitreihe des i − ten Managed Futures Fonds und
φβ(�x) der CVaR aus Formel (6.2) zum Konfidenzniveau α ist.
ω ist der Anteil des Portfoliowertes, der riskiert wird.
Wenn zum Beispiel ω = 0, 10 und β = (1 − α) = 0, 95 gewählt wurden, bedeutet
dies, dass der durchschnittliche Verlust in den schlechtesten 5% der Fälle 10% des
anfänglichen Portfoliowertes nicht überschreiten darf.
4 Vgl. Krokhmal, Uryasev, u. Zrazhevsky (2001), S.10.

6.2. PORTFOLIO-OPTIMIERUNG MIT DEM CONDITIONAL VALUE AT RISK60
Nachfolgend wird die Bedingung φβ(�x) ≤ ω näher erläutert. Dabei wird von der Definition
des VaR und des CVaR im stetigen Fall ausgegangen:
Sei f(�x, � R) der Verlust eines Portfolios mit Gewichtsvektor �x, �x ∈ X ⊂ R n und zufälligen
Renditen � R ∈ R m . Dabei stellt �x die Gewichtung der einzelnen Managed Futures-
Manager und � R die zukünftigen Werte der Managed Futures-Renditen dar. Für jedes
�x ist der Verlust f(�x, � R) eine Zufallsvariable mit einer Verteilung in R, die durch die
Verteilung von � R beeinflusst wird. Zur Vereinfachung wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung
von � R ∈ R m die Dichte p( � R) besitzt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Verlust f(�x, � R) einen Wert ζ nicht überschreitet, ist
dann gegeben durch
�
Ψ(�x, ζ) = p( � R)d � R.
f(�x, � R)≤ζ
Für festes �x ist Ψ(�x, ζ) als Funktion von ζ die Verteilungsfunktion des Verlustes. Die
Funktion Ψ(�x, ζ) ist monoton wachsend bezüglich ζ und es wird der Einfachheit halber
angenommen, dass sie überall stetig bezüglich ζ ist.
Der β-VaR und β-CVaR zu einem Wahrscheinlichkeitsniveau β ∈ (0, 1) sind gegeben
durch
ζβ(�x) = min {ζ ∈ R : Ψ(�x, ζ) ≥ β} (6.1)
und
φβ(�x) = 1
�
1 − β f(�x, � f(�x,
R)≥ζβ(�x)
� R)p( � R) d � R. (6.2)
Übliche Werte für β sind 0, 90, 0, 95, oder 0, 99.
Da Ψ(�x, ζ) stetig und monoton wachsend ist, stellt ζβ(�x) den linken Endpunkt des nichtleeren
Intervalls dar, welches aus den Werten von ζ besteht, so dass Ψ(�x, ζ) = β ist. In
(6.2) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass f(�x, � R) ≥ ζβ = 1 − β.
Nun kann φβ(�x) und ζβ(�x) in einer gemeinsamen Funktion Fβ(�x, ζ) dargestellt werden,
die wie folgt definiert wird 5 :
Fβ(�x, ζ) = ζ + 1
�
1 − β �R∈R T
�
max 0, f(�x, � �
R) − ζ p( � R) d � R.
Für eine diskrete Verteilung, in der der Zufallsvektor � R nur die Werte �r1,�r2,...,�rt jeweils
5 Vgl. Krokhmal u. a. (1999), S.5.

6.2. PORTFOLIO-OPTIMIERUNG MIT DEM CONDITIONAL VALUE AT RISK61
mit Wahrscheinlichkeit θt, t = 1, ..., T , annehmen kann, kann die Funktion Fβ(�x, ζ) durch
folgende Funktion approximiert werden 6 :
˜Fβ(�x, ζ) = ζ + 1
1 − β
T�
θt max{0, f(�x, �rT ) − ζ},
t=1
wobei θt, t = 1, ..., T , die Wahrscheinlichkeit für Szenario rt darstellt. Wenn die Verlustfunktion
f(�x, �r) linear bezüglich �x ist, dann ist die Funktion ˜ Fβ(�x, ζ) konvex und
stückweise linear 7 .
Durch die Verwendung von Hilfsvariablen wt, t = 1, ..., T , kann die Funktion ˜ Fβ(�x, ζ)
durch die lineare Funktion
ζ + 1
T�
θtwt
1 − β
und die linearen Bedingungen
t=1
wt ≥ f(�x, �rt) − ζ,
wt ≥ 0, t = 1, ..., T,
ζ ∈ R
ersetzt werden 8 . Damit erhält man ein Lineares Optimierungsproblem.
In dieser Portfoliooptimierung stellt die Verlustfunktion die negative Portfoliorendite
n�
f(�x, �r) = − �rixi,
mit dem Vektor �r = (r1, ..., rT ) ′ der historischen Renditen und den Gewichten xi dar.
Die Restriktion des Risikos φβ(�x) ≤ ω kann folgendermaßen dargestellt werden 9 :
ζ +
1
(1 − β)T
i=1
T�
�
max 0, −
t=1
n�
�
rtixi − ζ ≤ ω, (6.3)
wobei rti die Rendite des i − ten Managed Futures Fonds in Periode t, t = 1, ..., T , ist.
Wenn die Verlustfunktion f(�x, �r) linear ist, kann (6.3) durch folgende lineare Ungleichungen
ersetzt werden:
T� 1
ζ +
wt ≤ ω,
(1 − β)T
6 Vgl. Rockafellar u. Uryasev (2000), S.6.
7 Vgl. Rockafellar u. Uryasev (2000), S.6.
8 Vgl. Krokhmal u. a. (2001), S.32.
9 Vgl. Krokhmal u. a. (2001), S.31.
t=1
i=1

6.2. PORTFOLIO-OPTIMIERUNG MIT DEM CONDITIONAL VALUE AT RISK62
−
n�
rtixi − ζ ≤ wt, t = 1, ..., T,
i=1
6.2.1 Lineare Programmierung
ζ ∈ R, wt ≥ 0, t = 1, ..., T.
Die Problemstellung der Linearen Programmierung (LP) ist die Optimierung einer linearen
Zielfunktion
g(�x) = � f ′ �x,
wobei der Bereich der zulässigen Argumente �x (der sogenannte zulässige Bereich) durch
ein System von linearen Gleichungen oder Ungleichungen bestimmt ist, denen �x genügen
muss. Sowohl die Form dieser linearen (Un-) Gleichungen (die sogenannten Nebenbedingungen)
als auch der Zielfunktionsvektor � f ∈ R n sind durch das jeweilige Problem
vorgegeben 10 .
Definition 6.1. LP in kanonischer Form
Unter einem LP in kanonischer Form versteht man die Aufgabe
g(�x) = � f ′ �x → min
A�x ≥ � b
�x ≥ �0
• Ein Maximierungsproblem g(�x) = � f ′ �x → max wird durch den Übergang von g(�x)
zu ¯g(�x) = −g(�x) = (− � f) ′ �x zu einem Minimierungsproblem ¯g(�x) → min.
• Eine Ungleichung der Form A�x ≤ � b wird durch Multiplikation mit (−1) zu einer
Ungleichung der Gestalt A�x ≥ � b.
• Eventuell vorhandene Negativitätsbedingungen �x ≤ �0 werden durch die Variablentransformation
�x → � �x = −�x zu Positivitätsbedingungen � �x ≥ �0.
Multidivisionale Probleme
Bei Multidivisionalen Problemen wird die Matrix A in mehrere Bereiche aufgeteilt,
⎛
⎞
Bereich1 Bereich2 Bereich3
���� � �� � � �� �
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜
⎟
⎜
⎟ ,
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
10 Vgl. Bomze u. Grossmann (1993), S.73.

6.2. PORTFOLIO-OPTIMIERUNG MIT DEM CONDITIONAL VALUE AT RISK63
wobei die schwarzen Koeffizienten-Blöcke die Bereiche der Matrix sind, die von Null
verschiedene Koeffizienten aufweisen. So stellt jeder Bereich eine andere Menge von Variablen
dar.
6.2.2 Anwendung in Matlab
Die Portfoliooptimierung wurde in Matlab mit der Funktion linprog gelöst, in der das
Problem folgendermaßen darzustellen ist:
Dann lautet die Zielfunktion
� �
n�
��
max
�x
E
i=1
�Rixi
= max
�x
i=1
g(�x) = � f ′ �x → min
A�x ≤ �b Aeq�x = −→
beq
−→ −→
lb ≤ �x ≤ ub.
�
n�
E
i=1
� �
� �
n� �
�Ri xi = min E −
�x
i=1
� �
�
Ri xi .
Mit historischen Renditen lautet die Zielfunktion folgendermaßen:
�
n�
� �
n�
�
min mean(�ri)xi := min mixi ,
�x
�x
wobei mean die Funktion in Matlab darstellt, die das arithmetische Mittel aus Definition
4.3 berechnet.
Die Nebenbedingungen werden gemeinsam in der Matrix A dargestellt:
⎛
⎞
i=1
-1 −r11 . . . −r1n -1 . . . 0
⎜
.
⎜ . . ..
.
. . .. .
⎜
A = ⎜ -1 −rT 1 . . . −rT n 0 . . . -1
⎜
⎝
⎛
⎜
= ⎜
⎝
1 0 . . . 0 1
T (1−β) . . . 1
T (1−β)
0 1 . . . 1 0 . . . 0
− � n
i=1 rtixi − ζ ≤ wt, t = 1, ..., T
ζ + 1 �T (1−β)T t=1 wt ≤ ω
�n i=1 xi ≤ 1
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠ ,

6.3. DACHFONDS-PORTFOLIO AUS MANAGED FUTURES 64
wobei der Bereich der ersten Spalte die Variable ζ, der zweite Spaltenbereich die Gewichte
xi und der dritte Spaltenbereich die Einzelrisiken wt enthält. Der erste Zeilenbereich
stellt die Bedingung − �n i=1 rtixi − ζ ≤ wt, t = 1, ..., T , der zweite Zeilenbereich
ζ + 1 �T (1−β)T t=1 wt ≤ ω, und der dritte Zeilenbereich �n i=1 xi ≤ 1, dar. Somit hat A die
Größe (T + 2) × (T + n + 1).
Nun müssen � f, � b, −→ lb und −→ ub der Größe von A angepasst werden. Die Matrizen Aeq
und beq entfallen, da keine Gleichungen in den Nebenbedingungen vorhanden sind. Das
führt auf folgende Eingaben:
⎛ ⎞
0
⎜ −m1 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ . ⎟
�f
⎜ ⎟
= ⎜ −mn ⎟ ,
⎜ ⎟
⎜ 01 ⎟
⎜ ⎟
⎝ . ⎠
� ⎛
⎜
b = ⎜
⎝
0T
⎞
01
⎟
. ⎟
0T ⎟ ,
⎟
ω ⎠
1
� ⎛ ⎞
−∞
⎜ 01 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ . ⎟
⎜ ⎟
lb = ⎜ 0n ⎟ ,
⎜ ⎟
⎜ 01 ⎟
⎜ ⎟
⎝ . ⎠
� ⎛
+∞
⎜ 11 ⎜ .
⎜
ub = ⎜ 1n
⎜ +∞.
⎜
⎝
+∞
0T
wobei mi die Funktion in Matlab darstellt, die das arithmetische Mittel aus Definition
4.3 berechnet.
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
6.3 Dachfonds-Portfolio aus Managed Futures
Es wurden Portfolio-Optimierungen der Renditezeitreihen aller Manager mit verschiedenen
Risikowerten ω zum Konfidenzniveau α = 0, 05 durchgeführt, um eine Effizienzlinie
darzustellen. Dabei wurden Risikowerte im Bereich ω = 0, 005i, i = 1, ..., 50 verwendet.
Der Bereich wurde so gewählt, da die CVaRs jedes Managers abgedeckt werden.
Bei dem kleinsten Risikolevel ω = 0, 005 ist die Diversifikation am größten. Bei steigendem
Risikolevel werden immer weniger Managed Futures-Manager gewählt, bis schließlich
nur noch ein Manager für die Optimierung verwendet wird. Das ist dann der Fall,
wenn ω so groß wird, dass er den höchsten CVaR aller Manager überschreitet. Es fällt
auf, dass auch bei dem kleinsten Risikolevel von ω = 0, 005 nur wenige Manager verwendet
werden. Insgesamt decken 13 Manager 99,29% aller Portfoliogewichte ab.
Es werden fast immer die selben Manager gewählt. Ordnet man sie nach der Höhe ihrer
Gewichtung im Portfolio pro Risikolevel und wählt dann diejenigen Manager aus, die
mindestens einmal zu den 13 meistverwendeten Managern gehörten, so erhält man insgesamt
19 Manager. Man wird also nicht alle 116 Manager in eine Portfolio-Optimierung

6.3. DACHFONDS-PORTFOLIO AUS MANAGED FUTURES 65
aufnehmen müssen, sondern es reichen diese 19 Manager aus. Dieses Ergebnis deckt sich
mit der naiven Diversifikation aus Kapitel 6.1.
Als nächstes wurde eine Optimierung mit diesen 19 Managern, wieder für die Risikolevel
ω = 0, 005i, i = 1, ..., 50, durchgeführt. Abbildung 6.2 zeigt die beiden Effizienzlinien. Sie
sind nahezu identisch mit einer maximalen Abweichung von 0,01%. Das bedeutet, dass
es wirklich ausreicht, diese 19 Manager in die Optimierung aufzunehmen. Die Manager
stammen aus verschiedenen Substrategien, wobei vier Manager der Strategie Discretionary
Trading gewählt wurden, jeweils zwei aus der Substrategie FX Trading und Global
Macro, drei Manager aus dem Short Term Trading und sieben Manager, die die Substrategie
Trend Following verwenden. An dieser Auswahl sieht man, dass alle Substrategien
zur Diversifikation beitragen.
Abbildung 6.2: Effizienzlinie der Portfolio-Optimierung zu verschiedenen Risikolevel.
In Kaptitel 4.7 haben wir gesehen, dass die einzelnen Strategien nur wenig miteinander
korrelieren. Nach Markowitz (1952) ist das die Grundlage, um durch Diversifikation ein
Portfolio zu konstruieren, welches bei gleich bleibender Rendite ein geringeres Risiko
besitzt. Unter den verwendeten Daten erreichte ein einzelner Manager höchstens eine
durchschnittliche Rendite von 2,24% pro Monat. Jedoch unter dem Preis des höchsten
CVaRs von -23,55%. Abbildung 6.2 zeigt, dass diese Rendite bei einem gut diversifizierten
Portfolio schon bei einem Risiko, gemessen am CVaR von -16,50% zu erreichen ist.
Eine Rendite von 2,23% wird schon bei einem Risikolevel von 12,50% erreicht. Dieses
Portfolio sollte man maximal wählen, da ab diesem Risikolevel der Renditegewinn pro
Risikoeinheit zu klein wird. Die besten Portfolios sind diejenigen, bei denen die Rendite
größer als das Risiko ist. Das ist bis zu einem Risikolevel von 1,50% der Fall. Hier beträgt
die Rendite 1,75%. Abbildung 6.3 zeigt die Anteile der einzelnen Manager am Gesamtportfolio
bei einer Optimierung mit den 19 meist verwendeten Managern. Man erkennt,
dass die Anzahl der verschiedenen Anteile bei zunehmendem ω abnimmt. Die Anteile
der Substrategien verlagern sich. Ab einem Risiko ω von 24% wird nur noch ein Manager
verwendet. Das liegt daran, dass dort der höchste CVaR überschritten wurde.

6.3. DACHFONDS-PORTFOLIO AUS MANAGED FUTURES 66
Abbildung 6.3: Anteile am Portfolio bei einer Optimierung mit den 19 am häufigsten
verwendeten Managern

Kapitel 7
Fazit
Die Analysen haben ergeben, dass Managed Futures-Manager durch dynamische Handelsstrategien
Renditen erzeugen, die sich deutlich von denen der traditionellen Anlageklassen
uterscheiden. Die Anlageklasse Managed Futures stellt gerade in wirtschaftlich
schwierigen Zeiten eine gute Anlagemöglichkeit dar, da sie in diesen Zeiten die höchsten
Renditen erreicht. Die Renditen von Managed Futures besitzen positive Schiefe und
positive Kurtosis und sind somit nicht normalverteilt. Sie weisen ein gewisses Fat Tail
Risiko auf, so dass die Volatilität kein zufriedenstellendes Risikomaß darstellt. Dagegen
ist der Conditional Value at Risk sehr gut geeignet. Er berücksichtigt die vermehrten
Renditen in den Verteilungsenden. In wirtschaftlich guten Zeiten erzielen sie niedrigere
Renditen als traditionelle Anlageklassen, da die Manager nicht nur in eine Anlage investieren,
sondern ihre Investitionen über mehrere Anlagen streuen. In den letzten zehn
Jahren kam es bei Managed Futures nie zu größeren Werteinbrüchen. Durch die niedrigen
Korrelationen zu traditionellen Anlagen eignen sie sich gut zur Beimischung in
einem traditionellen Portfolio aus Aktien und Anleihen. Die Portfolio-Optimierung hat
gezeigt, dass die Einteilung der Managed Futures-Manager in verschiedene Substrategien,
die von der Varengold Wertpapierhandelsbank AG gemacht wurde, mathematisch
sinnvoll ist. Bei der Optimierung wurden vom Algorithmus Manager aus allen Substrategien
gewählt. Sie zeigt ebenfalls, dass nicht mehr als 20 Manager in eine Optimierung
aufgenommen werden müssen, um eine optimale Effizienzlinie zu erhalten. Um die Ergebnisse
praktisch anwenden zu können, wäre es sinnvoll, diese Optimierung zusätzlich
mit Bruttorenditen durchzuführen.
Ebenfalls kann man die Renditetreiber der Substrategien noch genauer identifizieren.
Fung u. Hsieh (2001c) konstruierten zu diesem Zweck einen Index, der das Verhalten
von Trendfolgestrategien nachahmt. Die Konstruktion eines solchen Index konnte für die
verwendeten Renditezeitreihen aus zeitlichen Gründen jedoch nicht gemacht werden.
67

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.1. TABELLEN 71
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Journal of Alternative Investments (1998)
[Sharpe 1992] Sharpe, William F.: Asset Allocation: Management Style and Performance
Measurement. In: Journal of Portfolio Management 18 (1992), S. 7–19
.1 Tabellen
Index 14,19%
DT 17,85%
FX 2,96%
GM 24,61%
STT 24,01%
TF 13,94%
Tabelle .1: R 2 der Regression der Substrategien mit traditionellen Anlageklassen
Style- 1 Month Dollar Barclay Gold Lehman ML MSCI MSCI
gewichte Libor Index Emerging Price Long High USA world
Rate Markets Index Term Yield Ex
Index Treasury Master USA
Index II
Index 0,39 0,61
DT 0,20 0,67 0,13
FX 0,41 0,29 0,28 0,02
GM 1
STT 1
TF 0,37 0,63
Tabelle .2: Gewichte der Style Regression der Anlageklassen auf die Substrategien
Index DT FX GM STT TF
Test-
Statistik 2,44 3,21 0,45 4,82 4,66 2,39
Tabelle .3: F-Test der R 2 der Regression der Substrategien mit traditionellen Anlageklassen

.2. ABBILDUNGEN 72
.2 Abbildungen
Abbildung .1: Index in fünf Marktumgebungen der One Month Libor Rate
Abbildung .2: Index in fünf Marktumgebungen des Dollar Index

.2. ABBILDUNGEN 73
Abbildung .3: Index in fünf Marktumgebungen von Anleihen mit geringer Bonität
Abbildung .4: Global Macro in fünf Marktumgebungen des Barclay Emerging Markets
Index

.3. DEFINITIONEN 74
.3 Definitionen
Lemma .1. Eigenschaften der Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion F (x) einer Zufallsvariablen X hat folgende Eigenschaften:
1. Für alle x ∈ R gilt 0 ≤ F (x) ≤ 1,
2. F (x) ist monoton wachsend: x1 < x2 ⇒ F (x1) ≤ F (x2),
3. limx→−∞ F (x) = 0 und
4. limx→∞ F (x) = 1.
Für stetige Zufallsvariablen gilt zusätzlich:
5. F (x) ist stetig,
6. F (x) ist fast überall differenzierbar und es gilt dort F ′ (x) = f(x), wobei f(x) die
Dichtefunktion ist,
7. Wegen P (X = x) = 0 gilt P (X ≤ x) = P (X < x) und P (X ≥ x) = P (X > x) =
1 − F (x).
Definition .1. Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen
Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit den Realisationsmöglichkeiten xi und der zugehörigen
Wahrscheinlichkeitsfunktion pi = P (X = xi), i=1,2,.... Dann heißt
E (X) = µ = �
i
xipi
der Erwartungswert von X oder von der Verteilung von X.
Definition .2. Erwartungswert einer stetigen Verteilung
Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen X mit einer stetigen Verteilung mit der Dichte
f(x) ist definiert durch:
E(X) = µ =
� ∞
−∞
xf(x)dx.
Lemma .2. Eigenschaften des Erwartunswertes
Seien X und Y zwei Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert E(X) und E(Y). Dann
gilt:
1. E(a+bX)=a+bE(X) für beliebige Zehlen a und b,

.3. DEFINITIONEN 75
2. E(X+Y)=E(X)+E(Y).
Für diskrete Zufallsvariablen gilt zusätzlich:
3. E(g(X))= �
i g(xi)P (X = xi) falls X die Realisationsmöglichkeiten x1, x2, ... mit
den Wahrscheinlichkeiten p1, p2, ... annimmt und Y=g(X) eine Transformation von
X ist.
Für stetige Zufallsvariablen gilt zusätzlich:
4. E(g(X)) = � ∞
g(x)f(x)dx bei geeigneter Transformation g(x) und Dichte f(x).
−∞
Definition .3. Varianz einer diskreten Verteilung
Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion pi = P (X = xi),
i=1,2,... . Der Erwartungswert von X sei E(X) = µ. Die Varianz von X ist dann
V (X) = �
(xi − µ) 2 pi.
i
Definition .4. Varianz einer stetigen Verteilung
Die Varianz einer Zufallsvariablen X mit einer stetigen Verteilung mit der Dichte f(x)
und dem Erwartungswert µ ist
V (X) = σ 2 X = E � (X − µX) 2� =
� ∞
−∞
(x − µ) 2 f(x)dx
Lemma .3. Eigenschaften der Varianz
Die Varianz V(X) einer Zufallsvariablen X besitzt die folgenden Eigenschaften:
1. V (X) = E(X 2 ) − E(X) 2 ,
2. die Varianz einer linear transformierten Variablen Y=a+bX ist:
V (Y ) = V (a + bX) = b 2 V (X),
3. die Varianz der Summe zweier Zufallsvariablen Z=X+Y ist nur unter Zusatzvoraussetzungen
gleich der Summe der Varianzen:
V (Z) = V (X + Y ) = V (X) + V (Y ), falls X und Y unabhängig oder wenigstens
unkorreliert sind.
4. V ar ( � n
i=1 aiXi) = � n
i=1
� n
j=1 aiajσij = �a ′ Σ�a,
wobei �a = (a1, a2, ..., an) ′ der Spaltenvektor der Koeffizienten ai und Σ die Kovarianzmatrix
von � X = (X1, ..., Xn) ′ ist.

.3. DEFINITIONEN 76
Definition .5. Kovarianz und Korrelationskoeffizient
Seien X und Y zwei Zufallsvariablen mit Erwartungswerten µX und µY und Standardabweichungen
σX und σY . Dann ist
die Kovarianz von X und Y.
Cov(X, Y ) = σXY = E((X − µX)(Y − µY ))
Der Korrelationskoeffizient der beiden Variablen ist
ρXY = σXY
σXσY
Lemma .4. Eigenschaften der Kovarianz
Seien X, Y und Z, Zufallsvariablen und a, b, c ∈ R, wobei die X, Y, Z die Standardabweichungen
σX, σY , σZ besitzen und σXY die Kovarianzen von X und Y sind. Dann besitzt
die Kovarianz Cov(X,Y) folgende Eigenschaften und Beziehungen zur Varianz Var(X):
1. V ar(aX + bY + c) = a 2 V (X) + b 2 V (Y ) + 2abCov(X, Y ).
2. V ar(X) = Cov(X, X).
3. Cov(X, Y ) = Cov(Y, X).
4. Cov(X + Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z).
5. Cov(X, aY ) = aCov(X, Y ).
.

.4. PROGRAMME 77
.4 Programme
function [gewichte,portfoliowert] = CVarOptimierung(risiko, renditen, beta)
%Dieses Programm führt eine Portfoliooptimierung nach Krokhmal u. a. (2001)
%durch.
[Tmonat,Nfonds] = size(renditen);
%zu minimierende Funktion f:
f=[0 -mean(renditen(:,:)) zeros(1,Tmonat)];
f=f’;
%Bedingungsmatrix A:
%Bedingung: −ζ − � n
i=1 rtixi − wt ≤ 0
A = [-ones(Tmonat,1) -renditen -eye(Tmonat)];
%Bedingung: ζ + 1 �T (1−β)T t=1 wt ≤ ω
A = [A;[1 zeros(1,Nfonds) ones(1,Tmonat)/Tmonat/(1-beta)]];
%Begingung: � n
i=1 xi ≤ 1
A = [A;[0 ones(1,Nfonds) zeros(1,Tmonat)]];
b = zeros(2+Tmonat,1);
b(1+Tmonat,1) = risiko;
b(2+Tmonat,1) = 1;
lb = zeros(Nfonds+Tmonat+1,1);
lb(1,1) = -inf;
ub = ones(Nfonds+1,1);
ub(1,1) = inf;
for i=Nfonds+2:Nfonds+Tmonat+1
ub(i,1) = inf;
end
[x,fval,exitflag,output] =
linprog(f,A,b,[ ],[ ],lb,ub,[ ],optimset(’LargeScale’,’on’,’Simplex’,’off’,’Display’,’off’));
if exitflag < 1
disp(output);

.4. PROGRAMME 78
return
end
gewichte = x(2:Nfonds+1)’;
portfoliowert = -fval;
end

.4. PROGRAMME 79
Eidesstattliche Erklärung
Ich versichere, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig und ohne Benutzung anderer
als der angegebenen Hilfsmittel angefertigt habe Die aus fremden Quellen direkt oder
indirekt übernommenen Gedanken wurden als solche kenntlich gemacht.
Die vorliegende Arbeit wurde bisher in gleicher bzw. ähnlicher Form (im Ganzen, wie in
Teilen) in keinem anderen Prüfungsverfahren als Prüfungsleistung vorgelegt und nicht
veröffentlicht.
Hamburg, 09.Januar 2009 Duongmani Maier