Statistische Kennzahlen für Renditen von Managed Futures

5.1. FAKTORENANALYSE 43
D.h., � H1 trägt unter den Linearkombinationen der Datenvariablen die größte Information
und bildet den ersten Faktor.
�H2 bildet den nächstwichtigsten Faktor, usw.
Satz 5.1. Hauptkomponenten
Sei Z ∈ R T,n vom Rang n, dann lautet die Matrix H = ( � H1, ..., � Hn) der Hauptachsen
von Z:
H = ZT,
wobei T die orthogonale Matrix aus den normierten Eigenvektoren zu den geordneten
Eigenwerten λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λn > 0 von P ′ ist. Für H gilt:
H ′ ⎛
λ1
⎜ 0
H = ⎜
⎝ .
0
λ2
.
. . .
. . .
.. .
0
0
.
⎞
⎟ = D.
⎠
0 0 . . . λn
Die Hauptachsen � Hi sind zueinander orthogonal und besitzen der Reihe nach die empirischen
Varianzen λ1, ..., λn. Die Hauptachsen und die Spalten von T sind bis auf das
Vorzeichen eindeutig, wenn sich die Eigenwerte von P paarweise unterscheiden.
Für die Datenmatrix Z gilt:
Daraus ergibt sich die Darstellung
mit
Z = HT ′ .
Z = FL ′ ,
F = H √ D und L = T
√ D .
Dann heißen die normierten Hauptachsen � F1, ..., � Fn die Hauptkomponenten von Y.
Da die Hauptkomponentenmethode versucht, möglichst viel der Gesamtvarianz mit Hilfe
von möglichst wenigen Faktoren zu erklären, stellt sich nun die Frage, wie viele Hauptkomponenten
zur Erklärung der Daten gewählt werden sollen. Zur Wahl der richtigen
Anzahl an Hauptkomponenten stehen mehrere Kriterien, die je nach subjektivem Ermessen
verwendet werden können, zur Verfügung.
Kriterien zur Bestimmung der Anzahl k der Hauptkomponenten
k beschreibt die Anzahl der Hauptkomponenten � F1, ..., � Fk, die bei der Hauptkomponentenmethode
als Faktoren ins Modell aufgenommen werden sollen. Folgende Kriterien zur
Bestimmung von k sind üblich 1 :
1 Vgl. Fahrmeir u. a. (1996).