Skriptum zur Vorlesung

Wir können die Lösung also exakt angeben. Dies geht aber offensichtlich nur, weilwir die Wärmequelle unrealistisch vereinfacht haben. Möglicherweise ist diese nurgemessen und besitzt keine geschlossene Darstellung - in diesem Fall können wirauch die Fourierreihe nicht berechnen und die analytische Lösung wird wertlos.Bemerkung: Die so erzielte Lösung ist zwar physikalisch absolut sinnvoll, aber nichtdifferenzierbar und damit keine Lösung der Differentialgleichung. Dies zeigt, dassunsere mathematische Modellierung nicht vollständig ist.Es gibt aber eine sehr einfache numerische Lösung für unser Problem durch Diskretisierung.Hierzu verteilen wir zunächst N + 1 Gitterpunkte x k gleichmäßig imIntervall [0, π], also x k = kh, h = π/N, k = 0 . . . N. Wir beschränken uns darauf,Näherungen u k für T 0 (x k ) zu bestimmen. Mit 1.4 gilt an jedem Gitterpunkt−T ′′0 (x k ) = q(x k ).Wir approximieren die Differentialgleichung mit 1.2, also−u k−1 + 2u k − u k+1 = h 2 q(x k ), k = 1 . . . N − 1.Zusätzlich wissen wir wegen der Randbedingung u 0 = T 0 (0) = 0 und u N = T 0 (π) =0. Insgesamt erhalten wir damit N − 1 lineare Gleichungen für die N − 1 Unbekanntenu 1 bis u N−1 :−0 + 2u 1 − u 2 = h 2 q(x 1 )−u 1 + 2u 2 − u 3 = h 2 q(x 2 )−u 2 + 2u 3 − u 4 = h 2 q(x 3 ).−u N−3 + 2u N−2 − u N−1 = h 2 q(x N−2 )−u N−2 + 2u N−1 − 0 = h 2 q(x N−1 )oder in Matrixschreibweise⎛⎞ ⎛2 −1−1 2 −11−1 2 −1h 2 .. ... ... .⎜⎟ ⎜⎝−1 2 −1 ⎠ ⎝−1 2⎞u 1u 2u 3.⎟u N−2⎠u N−1⎛=⎜⎝q(x 1 )q(x 2 )q(x 3 ).q(x N−2 )q(x N−1 )⎞⎟⎠(1.5)(1.6)Zur numerischen Lösung müssen wir also nur die Matrix invertieren und das Gleichungssystemlösen. Dies ist in Matlab schnell getan, Abbildung 1 zeigt den Vergleichzweier Lösungen, die jeweils mit der analytischen und diskreten Methode erzieltwurden. Bei großem N (hoher Auflösung) sind die Kurven praktisch gleich.12